المصفوفة الرباعية

المصفوفة الرباعية هي مصفوفة عناصرها رباعيات .

تشكل الأعداد الرباعية حلقة غير تبادلية ، وبالتالي يمكن تعريف الجمع والضرب للمصفوفات الرباعية كما هو الحال بالنسبة للمصفوفات على أي حلقة.

الجمع . يتم تعريف مجموع مصفوفتين رباعيتين A و B بالطريقة المعتادة عن طريق الجمع العنصري:

${\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}.\,}$

الضرب . يخضع حاصل ضرب مصفوفتين رباعيتين A و B للتعريف المعتاد لضرب المصفوفات. لكي يكون هذا الضرب صحيحًا، يجب أن يتساوى عدد أعمدة A مع عدد صفوف B. عندئذٍ، يكون العنصر الموجود في الصف i والعمود j من حاصل الضرب هو حاصل الضرب النقطي للصف i من المصفوفة الأولى مع العمود j من المصفوفة الثانية. تحديدًا:

${\displaystyle (AB)_{ij}=\sum _{s}A_{is}B_{sj}.\,}$

على سبيل المثال، لـ

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}\\u_{21}&u_{22}\\\end{pmatrix}},\quad V={\begin{pmatrix}v_{11}&v_{12}\\v_{21}&v_{22}\\\end{pmatrix}},}$

المنتج هو

${\displaystyle الأشعة فوق البنفسجية = {\ تبدأ {pmatrix} u_ {11} v_ {11} + u_ {12} v_ {21}&u_ {11} v_ {12} + u_ {12} v_ {22} \\u_{21}v_{11}+u_{22}v_{21}&u_{21}v_{12}+u_{22}v_{22}\\\end{pmatrix}}.}$

بما أن الضرب الرباعي غير تبادلي، يجب توخي الحذر للحفاظ على ترتيب العوامل عند حساب ناتج ضرب المصفوفات.

العنصر المحايد لهذه العملية، كما هو متوقع، هو المصفوفة القطرية I  =  diag(1, 1, ... , 1). تخضع عملية الضرب لقوانين التجميع والتوزيع المعتادة . يُعرَّف أثر المصفوفة بأنه مجموع عناصر القطر الرئيسي، ولكن بشكل عام

${\displaystyle \operatorname {trace} (AB)\neq \operatorname {trace} (BA).}$

يُعرَّف الضرب القياسي الأيسر والضرب القياسي الأيمن بواسطة

${\displaystyle (cA)_{ij}=cA_{ij},\qquad (Ac)_{ij}=A_{ij}c.\,}$

ومرة أخرى، بما أن عملية الضرب ليست تبديلية، يجب توخي الحذر في ترتيب العوامل. ^{[ 1 ]}

لا توجد طريقة طبيعية لتعريف محدد للمصفوفات الرباعية (المربعة) بحيث تكون قيم المحدد رباعيات. ^{[ 2 ]} مع ذلك، يمكن تعريف محددات ذات قيم مركبة. ^{[ 3 ]} يمكن تمثيل الرباعي a + bi + cj + dk كمصفوفة مركبة 2 × 2

${\displaystyle {\begin{bmatrix}~a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{bmatrix}}.}$

يُعرّف هذا التطبيقَ Ψ _mn من المصفوفات الرباعية m × n إلى المصفوفات المركبة 2m × 2n ، وذلك باستبدال كل عنصر في المصفوفة الرباعية بتمثيله المركب 2 × 2. ويُعرّف المحدد ذو القيم المركبة لمصفوفة رباعية مربعة A على أنه det(Ψ( A )). وتسري عليه العديد من القوانين المعتادة للمحددات؛ وعلى وجه الخصوص، تكون المصفوفة n × n قابلة للعكس إذا وفقط إذا كان محددها غير صفري.

بسبب التماثل${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 2}\simeq m(4,\mathbb {R} )}$أين${\displaystyle m(4,\mathbb {R} )}$هو${\displaystyle 4\times 4}$في المصفوفات الحقيقية، يمكن تمثيل مصفوفة الكواترنيون كعدد فائق التعقيد يتكون من حاصل ضرب موتر لجبر الكواترنيون المسمى بالكواترنيونات الفائقة

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {H} ^{\otimes m}&=\mathbb {H} \otimes \mathbb {H} \otimes \cdots \otimes \mathbb {H} {\text{ }}(m{\text{ terms}})\\&=(i,j,k)\otimes (I,J,K)\otimes (l,m,n)\otimes \cdots \\\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle (i,j,k),(I,J,K),(l,m,n)}$إلخ. هي أنظمة رباعية تبادلية. ${\displaystyle i=i\otimes 1,J=1\otimes j,iJ=(i\otimes 1)(1\otimes j)}$إلخ ^{[ 4 ] [ 5 ]} . ومن الأمثلة على ذلك:${\displaystyle M_{4\times 4}\mathbb {(H)} \simeq \mathbb {H} ^{\otimes 2}\otimes \mathbb {H} \simeq \mathbb {H} ^{\otimes 3}}$،${\displaystyle M_{16\times 16}\mathbb {(H)} \simeq \mathbb {H} ^{\otimes 4}\otimes \mathbb {H} \simeq \mathbb {H} ^{\otimes 5}}$.

يتم تعريف الاقتران الفائق بواسطة ^{[ 4 ]}${\displaystyle (\mathbb {H} ^{\otimes m})^{*}=(\mathbb {H} _{c}^{\otimes m})=\mathbb {H} _{c}\otimes \mathbb {H} _{c}\otimes \cdots \otimes \mathbb {H} _{c}}$

أين ${\displaystyle \mathbb {H} _{c}}$وبالتالي، فإن اقتران الكواترنيون هو${\displaystyle (iJ)^{*}=(-i)(-J)=iJ}$. بخاصة،${\displaystyle (\mathbb {H} ^{\otimes 3})^{*}=[M_{4\times 4}\mathbb {(H)} ]_{c}^{T}}$أين${\displaystyle [A\mathbb {(H)} ]_{c}^{T}}$هو المرافق الرباعي المنقول للمصفوفة الرباعية${\displaystyle A\mathbb {(H)} }$.

المجموعة التبسيطية الوحدوية${\displaystyle USp(n)}$هي مجموعة المصفوفات الرباعية${\displaystyle A\in M_{n\times n}\mathbb {(H)} }$بحيث${\displaystyle AA^{*}=A^{*}A=E_{n}}$^{[ 6 ]} .

الأعداد الرباعية الفائقة هي جبر كليفورد${\displaystyle Cl_{p,q}\mathbb {(R)} }$تناول${\displaystyle n=p+q}$مولدات${\displaystyle e_{1},e_{2},...,e_{n}}$الضرب وفقًا لـ${\displaystyle e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}=0}$${\displaystyle (i\neq j)}$مع${\displaystyle e_{i}^{2}=+1}$(${\displaystyle p}$المولدات) و${\displaystyle e_{i}^{2}=-1}$(${\displaystyle q}$ المولدات). لدى المرء ^{[ 7 ]}${\displaystyle \mathbb {H} \simeq Cl_{0,2}\mathbb {(R)} ,\mathbb {H} ^{\otimes 3}\simeq Cl_{2,4}\mathbb {(R)} ,\mathbb {H} ^{\otimes 5}\simeq Cl_{4,6}\mathbb {(R)} }$أساس${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 2}\simeq M_{4\times 4}\mathbb {(R)} }$يتم تحديده بواسطة ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=j\otimes 1=j={\begin{bmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\\end{bmatrix}},e_{1}=k\otimes i=kI={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{bmatrix}},\\e_{2}&=k\otimes j=kJ={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}},e_{3}=k\otimes k=kK={\begin{bmatrix}0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\\\end{bmatrix}}.\\\end{aligned}}}$

تُستخدم المصفوفات الرباعية في ميكانيكا الكم ^{[ 8 ]} وفي معالجة مشاكل الأجسام المتعددة . ^{[ 9 ]}