رسم خرائط القص

📅 آخر تحديث: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 37 صور
الموسوعة الحرة
مقص شبكي ٥/٤
يحدث قص أفقي للسطح، مما يحول الشكل الأزرق إلى الشكل الأحمر. النقطة السوداء هي نقطة الأصل.
في ديناميكا الموائع ، يصور رسم خرائط القص تدفق المائع بين لوحين متوازيين في حركة نسبية.

في الهندسة المستوية ، يُعدّ تحويل القص تحويلاً تآلفياً يُزيح كل نقطة في اتجاه ثابت بمقدار يتناسب مع المسافة الموقعة بينها وبين خط معين موازٍ لذلك الاتجاه. [ 1 ]

يُطلق على هذا النوع من التحويلات اسم تحويل القص ، أو التحويل العكسي ، أو ببساطة القص . ويمكن تطبيق هذه التحويلات باستخدام مصفوفة القص أو التحويل العكسي ، وهي مصفوفة أولية تمثل جمع مضاعفات صف أو عمود في صف أو عمود آخر. ويمكن اشتقاق هذه المصفوفة بأخذ مصفوفة الوحدة واستبدال أحد عناصرها الصفرية بقيمة غير صفرية.

ومن الأمثلة على ذلك التحويل الخطي الذي يأخذ أي نقطة ذات إحداثيات(x،y){\displaystyle (x,y)}مباشرة إلى النقطة(x+2y،y){\displaystyle (x+2y,y)}في هذه الحالة، يكون الإزاحة أفقية بمعامل 2، حيث يمثل الخط الثابت المحور السيني ، والمسافة الموجهة هي الإحداثي الصادي . لاحظ أن النقاط على جانبي خط المرجع تُزاح في اتجاهين متعاكسين.

يجب عدم الخلط بين تحويلات القص والدوران . يؤدي تطبيق تحويل القص على مجموعة من نقاط المستوى إلى تغيير جميع الزوايا بينها (باستثناء الزوايا المستقيمة )، وطول أي قطعة مستقيمة غير موازية لاتجاه الإزاحة. لذلك، فإنه عادةً ما يشوه شكل الشكل الهندسي، على سبيل المثال تحويل المربعات إلى متوازيات أضلاع ، والدوائر إلى أشكال بيضاوية . مع ذلك، يحافظ تحويل القص على مساحة الأشكال الهندسية ومحاذاة النقاط الواقعة على خط مستقيم واحد والمسافات النسبية بينها . بالنسبة للخطوط التي لا تدعم الخط المائل الحقيقي، يُعد تحويل القص الفرق الرئيسي بين نمطي الكتابة المستقيمة والمائلة (أو الإيطالية) .

يُستخدم التعريف نفسه في الهندسة ثلاثية الأبعاد ، باستثناء أن المسافة تُقاس من مستوى ثابت. يحافظ تحويل القص ثلاثي الأبعاد على حجم الأشكال الصلبة، ولكنه يُغير مساحات الأشكال المستوية (باستثناء تلك الموازية للإزاحة). يُستخدم هذا التحويل لوصف التدفق الصفائحي لسائل بين لوحين، أحدهما يتحرك في مستوى أعلى وموازٍ للأول.

في الفضاء الديكارتي العام ذي الأبعاد nRن،{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}تُقاس المسافة من مستوى فائق ثابت موازٍ لاتجاه الإزاحة. هذا التحويل الهندسي هوتحويل خطي لـRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}الذي يحافظ على القياس ذي الأبعاد n (الحجم الفائق) لأي مجموعة.

تعريف

القص الأفقي والرأسي للمستوى

القص الأفقي لمربع إلى متوازيات أضلاع بمعاملاتسرير أطفال⁡(60∘)=لون برونزي⁡(30∘)≈0.58{\displaystyle \cot(60^{\circ })=\tan(30^{\circ })\approx 0.58}وسرير أطفال⁡(45∘)=لون برونزي⁡(45∘)=1{\displaystyle \cot(45^{\circ })=\tan(45^{\circ })=1}

في الطائرةR2=R×R{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }القص الأفقي (أو القص الموازي للمحور السيني ) هو دالة تأخذ نقطة عامة ذات إحداثيات(x،y){\displaystyle (x,y)}مباشرة إلى النقطة(x+مy،y){\displaystyle (x+my,y)}حيث m هو معامل ثابت يسمى عامل القص .

يؤدي هذا التحويل إلى إزاحة كل نقطة أفقياً بمقدار يتناسب مع إحداثيها الصادي . أي نقطة أعلى المحور السيني تُزاح إلى اليمين (زيادة قيمة س ) إذا كانت م > 0 ، وإلى اليسار إذا كانت م < 0. تتحرك النقاط أسفل المحور السيني في الاتجاه المعاكس، بينما تبقى النقاط الواقعة على المحور ثابتة.

تبقى الخطوط المستقيمة الموازية للمحور السيني في مكانها، بينما تدور جميع الخطوط الأخرى (بزوايا مختلفة) حول النقطة التي تتقاطع فيها مع المحور السيني . وتصبح الخطوط الرأسية، على وجه الخصوص، خطوطًا مائلة ذات ميل.1م.{\displaystyle {\tfrac {1}{m}}.}لذلك، فإن عامل القص m هو ظل تمام زاوية القصφ{\displaystyle \varphi }بين الخطوط الرأسية السابقة والمحور السيني . في المثال على اليمين، يميل المربع بزاوية 30 درجة، لذا فإن زاوية القص هي 60 درجة.

إذا تم كتابة إحداثيات نقطة ما كمتجه عمودي ( مصفوفة 2×1 )، فيمكن كتابة عملية القص كضرب في مصفوفة 2×2:

(x′y′)=(x+مyy)=(1م01)(xy).{\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+my\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}

القص الرأسي (أو القص الموازي للمحور y ) للخطوط مشابه، باستثناء أن أدوار x و y معكوسة. وهو يقابل ضرب متجه الإحداثيات في المصفوفة المنقولة :

(x′y′)=(xمx+y)=(10م1)(xy).{\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\mx+y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\m&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}

يؤدي القص الرأسي إلى إزاحة النقاط الواقعة على يمين المحور y لأعلى أو لأسفل، وذلك تبعًا لإشارة m . ويحافظ على ثبات الخطوط الرأسية، ولكنه يميل جميع الخطوط الأخرى حول نقطة التقائها بالمحور y . وتميل الخطوط الأفقية، على وجه الخصوص، بفعل زاوية القص.φ{\displaystyle \varphi }لتصبح خطوطًا ذات ميل m .

تعبير

يمكن دمج تحويلين قصيين أو أكثر.

إذا كانت مصفوفتا القص(1λ01){\textstyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}}و(10μ1){\textstyle {\begin{pmatrix}1&0\\\mu &1\end{pmatrix}}}

ثم تكون مصفوفة تركيبها هي (1λ01)(10μ1)=(1+λμλμ1)،{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\\mu &1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+\lambda \mu &\lambda \\\mu &1\end{pmatrix}},} والتي لها أيضًا محدد يساوي 1، لذلك يتم الحفاظ على تلك المساحة.

على وجه الخصوص، إذاλ=μ{\displaystyle \lambda =\mu }لدينا

(1+λ2λλ1)،{\displaystyle {\begin{pmatrix}1+\lambda ^{2}&\lambda \\\lambda &1\end{pmatrix}},}

وهي مصفوفة موجبة محددة .

أبعاد أعلى

تكون مصفوفة القص النموذجية على الشكل التالي S=(100λ001000001000001000001).{\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0&0&\lambda &0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.}

هذه المصفوفة تنزلق بالتوازي مع المكمل المتعامد للبعد الرابع وفي اتجاه المحور x للفضاء المتجهي الأساسي.

ينتج عن القص الموازي للمحور السيني ما يلي:x′=x+λy{\displaystyle x'=x+\lambda y}وy′=y{\displaystyle y'=y}في شكل مصفوفة: (x′y′)=(1λ01)(xy).{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}

وبالمثل، فإن القص الموازي للمحور y لهx′=x{\displaystyle x'=x}وy′=y+λx{\displaystyle y'=y+\lambda x}في شكل مصفوفة: (x′y′)=(10λ1)(xy).{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\\lambda &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يُغير القص الأولي أحد الإحداثيات بمقدار مضاعف للإحداثي الآخر، بينما يُبقي الإحداثي الثالث دون تغيير. على سبيل المثال، القص الموازي للمحور السيني لهx′=x+λy{\displaystyle x'=x+\lambda y}،y′=y{\displaystyle y'=y}، وz′=z{\displaystyle z'=z}.

القص الأولي ثلاثي الأبعاد:x′=x+λy{\displaystyle x'=x+\lambda y}،y′=y{\displaystyle y'=y}،z′=z{\displaystyle z'=z}

في شكل مصفوفة: S=(1λ0010001).{\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&\lambda &0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}

وبشكل أعم، في الفضاء ثلاثي الأبعاد، تقوم هذه المصفوفة بقص المستوى YZ إلى المستوى القطري الذي يمر عبر هذه النقاط الثلاث:(0،0،0){\displaystyle (0,0,0)}(λ،1،0){\displaystyle (\lambda ,1,0)}(μ،0،1){\displaystyle (\mu ,0,1)}S=(1λμ010001).{\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&\lambda &\mu \\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}

سيكون المحدد دائمًا 1، لأنه بغض النظر عن موضع عنصر القص، سيكون عنصرًا في قطر معكوس يحتوي أيضًا على عناصر صفرية (لأن جميع الأقطار المعكوسة لها طول لا يقل عن اثنين)، وبالتالي سيظل حاصل ضربه صفرًا ولن يُساهم في المحدد. لذا، فإن لكل مصفوفة قص معكوسًا ، والمعكوس هو ببساطة مصفوفة قص معكوس عنصر القص، مما يُمثل تحويل قص في الاتجاه المعاكس. في الواقع، هذا جزء من نتيجة أكثر عمومية يُمكن استنتاجها بسهولة: إذا كانت S مصفوفة قص بعنصر قص λ ، فإن S <sub>n</sub> هي مصفوفة قص عنصر قصها هو ببساطة nλ . وبالتالي، فإن رفع مصفوفة قص إلى قوة n يُضاعف عامل القص الخاص بها في n .

ملكيات

إذا كانت S مصفوفة قص من الرتبة n × n ، فإن:

  • S لها رتبة n وبالتالي فهي قابلة للعكس
  • القيمة الذاتية الوحيدة للمصفوفة S هي 1 ، لذا فإن det S = 1 و tr S = n
  • الفضاء الذاتي لـ S (المرتبط بالقيمة الذاتية 1) له n − 1 أبعاد.
  • S معيب​
  • S غير متماثل
  • يمكن تحويل S إلى مصفوفة كتلية عن طريق عملية تبديل عمود واحدة على الأكثر وعملية تبديل صف واحدة
  • تكون المساحة أو الحجم أو أي سعة داخلية من الدرجة الأعلى لمتعدد السطوح ثابتة تحت تحويل القص لرؤوس متعدد السطوح.

خرائط القص العامة

بالنسبة للفضاء المتجهي V والفضاء الجزئي W ، فإن القص الذي يثبت W ينقل جميع المتجهات في اتجاه موازٍ لـ W.

بتعبير أدق، إذا كان V هو المجموع المباشر لـ W و W ′ ، فإننا نكتب المتجهات على النحو التالي:

v=w+w′{\displaystyle v=w+w'}

وبناءً على ذلك، فإن القص النموذجي L الذي يثبت W هو

ل(v)=(لw+لw′)=(w+مw′)+w′،{\displaystyle L(v)=(Lw+Lw')=(w+Mw')+w',}

حيث M عبارة عن دالة خطية من W ′ إلى W. لذلك، يمكن تمثيل L باستخدام مصفوفات الكتل على النحو التالي:

(أنام0أنا).{\displaystyle {\begin{pmatrix}I&M\\0&I\end{pmatrix}}.}

التطبيقات

أشار ويليام كينغدون كليفورد إلى التطبيقات التالية لرسم خرائط القص :

"إن سلسلة من المقصات ستمكننا من تقليل أي شكل محدد بخطوط مستقيمة إلى مثلث متساوي المساحة."
"... يمكننا قص أي مثلث ليصبح مثلثًا قائم الزاوية، ولن يؤثر ذلك على مساحته. وبالتالي، فإن مساحة أي مثلث تساوي نصف مساحة المستطيل الذي له نفس القاعدة وارتفاع يساوي العمود المقام على القاعدة من الزاوية المقابلة." [ 2 ]

يمكن استخدام خاصية الحفاظ على المساحة في تحويل القص للحصول على نتائج تتعلق بالمساحة. على سبيل المثال، تم توضيح نظرية فيثاغورس باستخدام تحويل القص [ 3 ] بالإضافة إلى نظرية المتوسط ​​الهندسي ذات الصلة .

تُستخدم مصفوفات القص بشكل متكرر في رسومات الحاسوب . [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]

تستخدم خوارزمية من ابتكار آلان دبليو. بايث سلسلة من ثلاث عمليات تحويل قص (أفقي، رأسي، ثم أفقي مرة أخرى) لتدوير صورة رقمية بزاوية اختيارية. تتميز هذه الخوارزمية بسهولة تطبيقها وكفاءتها العالية، حيث تعالج كل خطوة عمودًا واحدًا أو صفًا واحدًا من البكسلات في كل مرة. [ 7 ] [ 8 ]

في الطباعة ، ينتج عن تحويل النص العادي بواسطة عملية القص نوع مائل .

في النسبية الغاليلية قبل أينشتاين ، تُعرف التحويلات بين أطر الإسناد بتحويلات القص، وتُسمى هذه التحويلات بالتحويلات الغاليلية . وتُلاحظ هذه التحويلات أحيانًا عند وصف أطر الإسناد المتحركة بالنسبة إلى إطار "مُفضّل"، يُشار إليه أحيانًا بالزمان والمكان المطلقين .

أصل الكلمة

مصطلح "القص" مشتق من الفيزياء ، ويُستخدم لوصف تشوه يشبه القطع حيث تنزلق طبقات متوازية من المادة فوق بعضها البعض. وبشكل أدق، تشير قوة القص إلى قوى غير متوازية تؤثر على جزء من الجسم في اتجاه معين، وعلى جزء آخر منه في الاتجاه المعاكس.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ وايسستين، إريك دبليو. “القص” . MathWorld - مورد ويب Wolfram . التعريف حسب فايستين.
  2. ↑ كليفورد، ويليام كينغدون (1885). الحس السليم والعلوم الدقيقة . ص 113. 
  3. ↑ هوهنوارتر، م. "نظرية فيثاغورس عن طريق رسم الإسقاط القصي" . تم إنشاؤه باستخدام برنامج GeoGebra . اسحب أشرطة التمرير لملاحظة الإسقاطات القصية.
  4. ↑ فولي وآخرون (1991 ، ص 207-208، 216-217) 
  5. ↑ شنايدر، فيليب جيه؛ إيبرلي، ديفيد إتش. (2002). الأدوات الهندسية لرسومات الحاسوب . إلسيفير. ص 154-157 . ISBN  978-0-08-047802-9.
  6. ↑ ديساي، أبويفا أ. (22 أكتوبر 2008). رسومات الحاسوب . دار نشر PHI Learning Pvt.، الصفحات 162-164 . ISBN  978-81-203-3524-0.
  7. ↑ بايث، أ. و. (1986). "خوارزمية سريعة لتدوير الصور النقطية العامة" (ملف PDF) . واجهة الرؤية (VI1986) . الصفحات 77-81 . {{cite web}}: CS1 maint: url-status ( link )
  8. ↑ sra-vjti (2020-09-09). "تدوير الصورة بأي زاوية (تحويل القص) باستخدام NumPy فقط" . sra-vjti . تم الاسترجاع في 2026-07-12 .

فهرس