الهندسة التركيبية

الهندسة التركيبية (التي يُشار إليها أحيانًا بالهندسة البديهية أو حتى الهندسة البحتة ) هي هندسة لا تستخدم الإحداثيات . وهي تعتمد على المنهج البديهي لإثبات جميع النتائج انطلاقًا من بعض الخصائص الأساسية، التي كانت تُسمى في البداية بالمسلمات وتُسمى حاليًا بالمسلمات .

بعد تقديم رينيه ديكارت لطريقة الإحداثيات في القرن السابع عشر ، والتي كانت تسمى الهندسة التحليلية ، تم صياغة مصطلح "الهندسة التركيبية" للإشارة إلى الطرق القديمة التي كانت، قبل ديكارت، الطرق الوحيدة المعروفة.

بحسب فيليكس كلاين ،

الهندسة التركيبية هي تلك التي تدرس الأشكال على هذا النحو، دون اللجوء إلى الصيغ، في حين أن الهندسة التحليلية تستخدم باستمرار مثل هذه الصيغ التي يمكن كتابتها بعد اعتماد نظام إحداثيات مناسب.

^{[ 1 ]}

يُعد كتاب " الأصول " لإقليدس أول منهج منهجي للهندسة التركيبية . إلا أنه في أواخر القرن التاسع عشر، تبيّن أن مسلمات إقليدس غير كافية لتوصيف الهندسة. ولم يُقدّم أول نظام بديهيات كامل للهندسة إلا في أواخر القرن التاسع عشر على يد ديفيد هيلبرت . وفي الوقت نفسه، اتضح أنه يمكن استخدام كل من الطرق التركيبية والتحليلية لبناء الهندسة. وقد أثبت إميل أرتين في كتابه "الجبر الهندسي" تكافؤ هذين المنهجين .

وبسبب هذا التكافؤ، لم يعد التمييز بين الهندسة التركيبية والهندسة التحليلية مستخدمًا، إلا على المستوى الابتدائي، أو بالنسبة للهندسات التي لا ترتبط بأي نوع من الأرقام، مثل بعض الهندسات المحدودة والهندسة غير الديزارجية .

تبدأ عملية التركيب المنطقي بنقطة انطلاق محددة ولكنها اعتباطية. وتتمثل نقطة الانطلاق هذه في تقديم مفاهيم أولية أو بديهيات حول هذه البديهيات:

• المفاهيم الأولية هي أبسط الأفكار. وهي تشمل عادةً كلاً من الأشياء والعلاقات. في الهندسة، الأشياء هي أشياء مثل النقاط والخطوط والمستويات ، بينما العلاقة الأساسية هي علاقة التلاقي - أي التقاء شيء بآخر أو اتصاله به. المصطلحات نفسها غير مُعرَّفة. وقد لاحظ هيلبرت ذات مرة أنه بدلاً من النقاط والخطوط والمستويات ، يمكن للمرء أن يتحدث عن الطاولات والكراسي وأكواب البيرة، ^{[ 2 ]} والقصد من ذلك أن المصطلحات الأولية مجرد عناصر نائبة فارغة ولا تملك خصائص جوهرية.
• البديهيات هي عبارات تتعلق بهذه العناصر الهندسية الأساسية؛ على سبيل المثال، أي نقطتين تقعان معًا على خط مستقيم واحد (أي أنه لأي نقطتين، يوجد خط مستقيم واحد يمر بهما). البديهيات مفترضة، وليست مثبتة. وهي اللبنات الأساسية للمفاهيم الهندسية، لأنها تحدد خصائص العناصر الهندسية الأساسية.

انطلاقاً من مجموعة معينة من البديهيات، تتم عملية التركيب كحجة منطقية مُحكمة البناء. وعندما يتم إثبات نتيجة مهمة بشكل دقيق، فإنها تصبح نظرية .

ظلّت معالجة إقليدس الأصلية دون منازع لأكثر من ألفي عام، إلى أن أدت الاكتشافات المتزامنة للهندسات غير الإقليدية من قبل ^غاوس وبولياي ولوباتشيفسكي وريمان في القرن التاسع عشر إلى دفع علماء الرياضيات إلى التشكيك في الافتراضات الأساسية لإقليدس. [ ^{3 ]}

لخص المحلل الفرنسي المبكر سيلفستر فرانسوا لاكروا (1816) الهندسة التركيبية على النحو التالي:

تُعالج عناصر إقليدس بالمنهج التركيبي. فبعد أن وضع هذا المؤلف البديهيات ، وحدد المتطلبات، أثبت القضايا التي برهنها تباعاً مدعومةً بما سبقها، انطلاقاً دائماً من البسيط إلى المركب ، وهو ما يُعدّ السمة الأساسية للتركيب. ^{[ 4 ]}

يُعتبر القرن التاسع عشر ذروة الهندسة التركيبية، حين تجاهل بعض علماء الهندسة ، مثل ياكوب شتاينر ، الأساليب التحليلية القائمة على الإحداثيات والتفاضل والتكامل ، مفضلين عليها تطويرًا تركيبيًا بحتًا للهندسة الإسقاطية . فعلى سبيل المثال، يُعدّ تناول المستوى الإسقاطي انطلاقًا من بديهيات التلاقي نظريةً أوسع (تضم نماذج أكثر ) من تلك التي تُستنتج من البدء بفضاء متجهي ثلاثي الأبعاد . في الواقع، تتميز الهندسة الإسقاطية بأبسط وأرقى تعبير تركيبي بين جميع فروع الهندسة. ^{[ 5 ]}

في برنامجه في إرلانجن ، قلل فيليكس كلاين من شأن التوتر بين الأساليب التركيبية والتحليلية:

لم يعد التمييز بين التركيب الحديث والهندسة التحليلية الحديثة جوهريًا، إذ تشابهت الموضوعات وأساليب الاستدلال تدريجيًا في كليهما. لذا، اخترنا في هذا النص مصطلح "الهندسة الإسقاطية" للإشارة إليهما معًا. ورغم أن المنهج التركيبي يرتبط ارتباطًا وثيقًا بإدراك الفضاء، ما يضفي سحرًا خاصًا على بداياته البسيطة، إلا أن مجال إدراك الفضاء لا يزال مفتوحًا أمام المنهج التحليلي، ويمكن اعتبار صيغ الهندسة التحليلية بيانًا دقيقًا وواضحًا للعلاقات الهندسية. من جهة أخرى، لا ينبغي الاستهانة بفائدة التحليل المُصاغ جيدًا في البحث الأصيل، وهي فائدة تنبع من كونه، إن صح التعبير، يسبق الفكر. ولكن يجب التأكيد دائمًا على أن أي موضوع رياضي لا يُعتبر مكتملًا إلا بعد أن يصبح بديهيًا، وأن التقدم المُحرز بمساعدة التحليل ليس إلا خطوة أولى، وإن كانت بالغة الأهمية. ^{[ 6 ]}

أدت الدراسة البديهية المتعمقة للهندسة الإقليدية إلى بناء رباعي لامبرت ورباعي ساكيري . وقد أسست هذه الأشكال مجال الهندسة غير الإقليدية، حيث يُنكر مبدأ التوازي عند إقليدس. وقد بنى كل من غاوس وبولياي ولوباتشيفسكي ، بشكل مستقل ، الهندسة الزائدية ، حيث تكون زاوية توازي الخطوط المتوازية مرتبطة بالمسافة بينها. وأصبحت هذه الدراسة متاحة على نطاق واسع من خلال نموذج قرص بوانكاريه، حيث تُعطى الحركات بتحويلات موبيوس . وبالمثل، بنى ريمان ، أحد تلاميذ غاوس، الهندسة الريمانية ، التي تُعد الهندسة الإهليلجية حالة خاصة منها.

مثال آخر يتعلق بالهندسة العكسية كما طورها لودفيج إيمانويل ماغنوس ، والتي يمكن اعتبارها تركيبية في جوهرها. وتعبر عملية التبادل ، المرتبطة بها ارتباطًا وثيقًا ، عن تحليل المستوى.

بيّن كارل فون شتاودت أن البديهيات الجبرية، مثل تبديلية وتجميعية الجمع والضرب، هي في الواقع نتائج لتلاقي الخطوط في التكوينات الهندسية . وأظهر ديفيد هيلبرت ^{[ 7 ]} أن تكوين ديزارج يلعب دورًا خاصًا. وقد أنجزت روث موفانغ وطلابها المزيد من العمل في هذا المجال. وكانت هذه المفاهيم من بين المحفزات الرئيسية لهندسة التلاقي .

عند اعتبار الخطوط المتوازية أساسية، ينتج عن التركيب هندسة أفينية . مع أن الهندسة الإقليدية هي هندسة أفينية ومترية في آنٍ واحد ، إلا أن الفضاءات الأفينية قد تفتقر عمومًا إلى المقياس. هذه المرونة الإضافية تجعل الهندسة الأفينية مناسبة لدراسة الزمكان ، كما نوقش في تاريخ الهندسة الأفينية .

في عام 1955، أطلق هربرت بوسمان وبول جيه كيلي نبرة حنين إلى الهندسة التركيبية:

على الرغم من تردد علماء الهندسة، إلا أنهم يعترفون بأن جمال الهندسة التركيبية قد فقد جاذبيته لدى الجيل الجديد. والأسباب واضحة: فقبل فترة وجيزة، كانت الهندسة التركيبية المجال الوحيد الذي ينطلق فيه الاستدلال بشكل صارم من البديهيات، بينما باتت هذه الجاذبية - التي تُعدّ أساسية للكثيرين من المهتمين بالرياضيات - متاحة الآن في العديد من المجالات الأخرى. ^{[ 5 ]}

على سبيل المثال، تشمل الدراسات الجامعية الآن الجبر الخطي ، والطوبولوجيا ، ونظرية المخططات، حيث يُبنى الموضوع على المبادئ الأساسية، وتُستنتج القضايا من خلال براهين أولية . إن توقع استبدال الهندسة التركيبية بالهندسة التحليلية يؤدي إلى فقدان المحتوى الهندسي. ^{[ 8 ]}

يتوفر لطالب الهندسة اليوم بديهيات أخرى غير بديهيات إقليدس.

نشر إرنست كوتر تقريرًا ألمانيًا في عام 1901 بعنوان " تطور الهندسة التركيبية من مونج إلى شتاودت (1847)" . ^{[ 9 ]}

تستخدم البراهين التركيبية للنظريات الهندسية أدوات مساعدة (مثل الخطوط المساعدة ) ومفاهيم مثل تساوي الأضلاع أو الزوايا، وتشابه وتطابق المثلثات. ومن الأمثلة على ذلك: نظرية الفراشة ، ونظرية منصف الزاوية ، ونظرية أبولونيوس ، ونظرية العلم البريطاني ، ونظرية سيفا ، ونظرية الدوائر الداخلية المتساوية ، ونظرية المتوسط ​​الهندسي ، وصيغة هيرون ، ونظرية المثلث متساوي الساقين ، وقانون جيب التمام .

بالتزامن مع الهندسة الحسابية ، تم تأسيس هندسة تركيبية حسابية ، ترتبط ارتباطًا وثيقًا، على سبيل المثال، بنظرية الماترويد . الهندسة التفاضلية التركيبية هي تطبيق لنظرية التوبوس على أسس نظرية التفاضل .

• التصنيف: نظريات في الهندسة المستوية
• أسس الهندسة
• بديهيات هيلبرت
• هندسة السقوط
• الهندسة التفاضلية التركيبية
• بديهيات تارسكي

• غرينبيرغ، مارفن جاي (1974)، الهندسات الإقليدية وغير الإقليدية/التطور والتاريخ ، سان فرانسيسكو: دبليو إتش فريمان، رقم ISBN 0-7167-0454-4
• كلاين، فيليكس (1948)، الرياضيات الابتدائية من منظور متقدم/الهندسة ، نيويورك: دوفر
• ملودينو، ليونارد (2001)، نافذة إقليدس/قصة الهندسة من الخطوط المتوازية إلى الفضاء الفائق ، نيويورك: دار فري برس، رقم ISBN 0-684-86523-8

• بوير، كارل ب. (2004) [1956]. تاريخ الهندسة التحليلية . منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-43832-0.
• هالستيد، بريطانيا العظمى (1896). الهندسة التركيبية الأولية ، عبر أرشيف الإنترنت .
• هالستيد، جورج بروس (1906). الهندسة الإسقاطية التركيبية ، عبر أرشيف الإنترنت.
• هيلبرت وكوهن-فوسن. الهندسة والخيال .