الهندسة التحليلية

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 82 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، الهندسة التحليلية ، والمعروفة أيضاً بالهندسة الإحداثية أو الهندسة الديكارتية ، هي دراسة الهندسة باستخدام نظام إحداثيات . وهذا يختلف عن الهندسة التركيبية .

تُستخدم الهندسة التحليلية في الفيزياء والهندسة ، وكذلك في الطيران ، وعلم الصواريخ ، وعلوم الفضاء ، ورحلات الفضاء ، والإحصاء ، والاقتصاد ، والعلوم الاجتماعية . وهي أساس معظم فروع الهندسة الحديثة، بما في ذلك الهندسة الجبرية ، والتفاضلية ، والمنفصلة ، ​​والحسابية .

يُستخدم نظام الإحداثيات الديكارتية عادةً لمعالجة معادلات المستويات والخطوط المستقيمة والدوائر، غالبًا في بُعدين وأحيانًا في ثلاثة أبعاد. هندسيًا، تُدرس المستويات الإقليدية (بعدان) والفضاء الإقليدي. وكما هو مُدرّس في الكتب المدرسية، يُمكن شرح الهندسة التحليلية ببساطة أكبر: فهي تُعنى بتعريف وتمثيل الأشكال الهندسية بطريقة عددية، واستخلاص المعلومات العددية من تعريفات وتمثيلات هذه الأشكال. ويعتمد استخدام جبر الأعداد الحقيقية للحصول على نتائج حول الاستمرارية الخطية للهندسة على بديهية كانتور-ديديكيند .

تاريخ

اليونان القديمة

قام عالم الرياضيات اليوناني مينايخموس بحل المسائل وإثبات النظريات باستخدام طريقة تشبه إلى حد كبير استخدام الإحداثيات، وقد قيل أحيانًا أنه هو من أدخل الهندسة التحليلية. [ 1 ]

تناول أبولونيوس البرغي ، في كتابه "في المقطع المحدد" ، مسائلَ يمكن وصفها بالهندسة التحليلية أحادية البعد، وتحديدًا مسألة إيجاد نقاط على خط مستقيم تُشكّل نسبةً إلى نقاط أخرى. [ 2 ] وقد طوّر أبولونيوس في كتابه "المخروطيات" منهجًا شديد الشبه بالهندسة التحليلية، حتى أن البعض يعتقد أن عمله سبق عمل ديكارت بنحو 1800 عام. إن تطبيقه لخطوط المرجعية والقطر والمماس لا يختلف جوهريًا عن استخدامنا الحديث لنظام الإحداثيات، حيث تمثل المسافات المقاسة على طول القطر من نقطة التماس الإحداثيات السينية، بينما تمثل القطع المستقيمة الموازية للمماس والمقطوعة بين المحور والمنحنى الإحداثيات الصادية. وقد طوّر أيضًا علاقات بين الإحداثيات السينية والإحداثيات الصادية المقابلة لها، وهي علاقات تُكافئ المعادلات البلاغية (المُعبَّر عنها لفظيًا) للمنحنيات. مع ذلك، ورغم اقتراب أبولونيوس من تطوير الهندسة التحليلية، إلا أنه لم ينجح في ذلك، إذ لم يأخذ في الحسبان المقادير السالبة، وفي كل حالة كان نظام الإحداثيات يُفرض على منحنى معين لاحقاً بدلاً من فرضه مسبقاً . أي أن المعادلات كانت تُحدد بالمنحنيات، لكن المنحنيات لم تكن تُحدد بالمعادلات. كانت الإحداثيات والمتغيرات والمعادلات مفاهيم ثانوية تُطبق على حالة هندسية محددة. [ 3 ]

بلاد فارس

رأى عالم الرياضيات الفارسي عمر الخيام، الذي عاش في القرن الحادي عشر، علاقة وثيقة بين الهندسة والجبر، وكان يسير في الاتجاه الصحيح عندما ساهم في سد الفجوة بين الجبر العددي والجبر الهندسي [ 4 ] من خلال حله الهندسي للمعادلات التكعيبية العامة ، [ 5 ] إلا أن الخطوة الحاسمة جاءت لاحقًا مع ديكارت. [ 4 ] يُنسب إلى عمر الخيام تحديد أسس الهندسة الجبرية ، ويُعد كتابه "رسالة في برهان مسائل الجبر" (1070)، الذي وضع فيه مبادئ الهندسة التحليلية، جزءًا من التراث الرياضي الفارسي الذي انتقل لاحقًا إلى أوروبا. [ 6 ] وبفضل منهجه الهندسي الشامل في حل المعادلات الجبرية، يُمكن اعتبار الخيام رائدًا لديكارت في ابتكار الهندسة التحليلية. [ 7 ] : 248

أوروبا الغربية

Analytic geometry was independently invented by René Descartes and Pierre de Fermat,[8][9] although Descartes is sometimes given sole credit.[10][11]Cartesian geometry, the alternative term used for analytic geometry, is named after Descartes.

Descartes made significant progress with the methods in an essay titled La Géométrie (Geometry), one of the three accompanying essays (appendices) published in 1637 together with his Discourse on the Method for Rightly Directing One's Reason and Searching for Truth in the Sciences, commonly referred to as Discourse on Method. La Geometrie, written in his native French tongue, and its philosophical principles, provided a foundation for calculus in Europe. Initially the work was not well received, due, in part, to the many gaps in arguments and complicated equations. Only after the translation into Latin and the addition of commentary by van Schooten in 1649 (and further work thereafter) did Descartes's masterpiece receive due recognition.[12]

Pierre de Fermat also pioneered the development of analytic geometry. Although not published in his lifetime, a manuscript form of Ad locos planos et solidos isagoge (Introduction to Plane and Solid Loci) was circulating in Paris in 1637, just prior to the publication of Descartes' Discourse.[13][14][15] Clearly written and well received, the Introduction also laid the groundwork for analytical geometry. The key difference between Fermat's and Descartes' treatments is a matter of viewpoint: Fermat always started with an algebraic equation and then described the geometric curve that satisfied it, whereas Descartes started with geometric curves and produced their equations as one of several properties of the curves.[12] As a consequence of this approach, Descartes had to deal with more complicated equations and he had to develop the methods to work with polynomial equations of higher degree. It was Leonhard Euler who first applied the coordinate method in a systematic study of space curves and surfaces.

Coordinates

Illustration of a Cartesian coordinate plane. Four points are marked and labeled with their coordinates: (2,3) in green, (−3,1) in red, (−1.5,−2.5) in blue, and the origin (0,0) in purple.

في الهندسة التحليلية، يُعطى المستوى نظام إحداثيات، حيث تمتلك كل نقطة زوجًا من الإحداثيات الحقيقية . وبالمثل، يُعطى الفضاء الإقليدي نظام إحداثيات، حيث تمتلك كل نقطة ثلاث إحداثيات. وتعتمد قيمة الإحداثيات على اختيار نقطة الأصل. تُستخدم أنظمة إحداثيات متنوعة، ولكن أكثرها شيوعًا هي التالية: [ 16 ]

الإحداثيات الديكارتية (في مستوى أو فضاء)

يُعدّ نظام الإحداثيات الديكارتية النظام الإحداثي الأكثر شيوعًا ، حيث يُمثّل كل نقطة إحداثيًا أفقيًا (x ) وإحداثيًا رأسيًا (y) . وعادةً ما يُكتب هذان الإحداثيان كزوج مرتب ( x , y ). يُمكن استخدام هذا النظام أيضًا في الهندسة ثلاثية الأبعاد، حيث تُمثّل كل نقطة في الفضاء الإقليدي بثلاثية مرتبة من الإحداثيات ( x , y , z ).   

الإحداثيات القطبية (في مستوى ثنائي الأبعاد)

ثلاثة متجهات في نظام الإحداثيات القطبية، جميعها تنطلق من نقطة الأصل بزوايا منفصلة.θ{\displaystyle \theta }المرور عبر النقاط(x1،y1)،(x2،y2)،(x3،y3){\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}.

في الإحداثيات القطبية ، تُمثَّل كل نقطة في المستوى بمسافتها r من نقطة الأصل وزاويتها θ ، حيث تُقاس θ عادةً عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور x الموجب . باستخدام هذه الصيغة، تُكتب النقاط عادةً كزوج مرتب ( r , θ ). يمكن التحويل بين الإحداثيات الديكارتية ثنائية الأبعاد والإحداثيات القطبية باستخدام هذه الصيغ: [ 17 ]x=ركوس⁡θ،y=رالخطيئة⁡θ؛ر=x2+y2،θ=دالة الظل العكسي⁡(y/x).{\displaystyle x=r\,\cos \theta ,\,y=r\,\sin \theta r = √(x² + y²)، θ = arctan(y/x). يمكن تعميم هذا النظام إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد باستخدام الإحداثيات الأسطوانية أو الكروية . [ 17 ]

الإحداثيات الأسطوانية (في الفضاء)

في الإحداثيات الأسطوانية ، يتم تمثيل كل نقطة في الفضاء بارتفاعها z ونصف قطرها r من المحور z والزاوية θ التي يصنعها إسقاطها على المستوى xy بالنسبة للمحور الأفقي.

الإحداثيات الكروية (في الفضاء)

في الإحداثيات الكروية، تُمثَّل كل نقطة في الفضاء بمسافتها ρ من نقطة الأصل، والزاوية θ التي يصنعها إسقاطها على المستوى xy بالنسبة للمحور الأفقي، والزاوية φ التي تصنعها بالنسبة للمحور z . غالبًا ما تُعكس أسماء الزوايا في الفيزياء. [ 16 ]

المعادلات والمنحنيات

في الهندسة التحليلية، تُحدد أي معادلة تتضمن الإحداثيات مجموعة جزئية من المستوى، وهي مجموعة حلول المعادلة، أو المحل الهندسي . على سبيل المثال، تُقابل المعادلة ص  = س مجموعة جميع النقاط على المستوى التي تتساوى إحداثياتها س مع إحداثياتها ص . تُشكل هذه النقاط خطًا مستقيمًا ، ويُقال إن ص = س هي معادلة هذا الخط. عمومًا، تُحدد المعادلات الخطية التي تتضمن س و ص الخطوط المستقيمة، وتُحدد المعادلات التربيعية القطوع المخروطية ، وتصف المعادلات الأكثر تعقيدًا الأشكال الهندسية الأكثر تعقيدًا. [ 18 ]   

عادةً، تُقابل معادلة واحدة منحنىً على المستوى. لكن هذا ليس هو الحال دائمًا: فالمعادلة البسيطة x  = x تُحدد المستوى بأكمله، والمعادلة x² + y² = 0 تُحدد النقطة (0, 0) فقط. في ثلاثة أبعاد، تُعطي معادلة واحدة عادةً سطحًا ، ويجب تحديد المنحنى إما كنقطة تقاطع سطحين ( انظر أدناه)، أو كنظام من المعادلات الوسيطية . [ 19 ] المعادلة x² + y² = r² هي معادلة أي دائرة مركزها نقطة الأصل (0, 0 ) ونصف قطرها r .          

الخطوط والمستويات

يمكن وصف الخطوط في المستوى الديكارتي ، أو بشكل أعم، في الإحداثيات الأفينية ، جبريًا بواسطة معادلات خطية . في بعدين، غالبًا ما تُعطى معادلة الخطوط غير الرأسية بصيغة الميل والمقطع : y=مx+ب{\displaystyle y=mx+b} أين:

بطريقة مماثلة للطريقة التي يتم بها وصف الخطوط في الفضاء ثنائي الأبعاد باستخدام شكل نقطة-ميل لمعادلاتها، فإن المستويات في الفضاء ثلاثي الأبعاد لها وصف طبيعي باستخدام نقطة في المستوى ومتجه متعامد معها ( المتجه العمودي ) للإشارة إلى "ميلها".

على وجه التحديد، دعر0{\displaystyle \mathbf {r} _{0}}ليكن متجه موضع نقطة ماP0=(x0،y0،z0){\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}ودعن=(أ،ب،ج){\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}ليكن متجهًا غير صفري. يتكون المستوى المحدد بهذه النقطة والمتجه من تلك النقاط.P{\displaystyle P}، مع متجه الموضعر{\displaystyle \mathbf {r} }، بحيث يكون المتجه المرسوم منP0{\displaystyle P_{0}}لP{\displaystyle P}عمودي علىن{\displaystyle \mathbf {n} }بتذكر أن متجهين يكونان متعامدين إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا، فإنه يترتب على ذلك أن المستوى المطلوب يمكن وصفه بأنه مجموعة جميع النقاطر{\displaystyle \mathbf {r} }بحيث ن⋅(ر-ر0)=0.{\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.} (النقطة هنا تعني الضرب القياسي ، وليس الضرب القياسي). وبتوسيع هذا يصبح أ(x-x0)+ب(y-y0)+ج(z-z0)=0،{\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,}وهي الصيغة النقطية العمودية لمعادلة المستوى. هذه مجرد معادلة خطية : أx+بy+جz+د=0، أين د=-(أx0+بy0+جz0).{\displaystyle ax+by+cz+d=0,{\text{ حيث }}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).} وبالمقابل، من السهل إثبات أنه إذا كانت a و b و c و d ثوابت، وكانت a و b و c لا تساوي جميعها صفرًا، فإن الرسم البياني للمعادلة أx+بy+جz+د=0،{\displaystyle ax+by+cz+d=0,}هو مستوى له متجهن=(أ،ب،ج){\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}كحالة طبيعية. تُسمى هذه المعادلة المألوفة للمستوى بالصيغة العامة لمعادلة المستوى. [ 20 ]

في ثلاثة أبعاد، لا يمكن وصف الخطوط بمعادلة خطية واحدة، لذلك غالباً ما يتم وصفها بمعادلات وسيطية : x=x0+أت{\displaystyle x=x_{0}+at}y=y0+بت{\displaystyle y=y_{0}+bt}z=z0+جت{\displaystyle z=z_{0}+ct} أين:

  • x و y و z كلها دوال للمتغير المستقل t الذي يتراوح على الأعداد الحقيقية.
  • ( x0 , y0 , z0 ) هي أي نقطة على الخط.
  • ترتبط a و b و c بميل الخط، بحيث يكون المتجه ( a و b و c ) موازياً للخط.

القطوع المخروطية

القطع الزائد والقطع الزائد المرافق له

في نظام الإحداثيات الديكارتية ، يكون تمثيل المعادلة التربيعية بمتغيرين دائمًا قطعًا مخروطيًا - على الرغم من أنه قد يكون منحلًا، وتنشأ جميع القطوع المخروطية بهذه الطريقة. ستكون المعادلة على الصورة التالية: أx2+بxy+جy2+دx+هـy+F=0 مع أ،ب،ج ليس كلها أصفاراً.{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0{\text{ حيث }}A، B، C{\text{ ليست جميعها أصفارًا.}}} بما أن تغيير مقياس جميع الثوابت الستة ينتج عنه نفس موضع الأصفار، يمكن اعتبار القطوع المخروطية نقاطًا في الفضاء الإسقاطي خماسي الأبعادP5.{\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}

يمكن تصنيف القطوع المخروطية الموصوفة بهذه المعادلة باستخدام المميز [ 21 ]

ب2-4أج.{\displaystyle B^{2}-4AC.} إذا كان القطع المخروطي غير منحل، فإن:

الأسطح التربيعية

السطح التربيعي ، أو السطح التربيعي ، هو سطح ثنائي الأبعاد في فضاء ثلاثي الأبعاد، ويُعرَّف بأنه موضع أصفار متعددة الحدود التربيعية . في الإحداثيات x1 ، x2 ، x3 ، يُعرَّف السطح التربيعي العام بالمعادلة الجبرية [ 22 ] .

∑أنا،ج=13xأناسؤالأناجxج+∑أنا=13Pأناxأنا+R=0.{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}+R=0.}

تشمل الأسطح التربيعية الأشكال الإهليلجية (بما في ذلك الكرة )، والقطع المكافئ ، والقطع الزائد ، والأسطوانات ، والمخاريط ، والمستويات .

المسافة والزاوية

تُستنتج صيغة المسافة على المستوى من نظرية فيثاغورس.

في الهندسة التحليلية، تُعرَّف المفاهيم الهندسية، مثل المسافة وقياس الزاوية ، باستخدام صيغ رياضية . صُممت هذه التعريفات لتكون متسقة مع الهندسة الإقليدية الأساسية . على سبيل المثال، باستخدام الإحداثيات الديكارتية على المستوى، تُعرَّف المسافة بين نقطتين ( x1 , y1 ) و( x2 , y2 ) بالصيغة التالية :  د=(x2-x1)2+(y2-y1)2،{\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},} والتي يمكن اعتبارها صيغة من صيغ نظرية فيثاغورس . وبالمثل، يمكن تعريف الزاوية التي يصنعها خط مع الأفقي بالصيغة التالية: θ=دالة الظل العكسي⁡(م)،{\displaystyle \theta =\arctan(m),} حيث m هو ميل الخط.

في ثلاثة أبعاد، تُعطى المسافة بتعميم نظرية فيثاغورس: د=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2،{\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},} بينما تُعطى الزاوية بين متجهين بالضرب القياسي . ويُعرَّف الضرب القياسي لمتجهين إقليديين A و B بالمعادلة [ 23 ].أ⋅ب=دهـو‖أ‖‖ب‖كوس⁡θ،{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|\cos \theta ,} حيث θ هي الزاوية بين A و B.​

التحولات

أ) ص = د(س) = | س | ب) ص = د(س+3) ج) ص = د(س)-3 د) ص = ½ د(س)               

يتم تطبيق التحويلات على دالة أصلية لتحويلها إلى دالة جديدة ذات خصائص مماثلة.

الرسم البياني لـR(x،y){\displaystyle R(x,y)}يتم تغييرها بواسطة التحويلات القياسية كما يلي:

  • التغييرx{\displaystyle x}لx-ح{\displaystyle xh}يحرك الرسم البياني إلى اليمينح{\displaystyle h}وحدات.
  • التغييرy{\displaystyle y}لy-ك{\displaystyle yk}يحرك الرسم البياني للأعلىك{\displaystyle k}وحدات.
  • التغييرx{\displaystyle x}لx/ب{\displaystyle x/b}يمدد الرسم البياني أفقيًا بمعامل قدرهب{\displaystyle b}(فكر فيx{\displaystyle x}(كما هو الحال عند اتساع حدقة العين)
  • التغييرy{\displaystyle y}لy/أ{\displaystyle y/a}يمدد الرسم البياني عموديًا.
  • التغييرx{\displaystyle x}لxكوس⁡أ+yالخطيئة⁡أ{\displaystyle x\cos A+y\sin A}والتغييرy{\displaystyle y}ل-xالخطيئة⁡أ+yكوس⁡أ{\displaystyle -x\sin A+y\cos A}يدير الرسم البياني بزاويةأ{\displaystyle A}.

توجد تحويلات قياسية أخرى لا تُدرس عادةً في الهندسة التحليلية الابتدائية، لأنها تُغير شكل الأجسام بطرق غير مألوفة. يُعدّ الانحراف مثالاً على هذه التحويلات. لمزيد من المعلومات، يُرجى مراجعة مقالة ويكيبيديا حول التحويلات الأفينية .

على سبيل المثال، الدالة الأصليةy=1/x{\displaystyle y=1/x}للدالة خط تقارب أفقي وآخر رأسي، وتشغل الربعين الأول والثالث، وجميع أشكالها المحولة لها خط تقارب أفقي وآخر رأسي، وتشغل إما الربعين الأول والثالث أو الربعين الثاني والرابع. بشكل عام، إذاy=و(x){\displaystyle y=f(x)}ثم يمكن تحويله إلىy=أو(ب(x-ك))+ح{\displaystyle y=af(b(xk))+h}في الدالة المُحوَّلة الجديدة،أ{\displaystyle a}هو العامل الذي يمدد الدالة عموديًا إذا كان أكبر من 1، أو يضغطها عموديًا إذا كان أقل من 1، وبالنسبة للقيم السالبةأ{\displaystyle a}تنعكس الوظيفة في القيمx{\displaystyle x}المحور -ب{\displaystyle b}تُضغط قيمة الدالة الرسم البياني أفقيًا إذا كانت أكبر من 1، وتُمدد الدالة أفقيًا إذا كانت أقل من 1، ومثلأ{\displaystyle a}، يعكس الوظيفة فيy{\displaystyle y}المحور السالب عندما يكون سالبًا.ك{\displaystyle k}وح{\displaystyle h}تُدخل القيم الترجمات،ح{\displaystyle h}عمودي، وك{\displaystyle k}أفقي. إيجابيح{\displaystyle h}وك{\displaystyle k}القيم تعني أن الدالة تُنقل إلى الطرف الموجب لمحورها، والقيم السالبة تعني النقل نحو الطرف السالب.

يمكن تطبيق التحويلات على أي معادلة هندسية سواء كانت تمثل دالة أم لا. ويمكن اعتبار التحويلات عمليات فردية أو مجموعات.

لنفترض أنR(x،y){\displaystyle R(x,y)}هي علاقة فيxy{\displaystyle xy}طائرة. على سبيل المثال، x2+y2-1=0{\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0} هي العلاقة التي تصف دائرة الوحدة.

إيجاد تقاطعات الأشكال الهندسية

بالنسبة لجسمين هندسيين P و Q ممثلين بالعلاقاتP(x،y){\displaystyle P(x,y)}وسؤال(x،y){\displaystyle Q(x,y)}التقاطع هو مجموعة جميع النقاط(x،y){\displaystyle (x,y)}والتي تقع في كلا العلاقتين. [ 24 ]

على سبيل المثال،P{\displaystyle P}قد تكون الدائرة التي نصف قطرها 1 ومركزها(0،0){\displaystyle (0,0)}: P={(x،y)|x2+y2=1}{\displaystyle P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}}وسؤال{\displaystyle Q}قد تكون الدائرة التي نصف قطرها 1 ومركزها(1،0):سؤال={(x،y)|(x-1)2+y2=1}{\displaystyle (1,0):Q=\{(x,y)|(x-1)^{2}+y^{2}=1\}}نقطة تقاطع هاتين الدائرتين هي مجموعة النقاط التي تجعل المعادلتين صحيحتين. هل النقطة(0،0){\displaystyle (0,0)}هل يمكن جعل المعادلتين صحيحتين؟ باستخدام(0،0){\displaystyle (0,0)}ل(x،y){\displaystyle (x,y)}، المعادلة لـسؤال{\displaystyle Q}يصبح(0-1)2+02=1{\displaystyle (0-1)^{2}+0^{2}=1}أو(-1)2=1{\displaystyle (-1)^{2}=1}وهذا صحيح، لذلك(0،0){\displaystyle (0,0)}هو في العلاقةسؤال{\displaystyle Q}من ناحية أخرى، لا يزال يستخدم(0،0){\displaystyle (0,0)}ل(x،y){\displaystyle (x,y)}معادلة لـP{\displaystyle P}يصبح02+02=1{\displaystyle 0^{2}+0^{2}=1}أو0=1{\displaystyle 0=1}وهذا غير صحيح. (0،0){\displaystyle (0,0)}ليس فيP{\displaystyle P}إذن فهو ليس في التقاطع.

تقاطعP{\displaystyle P}وسؤال{\displaystyle Q}يمكن إيجادها عن طريق حل المعادلات الآنية:

x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}(x-1)2+y2=1.{\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1.}

تشمل الطرق التقليدية لإيجاد التقاطعات الاستبدال والحذف.

التعويض: حل المعادلة الأولى لإيجادy{\displaystyle y}من ناحيةx{\displaystyle x}ثم استبدل التعبير بـy{\displaystyle y}في المعادلة الثانية:

x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}y2=1-x2.{\displaystyle y^{2}=1-x^{2}.}

ثم نستبدل هذه القيمة بـy2{\displaystyle y^{2}}أدخلها في المعادلة الأخرى وتابع حلها لإيجادx{\displaystyle x}: (x-1)2+(1-x2)=1{\displaystyle (x-1)^{2}+(1-x^{2})=1}x2-2x+1+1-x2=1{\displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}-2x=-1{\displaystyle -2x=-1}x=1/2.{\displaystyle x=1/2.}

بعد ذلك، نضع هذه القيمة لـx{\displaystyle x}في أي من المعادلتين الأصليتين، قم بحل المعادلة لإيجاد قيمة .y{\displaystyle y}:

(1/2)2+y2=1{\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}y2=3/4{\displaystyle y^{2}=3/4}y=±32.{\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}

إذن، نقطة التقاطع لدينا تتكون من نقطتين: (1/2،+32)و(1/2،-32).{\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}

الحذف : أضف (أو اطرح) مضاعفًا لإحدى المعادلتين من الأخرى بحيث يتم حذف أحد المتغيرات. في مثالنا الحالي، إذا طرحنا المعادلة الأولى من الثانية، فسنحصل على(x-1)2-x2=0{\displaystyle (x-1)^{2}-x^{2}=0}. الy2{\displaystyle y^{2}}يتم طرح القيمة في المعادلة الأولى منy2{\displaystyle y^{2}}في المعادلة الثانية، لا يتركy{\displaystyle y}المصطلح. المتغيرy{\displaystyle y}تم استبعاد المتغير. ثم نحل المعادلة المتبقية لإيجاد قيمة المتغير.x{\displaystyle x}، بنفس الطريقة المتبعة في طريقة الاستبدال:

x2-2x+1-x2=0{\displaystyle x^{2}-2x+1-x^{2}=0}-2x=-1{\displaystyle -2x=-1}x=1/2.{\displaystyle x=1/2.}

ثم نضع هذه القيمة منx{\displaystyle x}في أي من المعادلتين الأصليتين، قم بحل المعادلة لإيجاد قيمة .y{\displaystyle y}: (1/2)2+y2=1{\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}y2=3/4{\displaystyle y^{2}=3/4}y=±32.{\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}

إذن، نقطة التقاطع لدينا تتكون من نقطتين: (1/2،+32)و(1/2،-32).{\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}

بالنسبة للقطوع المخروطية، قد يصل عدد النقاط في نقطة التقاطع إلى 4 نقاط.

إيجاد نقاط التقاطع

أحد أنواع التقاطعات التي تحظى بدراسة واسعة هو تقاطع شكل هندسي معx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}محاور الإحداثيات.

تقاطع شكل هندسي وy{\displaystyle y}يُطلق على المحور - اسمy{\displaystyle y}نقطة تقاطع الجسم مع المحور الصادي. تقاطع جسم هندسي مع المحور الصادي.x{\displaystyle x}يُطلق على المحور - اسمx{\displaystyle x}نقطة تقاطع الجسم مع المحور السيني.

للسطرy=مx+ب{\displaystyle y=mx+b}، المعاملب{\displaystyle b}يحدد النقطة التي يتقاطع عندها الخط معy{\displaystyle y}المحور. اعتمادًا على السياق، إماب{\displaystyle b}أو النقطة(0،ب){\displaystyle (0,b)}يُطلق عليه اسمy{\displaystyle y}- نقطة التقاطع.

المحور الهندسي

المحور في الهندسة هو الخط العمودي على أي خط أو جسم أو سطح.

ويمكن استخدام هذا المصطلح أيضاً في اللغة الشائعة على أنه: خط عادي (عمودي)، أو في الهندسة على أنه خط محوري .

في الهندسة ، يُعرف العمودي بأنه جسم، كخط أو متجه، يكون عموديًا على جسم معين. على سبيل المثال، في الحالة ثنائية الأبعاد، يكون الخط العمودي على منحنى عند نقطة معينة هو الخط العمودي على المماس للمنحنى عند تلك النقطة.

في الحالة ثلاثية الأبعاد ، يكون المتجه العمودي على سطح ما عند النقطة P متجهًا عموديًا على المستوى المماس لذلك السطح عند النقطة P. ويُستخدم مصطلح "عمودي" أيضًا كصفة: خط عمودي على مستوى ، المركبة العمودية للقوة ، المتجه العمودي ، إلخ. ويُعمم مفهوم العمودية ليشمل التعامد .

المستويات الكروية وغير الخطية ومماساتها

المماس هو التقريب الخطي لخط كروي أو أي خط منحني أو ملتوي آخر لدالة ما.

الخطوط والمستويات المماسية

في الهندسة ، يُعرف المماس (أو ببساطة المماس ) لمنحنى مستوٍ عند نقطة معينة بأنه الخط المستقيم الذي يلامس المنحنى عند تلك النقطة. بعبارة أخرى، هو خط يمر بنقطتين متقاربتين للغاية على المنحنى. بتعبير أدق، يُقال إن الخط المستقيم مماس للمنحنى y = f ( x ) عند النقطة x = c على المنحنى إذا كان يمر بالنقطة ( c , f ( c )) على المنحنى وميله f ' ( c )، حيث f' هي مشتقة f . وينطبق تعريف مشابه على المنحنيات الفضائية والمنحنيات في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n .

عندما يمر عبر النقطة التي يلتقي فيها الخط المماس والمنحنى، والتي تسمى نقطة التماس ، فإن الخط المماس "يسير في نفس الاتجاه" مثل المنحنى، وبالتالي فهو أفضل تقريب خطي للمنحنى عند تلك النقطة.

وبالمثل، فإن المستوى المماس لسطح ما عند نقطة معينة هو المستوى الذي "يلامس" السطح عند تلك النقطة. يُعد مفهوم المماس أحد أهم المفاهيم الأساسية في الهندسة التفاضلية ، وقد تم تعميمه على نطاق واسع؛ انظر: فضاء المماس .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ بوير، كارل ب. (1991). "عصر أفلاطون وأرسطو" . تاريخ الرياضيات (  الطبعة الثانية). جون وايلي وأولاده، ص 94-95 . ISBN  0-471-54397-7يبدو أن مينايخموس قد استنتج هذه الخصائص للقطوع المخروطية وغيرها. ولأن هذه المادة تشبه إلى حد كبير استخدام الإحداثيات، كما هو موضح أعلاه، فقد قيل أحيانًا إن مينايخموس كان يمتلك هندسة تحليلية. إلا أن هذا الحكم ليس صحيحًا تمامًا، فمن المؤكد أن مينايخموس لم يكن على دراية بأن أي معادلة بمجهولين تحدد منحنى. في الواقع، كان المفهوم العام للمعادلة بمجهولين غريبًا على الفكر اليوناني. وكانت أوجه القصور في الرموز الجبرية، أكثر من أي شيء آخر، هي التي حالت دون تحقيق اليونانيين لهندسة إحداثية متكاملة.
  2. ↑ بوير ، كارل ب. (1991). "أبولونيوس البرغي" . تاريخ الرياضيات ( الطبعة الثانية). جون وايلي وأولاده، ص 142. ISBN   0-471-54397-7تناولت رسالة أبولونيوس " في المقطع المحدد" ما يُمكن تسميته بالهندسة التحليلية أحادية البُعد. وقد تناولت المسألة العامة التالية، باستخدام التحليل الجبري اليوناني التقليدي في صورته الهندسية: إذا كانت لدينا أربع نقاط A وB وC و D على خط مستقيم، فحدد نقطة خامسة P عليه بحيث تكون نسبة المستطيل الواقع على النقطتين AP وCP إلى المستطيل الواقع على النقطتين BP وDP مُعطاة. وهنا أيضًا، تُختزل المسألة بسهولة إلى حل معادلة تربيعية؛ وكما في حالات أخرى، تناول أبولونيوس المسألة باستفاضة، بما في ذلك حدود الاحتمالات وعدد الحلول.
  3. ↑ بوير ، كارل ب. (1991). "أبولونيوس البرغي" . تاريخ الرياضيات ( الطبعة الثانية). جون وايلي وأولاده، ص 156. ISBN   0-471-54397-7تتشابه طريقة أبولونيوس في دراسة القطوع المخروطية، في جوانب عديدة ، مع المنهج الحديث لدرجة أن عمله يُعتبر أحيانًا هندسة تحليلية سبقت هندسة ديكارت بـ 1800 عام. إن استخدام خطوط الإسناد عمومًا، والقطر والمماس عند طرفه خصوصًا، لا يختلف جوهريًا عن استخدام نظام إحداثيات، سواء كان مستطيلًا أو مائلًا. المسافات المقاسة على طول القطر من نقطة التماس هي الإحداثيات السينية، والقطع المستقيمة الموازية للمماس والمقطوعة بين المحور والمنحنى هي الإحداثيات الصادية. إن العلاقة الأبولونية بين هذه الإحداثيات السينية والإحداثيات الصادية المقابلة لها ليست سوى صيغ بلاغية لمعادلات المنحنيات. مع ذلك، لم يكن الجبر الهندسي اليوناني يسمح بالقيم السالبة؛ علاوة على ذلك، كان نظام الإحداثيات يُطبق لاحقًا على منحنى معين لدراسة خصائصه. لا يبدو أن هناك حالات في الهندسة القديمة تم فيها تحديد إطار إحداثيات مسبقًا لأغراض التمثيل البياني لمعادلة أو علاقة، سواءً أكان ذلك برمزية أم ببلاغة. أما في الهندسة اليونانية، فيمكننا القول إن المعادلات تُحدد بالمنحنيات، لا أن المنحنيات تُحدد بالمعادلات. كانت الإحداثيات والمتغيرات والمعادلات مفاهيم فرعية مستمدة من حالة هندسية محددة؛ [...] ولعل فشل أبولونيوس، أعظم مهندسي العصور القديمة، في تطوير الهندسة التحليلية، كان نتيجةً لقلة معرفته بالمنحنيات لا لنقص في فكره. فالأساليب العامة ليست ضرورية عندما تتعلق المسائل دائمًا بواحدة من عدد محدود من الحالات الخاصة.
  4. 1 2 بوير (1991). "الهيمنة العربية" . تاريخ الرياضيات . ص 241-242 . ISBN  9780471543978كتب عمر الخيام (حوالي 1050-1123)، الملقب بـ"صانع الخيام"، كتابًا في الجبر تجاوز ما كتبه الخوارزمي ليشمل معادلات الدرجة الثالثة. وكما فعل أسلافه العرب، قدّم عمر الخيام حلولًا حسابية وهندسية للمعادلات التربيعية؛ أما بالنسبة للمعادلات التكعيبية العامة، فقد اعتقد (خطأً، كما أثبت القرن السادس عشر لاحقًا) أن الحلول الحسابية مستحيلة؛ لذا قدّم حلولًا هندسية فقط. وقد سبق استخدام طريقة استخدام القطوع المخروطية المتقاطعة لحل المعادلات التكعيبية من قبل مناحيموس وأرخميدس والحزان، لكن عمر الخيام اتخذ خطوة جديرة بالثناء بتعميم هذه الطريقة لتشمل جميع معادلات الدرجة الثالثة (ذات الجذور الموجبة). أما بالنسبة للمعادلات ذات الدرجات الأعلى من ثلاثة، فمن الواضح أن عمر الخيام لم يتصور طرقًا هندسية مماثلة، لأن الفضاء لا يحتوي على أكثر من ثلاثة أبعاد... ومن أبرز إسهامات الانتقائية العربية الميل إلى سد الفجوة بين الجبر العددي والجبر الهندسي. جاءت الخطوة الحاسمة في هذا الاتجاه لاحقاً مع ديكارت، لكن عمر الخيام كان يسير في هذا الاتجاه عندما كتب: "من يظن أن الجبر خدعة للحصول على المجاهيل فقد ظن ذلك عبثاً. لا ينبغي إيلاء أي اهتمام لحقيقة أن الجبر والهندسة مختلفان في المظهر. الجبر حقائق هندسية مثبتة."
  5. ↑ كوبر، جلين م. (2003). "مراجعة: عمر الخيام، عالم الرياضيات، بقلم ر. راشد، ب. وهاب زاده". مجلة الجمعية الأمريكية للدراسات الشرقية . 123 (1): 248-249 . doi : 10.2307/3217882 . JSTOR 3217882 . 
  6. ↑ روائع رياضية: سجلات إضافية للمستكشفين ، ص 92
  7. ↑ كوبر، ج. (2003). مجلة الجمعية الشرقية الأمريكية، 123(1)، 248-249.
  8. ↑ ستيلويل، جون (2004). "الهندسة التحليلية". الرياضيات وتاريخها ( الطبعة الثانية). سبرينغر ساينس + بزنس ميديا ​​إنك. ص 105. ISBN   0-387-95336-1تأثر مؤسسا الهندسة التحليلية، فيرما وديكارت، بشدة بهذه التطورات .
  9. ↑ بوير 2004 ، ص 74 
  10. ↑ كوك ، روجر (1997). "حساب التفاضل والتكامل" . تاريخ الرياضيات: دورة موجزة . وايلي-إنترساينس. ص 326. ISBN  0-471-18082-3الشخص الذي يُنسب إليه الفضل بشكل شائع في اكتشاف الهندسة التحليلية هو الفيلسوف رينيه ديكارت (1596-1650)، أحد أكثر المفكرين تأثيراً في العصر الحديث .
  11. ↑ بوير 2004 ، ص 82 
  12. 1 2 كاتز 1998 ، صفحة 442
  13. ↑ كاتز 1998 ، صفحة 436
  14. ^ بيير دي فيرما، فاريا أوبرا ماثيماتيكا د. بيتري دي فيرما، سيناتوريس تولوساني (تولوز، فرنسا: جان بيش، 1679)، “Ad locos Planos et Solidos Isagoge،” الصفحات  91-103. أرشفة 2015-08-04 في آلة Wayback.
  15. ^ “Eloge de Monsieur de Fermat” أرشفة 2015-08-04 في آلة Wayback. (تأبين السيد دي فيرما)، Le Journal des Scavans ، 9 فبراير 1665، الصفحات من 69 إلى 72. من ص. 70: "مقدمة عن الأشياء والخطط والمواد الصلبة؛ وهي سمة تحليلية تتعلق بحل مشاكل الخطط والمواد الصلبة، والتي تتجنب أن تكون قد اتجهت إلى M. des Cartes eut rien publié sur ce sujet." (مقدمة للمواقع والمسطحات والمواد الصلبة؛ وهي أطروحة تحليلية تتعلق بحل المسائل المستوية والمواد الصلبة، والتي تمت رؤيتها قبل أن ينشر السيد دي كارت أي شيء حول هذا الموضوع.)
  16. 1 2 ستيوارت، جيمس (2008). حساب التفاضل والتكامل: الدوال المتسامية المبكرة ، الطبعة السادسة، بروكس كول سينجج ليرنينج. ISBN 978-0-495-01166-8
  17. 1 2 ويلسون، والاس ألفين؛ تريسي، جوشوا إيرفينغ (1937). الهندسة التحليلية ( طبعة بديلة). بوسطن، نيويورك : دي سي هيث وشركاه . الصفحات 153-155 ، 283-284 . LCCN 37002786. OCLC 530055 .    
  18. ↑ بيرسي فرانكلين سميث، آرثر سوليفان غيل (1905) مقدمة في الهندسة التحليلية ، مطبعة أثينيوم
  19. ↑ ويليام هـ. مكريا، الهندسة التحليلية ثلاثية الأبعاد، منشورات كورير دوفر، 27 يناير 2012
  20. ^ فوجيتشيتش، ميلانو. ساندرسون، جيفري (2008)، فوجيتشيتش، ميلانو؛ ساندرسون ، جيفري (محرران)، شرح الجبر الخطي بدقة ، سبرينغر، ص. 27، دوى : 10.1007/978-3-540-74639-3 ، ISBN  978-3-540-74637-9
  21. ↑ فانشي، جون ر. (2006)، مراجعة الرياضيات للعلماء والمهندسين ، جون وايلي وأولاده، ص 44-45 ، ISBN  0-471-75715-2القسم 3.2 ، الصفحة 45
  22. ↑ سيلفيو ليفي، مسائل تربيعية، مؤرشفة بتاريخ 18 يوليو 2018 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine ) ضمن قسم "صيغ وحقائق الهندسة"، مقتطف من الطبعة الثلاثين من كتاب "جداول وصيغ الرياضيات القياسية " الصادر عن دار نشر CRC ،من مركز الهندسة بجامعة مينيسوتا.
  23. ^ السيد شبيغل. س. ليبشوتز؛ د. سبيلمان (2009). تحليل المتجهات (الخطوط العريضة لشوم) ( الطبعة الثانية). ماكجرو هيل. رقم ISBN  978-0-07-161545-7.
  24. ↑ على الرغم من أن هذه المناقشة تقتصر على المستوى xy، إلا أنه يمكن توسيعها بسهولة لتشمل أبعادًا أعلى.

مراجع

الكتب

مقالات