تحويلات جاليليو

في الفيزياء ، يُستخدم تحويل غاليليو للتحويل بين إحداثيات إطارين مرجعيين يختلفان فقط بحركة نسبية ثابتة ضمن إطار الفيزياء النيوتونية . تُشكل هذه التحويلات، بالإضافة إلى الدورانات والانتقالات المكانية في المكان والزمان، مجموعة غاليليو غير المتجانسة (المفترضة فيما يلي). وبدون الانتقالات في المكان والزمان، تكون المجموعة هي مجموعة غاليليو المتجانسة . مجموعة غاليليو هي مجموعة حركات النسبية الغاليليوية التي تؤثر على الأبعاد الأربعة للمكان والزمان، مُشكلةً هندسة غاليليو . هذا هو منظور التحويل السلبي . في النسبية الخاصة ، تُستبدل تحويلات غاليليو المتجانسة وغير المتجانسة، على التوالي، بتحويلات لورنتز وتحويلات بوانكاريه ؛ وعلى العكس، فإن انكماش المجموعة في الحد الكلاسيكي c → ∞ لتحويلات بوانكاريه يُنتج تحويلات غاليليو.

المعادلات أدناه صالحة فيزيائياً فقط في إطار نيوتن، ولا تنطبق على أنظمة الإحداثيات التي تتحرك بالنسبة لبعضها البعض بسرعات تقترب من سرعة الضوء .

صاغ غاليليو هذه المفاهيم في وصفه للحركة المنتظمة . ^{[ 1 ]} وقد استوحى الموضوع من وصفه لحركة كرة تتدحرج أسفل منحدر ، والتي قاس من خلالها القيمة العددية لتسارع الجاذبية بالقرب من سطح الأرض .

على الرغم من أن التحويلات سُميت نسبةً إلى غاليليو، إلا أن مفهوم الزمان والمكان المطلقين ، كما تصوره إسحاق نيوتن، هو الذي يُحدد نطاق تعريفها. وباختصار، تُجسد تحويلات غاليليو المفهوم البديهي لجمع وطرح السرعات كمتجهات .

يصف الترميز أدناه العلاقة في ظل التحويل الجاليلي بين الإحداثيات ( x , y , z , t ) و ( x ′, y ′, z ′, t ′) لحدث واحد عشوائي، كما تم قياسه في نظامي إحداثيات S و S′ ، في حركة نسبية منتظمة ( سرعة v ) في اتجاهيهما المشتركين x و x ′ ، مع تطابق أصولهما المكانية عند الزمن t = t ′ = 0 : ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

${\displaystyle t'=t.}$

لاحظ أن المعادلة الأخيرة تنطبق على جميع التحويلات الجاليلية حتى إضافة ثابت، وتعبر عن افتراض وجود زمن عالمي مستقل عن الحركة النسبية للمراقبين المختلفين.

في لغة الجبر الخطي ، يُعتبر هذا التحويل تحويلاً قصياً ، ويُوصف بمصفوفة تؤثر على متجه. عند الحركة الموازية للمحور السيني ، يؤثر التحويل على مُركّبتين فقط:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}}$

على الرغم من أن تمثيلات المصفوفات ليست ضرورية تمامًا للتحويل الجاليلي، إلا أنها توفر وسيلة للمقارنة المباشرة مع طرق التحويل في النسبية الخاصة.

يمكن كتابة تناظرات غاليليو بشكل فريد كتركيب لدوران وانتقال وحركة منتظمة للزمكان . ^{[ 6 ]} لنفترض أن x تمثل نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد، و t تمثل نقطة في الزمن أحادي البعد. تُعطى النقطة العامة في الزمكان بزوج مرتب ( x , t ) .

تُعطى الحركة المنتظمة، بسرعة v ، بالعلاقة التالية:

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +t\mathbf {v} ,t),}$

حيث v ∈ R ^3. ويُعطى الانتقال بواسطة

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +\mathbf {a} ,t+s)،}$

حيث a ∈ R³ و ^s ∈ R. ويُعطى الدوران بواسطة

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (R\mathbf {x} ,t),}$

حيث R  : R ³ → R ³ هو تحويل متعامد . ^{[ 6 ]}

باعتبارها مجموعة لي ، فإن مجموعة التحويلات الجاليلية لها بُعد 10. ^{[ 6 ]}

يتكون تحويلان غاليليان G ( R , v , a , s ) و G ( R' , v ′ , a ′ , s ′ ) من تحويل غاليليان ثالث،

G ( R ′ , v ′ , a ′ , s ′ ) ⋅ G ( R , v , a , s ) = G ( R ′ R , R ′ v + v ′ , R ′ a + a ′ + v ′ s , s ′ + s ) .

تشكل مجموعة جميع التحويلات الجاليلية Gal(3) مجموعة مع التركيب كعملية المجموعة.

تُمثَّل المجموعة أحيانًا كمجموعة مصفوفية مع أحداث الزمكان ( x , t , 1) كمتجهات، حيث t عدد حقيقي و x ∈ R³ هو موضع في الفضاء. ويُعطى الفعل بالمعادلة ^{[ 7 ] .}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}R&v&a\\0&1&s\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Rx+vt+a\\t+s\\1\end{pmatrix}},}$

حيث s عدد حقيقي و v و x و a ∈ R³ و R مصفوفة دوران . يتم تركيب التحويلات من خلال ضرب المصفوفات . يجب توخي الحذر عند مناقشة ما إذا ^كان ينبغي الاقتصار على مجموعة المكونات المتصلة للتحويلات المتعامدة.

تحتوي Gal(3) على مجموعات فرعية مسماة. يُرمز إلى عنصر الوحدة بـ SGal(3) .

لنفترض أن m تمثل مصفوفة التحويل ذات المعاملات v و ​​R و s و a :

• ${\displaystyle \{m:R=I_{3}\},}$التحولات غير المتناحية.
• ${\displaystyle \{m:s=0\},}$التحولات المتزامنة.
• ${\displaystyle \{m:s=0,v=0\},}$التحويلات الإقليدية المكانية.
• ${\displaystyle G_{1}=\{m:s=0,a=0\},}$التحويلات الخاصة الموحدة / التحويلات المتجانسة، المتماثلة مع التحويلات الإقليدية.
• ${\displaystyle G_{2}=\{m:v=0,R=I_{3}\}\cong \left(\mathbf {R} ^{4},+\right),}$تحولات الأصل / الانتقال في الزمكان النيوتني.
• ${\displaystyle G_{3}=\{m:s=0,a=0,v=0\}\cong \mathrm {SO} (3),}$الدورانات (للإطار المرجعي) (انظر SO(3) )، وهي مجموعة مضغوطة.
• ${\displaystyle G_{4}=\{m:s=0,a=0,R=I_{3}\}\cong \left(\mathbf {R} ^{3},+\right),}$حركات/تعزيزات إطار موحدة.

تمتد المعاملات s و v و R و a على عشرة أبعاد. وبما أن التحويلات تعتمد بشكل مستمر على s و v و R و a ، فإن Gal(3) هي مجموعة متصلة ، وتسمى أيضًا مجموعة طوبولوجية.

يمكن فهم بنية Gal(3) من خلال إعادة البناء من المجموعات الفرعية. التركيب شبه المباشر للمنتج (${\displaystyle A\rtimes B}$(عدد المجموعات مطلوب).

1. ${\displaystyle G_{2}\triangleleft \mathrm {SGal} (3)}$( G2 هي مجموعة _فرعية طبيعية )
2. ${\displaystyle \mathrm {SGal} (3)\cong G_{2}\rtimes G_{1}}$
3. ${\displaystyle G_{4}\trianglelefteq G_{1}}$
4. ${\displaystyle G_{1}\cong G_{4}\rtimes G_{3}}$
5. ${\displaystyle \mathrm {SGal} (3)\cong \mathbf {R} ^{4}\rtimes (\mathbf {R} ^{3}\rtimes \mathrm {SO} (3)).}$

تُولد جبر لي لمجموعة غاليليو بواسطة H و Pi _و Ci _و L ij ( موتر مضاد للتناظر ₎ ، وتخضع لعلاقات التبادل ، حيث

${\displaystyle [H,P_{i}]=0}$

${\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},H]=0}$

${\displaystyle [C_{i},C_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},L_{kl}]=i[\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]}$

${\displaystyle [L_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]}$

${\displaystyle [L_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]}$

${\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}\,\!}$

${\displaystyle [C_{i},P_{j}]=0~.}$

H هو مولد الإزاحات الزمنية ( هاميلتوني )، P _i هو مولد الإزاحات ( عامل الزخم )، C _i هو مولد التحويلات الجاليلية بدون دوران (التعزيزات الجاليلية)، ^{[ 8 ]} و L _ij يمثل مولد الدورانات ( عامل الزخم الزاوي ).

يُعتبر جبر لي هذا حالةً كلاسيكيةً خاصةً من جبر زمرة بوانكاريه ، في حالة اقتراب c من اللانهاية . من الناحية التقنية، تُعدّ زمرة غاليليو انكماشًا زمريًا شهيرًا لزمرة بوانكاريه (التي بدورها انكماش زمري لزمرة دي سيتر SO(1,4) ). ^{[ 9 ]} رسميًا، يُعاد تسمية مولدات الزخم والتعزيز للأخيرة كما في

P ₀ ↦ H / c

Ki _↦ c ⋅ Ci ,​_​

حيث c هي سرعة الضوء (أو أي دالة غير محدودة لها)، فإن علاقات التبادل (ثوابت البنية) في حالة ^c → ∞ تأخذ علاقات الحالة السابقة. يتم تحديد مولدات الإزاحات والدورانات الزمنية. لاحظ أيضًا ثوابت المجموعة L _mn و P _i ^.

في شكل المصفوفة، بالنسبة لـ d = 3 ، يمكن للمرء أن ينظر في التمثيل المنتظم (المضمن في GL(5; R ) ، والذي يمكن اشتقاقه منه عن طريق انكماش مجموعة واحدة، متجاوزًا مجموعة بوانكاريه)،

${\displaystyle iH=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$${\displaystyle i{\vec {a}}\cdot {\vec {P}}=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&a_{1}\\0&0&0&0&a_{2}\\0&0&0&0&a_{3}\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$${\displaystyle i{\vec {v}}\cdot {\vec {C}}=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&v_{1}&0\\0&0&0&v_{2}&0\\0&0&0&v_{3}&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$${\displaystyle i\theta _{i}\epsilon ^{ijk}L_{jk}=\left({\begin{array}{ccccc}0&\theta _{3}&-\theta _{2}&0&0\\-\theta _{3}&0&\theta _{1}&0&0\\\theta _{2}&-\theta _{1}&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right)~.}$

ثم يكون عنصر المجموعة المتناهي الصغر

${\displaystyle G(R,{\vec {v}},{\vec {a}},s)=1\!\!1_{5}+\left({\begin{array}{ccccc}0&\theta _{3}&-\theta _{2}&v_{1}&a_{1}\\-\theta _{3}&0&\theta _{1}&v_{2}&a_{2}\\\theta _{2}&-\theta _{1}&0&v_{3}&a_{3}\\0&0&0&0&s\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right)+\ ...~.}$

يمكن اعتبار ^{[ 10 ]} امتدادًا مركزيًا لجبر لي لمجموعة غاليليو، يمتد بواسطة H ′ ، P′i، C′i، L′ ij ومؤثر M : _يتم الحصول على _ما يسمى بجبر بارغمان _عن طريق فرض${\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}}$، بحيث يقع M في المركز ، أي أنه يتبادل مع جميع المشغلين الآخرين.

يُعطى هذا الجبر بالكامل على النحو التالي

${\displaystyle [H',P'_{i}]=0\,\!}$

${\displaystyle [P'_{i},P'_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},H']=0\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},C'_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},L'_{kl}]=i[\delta _{ik}L'_{jl}-\delta _{il}L'_{jk}-\delta _{jk}L'_{il}+\delta _{jl}L'_{ik}]\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},P'_{k}]=i[\delta _{ik}P'_{j}-\delta _{jk}P'_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},C'_{k}]=i[\delta _{ik}C'_{j}-\delta _{jk}C'_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},H']=iP'_{i}\,\!}$

وأخيراً

${\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}~.}$

حيث المعلمة الجديدة${\displaystyle M}$يظهر. يتم تحديد هذا الامتداد والتمثيلات الإسقاطية التي يتيحها ذلك من خلال تماثل المجموعة .

• ثبات غاليليو
• نظرية تمثيل المجموعة الجاليلية
• صياغة الموتر المتغير مع غاليلي
• مجموعة بوانكاريه
• مجموعة لورنتز
• إحداثيات لاغرانجية وإيلرية

• أرنولد، السادس ( 1989). الأساليب الرياضية للميكانيكا الكلاسيكية (  الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ. ص 6. ISBN  0-387-96890-3.
• بارغمان، ف. (1954). "حول تمثيلات الأشعة الوحدوية للمجموعات المتصلة". حوليات الرياضيات . 2. 59 (1): 1-46 . doi : 10.2307/1969831 . JSTOR 1969831 . 
• كوبرنيكوس، نيكولاس ؛ كيبلر، يوهانس ؛ غاليليو، غاليليو ؛ نيوتن، إسحاق ؛ أينشتاين، ألبرت (2002). هوكينغ، ستيفن (محرر). على أكتاف العمالقة: روائع الفيزياء والفلك . فيلادلفيا، لندن: رانينغ برس . الصفحات 515-520 . ISBN  0-7624-1348-4.
• جاليلي، جاليليو (1638ط). Discorsi e Dimostrazioni Matematiche، intorno á Due nuoue scienze (باللغة الإيطالية). ليدن: إلسفير . ص 191 – 196. 
• جاليلي، جاليليو (1638هـ). الخطابات والعروض الرياضية المتعلقة بعلمين جديدين [ Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze ] . ترجمها إلى الإنجليزية عام 1914 بواسطة هنري كرو وألفونسو دي سالفيو.
• جيلمور، روبرت (2006). زمر لي، وجبر لي، وبعض تطبيقاتها . كتب دوفر في الرياضيات. منشورات دوفر . ISBN 0486445291.
• هوفمان، بانيش (1983)، النسبية وجذورها ، منشورات ساينتفك أمريكان، رقم ISBN 0-486-40676-8، الفصل الخامس، صفحة 83
• ليرنر، لورانس س. (1996)، الفيزياء للعلماء والمهندسين ، المجلد  2، دار نشر جونز وبيرتليت، رقم ISBN 0-7637-0460-1، الفصل 38 §38.2، ص 1046، 1047
• مولد، ريتشارد أ. (2002)، النسبية الأساسية ، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 0-387-95210-1، الفصل 2 §2.6، ص 42
• نجافيخاه، مهدي؛ فروغ، أحمد رضا (2009). "الهندسة الغاليلية للحركات" (ملف PDF) . العلوم التطبيقية . 11 : 91-105 .
• سيرواي، ريموند أ.؛ جويت، جون و. (2006)، مبادئ الفيزياء: نص قائم على حساب التفاضل والتكامل (  الطبعة الرابعة)، بروكس/كول - تومسون ليرنينج، رمز Bibcode : 2006ppcb.book.....J ، رقم ISBN 0-534-49143-X، الفصل 9 §9.1، ص 261