مصفوفة مربعة

إذا كانت جميع العناصر خارج القطر الرئيسي تساوي صفرًا،${\displaystyle A}$تُسمى هذه المصفوفة مصفوفة قطرية . إذا كانت جميع العناصر أسفل (أو أعلى) القطر الرئيسي تساوي صفرًا،${\displaystyle A}$وتسمى مصفوفة مثلثية علوية (أو سفلية) .

مصفوفة الوحدة${\displaystyle I_{n}}$من الحجم${\displaystyle n}$هو${\displaystyle n\times n}$مصفوفة تكون فيها جميع العناصر على القطر الرئيسي تساوي 1 وجميع العناصر الأخرى تساوي 0، على سبيل المثال $${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$$ هي مصفوفة مربعة من الرتبة${\displaystyle n}$وأيضًا نوع خاص من المصفوفات القطرية . يشير مصطلح مصفوفة الوحدة إلى خاصية ضرب المصفوفات التي $${\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A}$$لأي${\displaystyle m\times n}$مصفوفة${\displaystyle A}$.

مصفوفة مربعة${\displaystyle A}$تُسمى المصفوفة قابلة للعكس أو غير منفردة إذا وُجدت مصفوفة${\displaystyle B}$بحيث ^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle AB=BA=I_{n}.}$$ لو${\displaystyle B}$موجودة، وهي فريدة وتسمى المصفوفة العكسية لـ${\displaystyle A}$، المشار إليه${\displaystyle A^{-1}}$.

مصفوفة مربعة${\displaystyle A}$أي ما يعادل منقوله، أي${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=A}$، هي مصفوفة متناظرة . أما إذا كانت بدلاً من ذلك${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$، ثم${\displaystyle A}$تُسمى هذه المصفوفة بالمصفوفة المتناظرة المائلة .

للمصفوفة المربعة المعقدة${\displaystyle A}$غالباً ما يكون النظير المناسب للمنقول هو المنقول المرافق${\displaystyle A^{*}}$، ويُعرَّف بأنه منقول المرافق المعقد لـ${\displaystyle A}$ مصفوفة مربعة معقدة${\displaystyle A}$مُرضٍ${\displaystyle A^{*}=A}$تُسمى هذه المصفوفة مصفوفة هيرميتية . أما إذا كانت بدلاً من ذلك${\displaystyle A^{*}=-A}$، ثم${\displaystyle A}$تُسمى هذه المصفوفة بالمصفوفة الهرميتية المائلة .

بحسب نظرية الطيف ، فإن المصفوفات المتناظرة الحقيقية (أو الهيرميتية المعقدة) لها أساس ذاتي متعامد (أو وحدوي) ؛ أي أن كل متجه يمكن التعبير عنه كتركيبة خطية من المتجهات الذاتية. في كلتا الحالتين، تكون جميع القيم الذاتية حقيقية. ^{[ 3 ]}

إيجابي مؤكد	غير محدد
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/4&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/4&0\\0&-1/4\end{bmatrix}}}$
Q ( x , y ) = 1/4 x 2 + y 2	س ( x , y ) = 1/4 x 2 − 1/4 y 2
النقاط التي تحقق الشرط Q ( x , y ) = 1 ( القطع الناقص ).	النقاط التي تحقق الشرط Q ( x , y ) = 1 ( القطع الزائد ).

تُسمى المصفوفة المتناظرة من الرتبة n × n موجبة التحديد (أو سالبة التحديد أو غير محددة)، إذا كانت جميع المتجهات غير الصفرية${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$الصيغة التربيعية المرتبطة بها معطاة بواسطة $${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} }$$ تأخذ قيمًا موجبة فقط (أو قيمًا سالبة فقط؛ أو بعض القيم السالبة وبعض القيم الموجبة). ^{[ 4 ]} إذا كانت الصيغة التربيعية تأخذ قيمًا غير سالبة فقط (أو قيمًا غير موجبة فقط)، فإن المصفوفة المتناظرة تُسمى شبه موجبة (أو شبه سالبة)؛ وبالتالي تكون المصفوفة غير محددة عندما لا تكون شبه موجبة ولا شبه سالبة.

تكون المصفوفة المتناظرة موجبة التحديد إذا وفقط إذا كانت جميع قيمها الذاتية موجبة. ^{[ 5 ]} يوضح الجدول على اليمين احتمالين للمصفوفات من الرتبة 2×2.

يؤدي السماح بإدخال متجهين مختلفين بدلاً من ذلك إلى الحصول على الشكل الثنائي الخطي المرتبط بـ A : ^{[ 6 ]}$${\displaystyle B_{A}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {y} .}$$

المصفوفة المتعامدة هي مصفوفة مربعة عناصرها حقيقية ، أعمدتها وصفوفها متجهات وحدة متعامدة (أي متجهات متعامدة معيارية ). وبصورة مكافئة، تكون المصفوفة A متعامدة إذا كان منقولها يساوي معكوسها . $${\displaystyle A^{\textsf {T}}=A^{-1},}$$ وهو ما يستلزم $${\displaystyle A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,}$$ حيث I هي مصفوفة الوحدة .

المصفوفة المتعامدة A قابلة للعكس بالضرورة (مع معكوسها ^A⁻¹ = Aᵀ ) ^، ووحدوية ( A⁻¹ = A ^* ) ، وطبيعية ( A * A = AA * ) . محدد أي مصفوفة متعامدة إما +1 أو -1. الزمرة المتعامدة الخاصة${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$يتكون من المصفوفات المتعامدة من الرتبة n × n ذات المحدد +1.

إن النظير المعقد للمصفوفة المتعامدة هو المصفوفة الوحدوية .

مصفوفة مربعة حقيقية أو مركبة${\displaystyle A}$يُطلق عليه اسم طبيعي إذا${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$ إذا كانت المصفوفة المربعة الحقيقية متناظرة، أو شبه متناظرة، أو متعامدة، فهي مصفوفة طبيعية. وإذا كانت المصفوفة المربعة المركبة هيرميتية، أو شبه هيرميتية، أو وحدوية، فهي مصفوفة طبيعية. تكتسب المصفوفات الطبيعية أهمية خاصة لأنها تشمل أنواع المصفوفات المذكورة آنفًا، وتشكل أوسع فئة من المصفوفات التي تنطبق عليها نظرية الطيف . ^{[ 7 ]}

أثر المصفوفة المربعة A ، tr( A )، هو مجموع عناصر قطرها الرئيسي. مع أن ضرب المصفوفات ليس عملية تبديلية، فإن أثر حاصل ضرب مصفوفتين لا يعتمد على ترتيب العوامل. $${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).}$$ هذا واضح من تعريف ضرب المصفوفات: $${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} (BA).}$$ كذلك، فإن أثر المصفوفة يساوي أثر منقولتها، أي $${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} }).}$$

المحدد​${\displaystyle \det(A)}$أو${\displaystyle |A|}$من مصفوفة مربعة${\displaystyle A}$هو عدد يرمز إلى خصائص معينة للمصفوفة. تكون المصفوفة قابلة للعكس إذا وفقط إذا كان محددها غير صفري. وقيمتها المطلقة تساوي مساحتها (في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) أو الحجم (في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) لصورة المربع الواحد (أو المكعب)، بينما تتوافق إشارته مع اتجاه الخريطة الخطية المقابلة: المحدد يكون موجبًا إذا وفقط إذا تم الحفاظ على الاتجاه.

محدد المصفوفات من الرتبة 2×2 يُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$$ يحتوي محدد المصفوفات من الرتبة 3×3 على 6 حدود ( قاعدة ساروس ). وتعمم صيغة لايبنتز الأطول هاتين الصيغتين لتشمل جميع الأبعاد. ^{[ 8 ]}

محدد حاصل ضرب المصفوفات المربعة يساوي حاصل ضرب محدداتها: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)}$$ إضافة مضاعف لأي صف إلى صف آخر، أو مضاعف لأي عمود إلى عمود آخر، لا يُغير قيمة المحدد. أما تبديل صفين أو عمودين فيؤثر على قيمة المحدد بضربها في -1. ^{[ 10 ]} باستخدام هذه العمليات، يمكن تحويل أي مصفوفة إلى مصفوفة مثلثية سفلية (أو علوية)، وفي هذه الحالة، يساوي المحدد حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي؛ وهذا يوفر طريقة لحساب محدد أي مصفوفة. أخيرًا، يُعبّر توسيع لابلاس عن قيمة المحدد بدلالة المحددات الصغرى ، أي محددات المصفوفات الأصغر. ^{[ 11 ]} يمكن استخدام هذا التوسيع لتعريف المحددات بشكل تكراري (باعتبار محدد مصفوفة 1×1، وهو العنصر الوحيد فيها، أو حتى محدد مصفوفة 0×0، وهو 1)، والذي يمكن اعتباره مكافئًا لصيغة لايبنتز. يمكن استخدام المحددات لحل الأنظمة الخطية باستخدام قاعدة كرامر ، حيث أن قسمة محددات مصفوفتين مربعتين مرتبطتين تساوي قيمة كل متغير من متغيرات النظام. ^{[ 12 ]}

عدد λ ومتجه غير صفري${\displaystyle \mathbf {v} }$مُرضٍ $${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$$ يُطلق عليهما اسم القيمة الذاتية والمتجه الذاتي لـ${\displaystyle A}$على التوالي. [ ^{13 ] [ 14 ] العدد} λ هو قيمة ذاتية لمصفوفة A من الرتبة n × n إذا وفقط إذا كانت A − λ I _n غير قابلة للعكس، وهو ما يكافئ ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \det(A-\lambda I)=0.}$$تُسمى كثيرة الحدود pA في متغير غير محدد X _، المُعطاة بتقييم المحدد det( XI _n − A )، _كثيرة الحدود المميزة للمصفوفة A. وهي كثيرة حدود أحادية من الدرجة n . لذلك، فإن معادلة كثيرة الحدود pA (λ) = 0 لها على الأكثر n حلًا مختلفًا، أي قيم ذاتية للمصفوفة. ^{[ 16 ]} قد تكون هذه الحلول مركبة حتى لو كانت عناصر المصفوفة A حقيقية. وفقًا لنظرية كايلي-هاميلتون ، فإن pA ₍ A ) = 0 ، أي أن نتيجة استبدال المصفوفة نفسها في كثيرة الحدود المميزة الخاصة بها تُعطي المصفوفة الصفرية .