بديهية

طوّر الإغريق القدماء المنهج المنطقي الاستنباطي، الذي تُستنتج بموجبه النتائج (المعرفة الجديدة) من المقدمات (المعرفة القديمة) عبر تطبيق حجج سليمة ( القياسات المنطقية ، وقواعد الاستدلال )، وأصبح هذا المنهج المبدأ الأساسي للرياضيات الحديثة. وباستثناء التكرار ، لا يمكن استنتاج أي شيء دون افتراض أي شيء. لذا، تُعدّ البديهيات والمسلمات الافتراضات الأساسية التي يقوم عليها أي مجال من المعرفة الاستنباطية، وهي مقبولة دون برهان. ويجب إثبات جميع الادعاءات الأخرى ( النظريات في الرياضيات) بالاستعانة بهذه الافتراضات الأساسية. مع ذلك، فقد تغيّر تفسير المعرفة الرياضية من العصور القديمة إلى العصر الحديث، وبالتالي، يحمل مصطلحا البديهية والمسلمة معنىً مختلفًا بعض الشيء بالنسبة لعالم الرياضيات المعاصر عما كانا عليه بالنسبة لأرسطو وإقليدس . ^{[ 8 ]}

اعتبر الإغريق القدماء الهندسة مجرد علم من بين عدة علوم ، وساووا نظريات الهندسة بالحقائق العلمية. ولذلك، طوروا واستخدموا المنهج المنطقي الاستنباطي كوسيلة لتجنب الخطأ، ولتنظيم المعرفة ونشرها. ويُعد كتاب "التحليلات الثانية" لأرسطو عرضًا نهائيًا للرؤية الكلاسيكية. ^{[ 11 ]}

يشير مصطلح "البديهية" في المصطلحات الكلاسيكية إلى افتراض بديهي شائع في العديد من فروع العلوم. ومن الأمثلة الجيدة على ذلك التأكيد على ما يلي:

عندما يُؤخذ مقدار متساوٍ من أشياء متساوية، ينتج مقدار متساوٍ.

كانت أساسات العلوم المختلفة تقوم على فرضيات إضافية معينة تُقبل دون برهان. تُسمى هذه الفرضية بالمسلمة . وبينما كانت البديهيات مشتركة بين العديد من العلوم، كانت مسلمات كل علم على حدة مختلفة. وكان لا بد من إثبات صحتها من خلال التجربة العملية. يحذر أرسطو من أنه لا يمكن إيصال محتوى أي علم بنجاح إذا كان المتعلم يشك في صحة المسلمات. ^{[ 12 ]}

يتم توضيح النهج الكلاسيكي بشكل جيد ^{[ أ ]} من خلال كتاب العناصر لإقليدس ، حيث يتم تقديم قائمة من المسلمات (حقائق هندسية منطقية مستمدة من تجربتنا)، متبوعة بقائمة من "المفاهيم الشائعة" (تأكيدات أساسية للغاية وبديهية).

المسلمات

1. من الممكن رسم خط مستقيم من أي نقطة إلى أي نقطة أخرى.
2. من الممكن تمديد قطعة مستقيمة بشكل مستمر في كلا الاتجاهين.
3. من الممكن وصف دائرة بأي مركز وبأي نصف قطر.
4. صحيح أن جميع الزوايا القائمة متساوية فيما بينها.
5. ( مسلمة التوازي ) صحيح أنه إذا قطع خط مستقيم خطين مستقيمين وجعل الزوايا الداخلية على نفس الجانب أقل من زاويتين قائمتين، فإن الخطين المستقيمين، إذا امتدا إلى ما لا نهاية، يتقاطعان على ذلك الجانب الذي تكون فيه الزوايا أقل من الزاويتين القائمتين.

مفاهيم شائعة

1. الأشياء التي تتساوى مع الشيء نفسه تتساوى أيضاً فيما بينها.
2. إذا أُضيفت كميات متساوية إلى كميات متساوية، فإن المجموع الكلي يكون متساوياً.
3. إذا تم طرح أعداد متساوية من أعداد متساوية، فإن الباقي يكون متساوياً.
4. الأشياء التي تتطابق مع بعضها البعض متساوية.
5. الكل أكبر من الجزء.

من الدروس التي استخلصتها الرياضيات خلال المئة والخمسين عامًا الماضية، أهمية تجريد العبارات الرياضية (البديهيات، والمسلمات، والقضايا ، والنظريات) والتعريفات من معانيها. لا بد من التسليم بالحاجة إلى مفاهيم أولية ، أو مصطلحات أو مفاهيم غير محددة، في أي دراسة. هذا التجريد أو الصياغة الرسمية يجعل المعرفة الرياضية أكثر عمومية، وقابلة لتفسيرات متعددة، وبالتالي مفيدة في سياقات متنوعة. وكان أليساندرو بادوا ، وماريو بييري ، وجوزيبي بيانو من رواد هذا التوجه.

تتجاوز الرياضيات البنيوية ذلك، فتُطوّر نظريات ومسلمات (مثل نظرية الحقول ، ونظرية الزمر ، والطوبولوجيا ، والفضاءات المتجهة ) دون أي تطبيق مُحدد في الاعتبار. ويختفي التمييز بين "المسلمة" و"الفرضية". وتُبرر مسلمات إقليدس بشكلٍ مُفيد بالقول إنها تُفضي إلى ثروة هائلة من الحقائق الهندسية. وتعتمد صحة هذه الحقائق المُعقدة على قبول الفرضيات الأساسية. ومع ذلك، بالتخلي عن مسلمة إقليدس الخامسة، يُمكن الحصول على نظريات ذات معنى في سياقات أوسع (مثل الهندسة الزائدية ). وعلى هذا النحو، يجب ببساطة أن يكون المرء مُستعدًا لاستخدام مُصطلحات مثل "خط" و"توازي" بمرونة أكبر. وقد علّم تطور الهندسة الزائدية علماء الرياضيات أنه من المفيد اعتبار المسلمات عبارات شكلية بحتة، وليست حقائق مبنية على التجربة.

عندما يستخدم علماء الرياضيات بديهيات الحقول ، تصبح النوايا أكثر تجريدًا. لا تتعلق قضايا نظرية الحقول بتطبيق محدد، بل يعمل عالم الرياضيات الآن في مستوى تجريدي كامل. هناك أمثلة عديدة للحقول، ونظرية الحقول تُعطي معرفة صحيحة عنها جميعًا.

ليس من الصحيح القول بأن بديهيات نظرية الحقول هي "قضايا تُعتبر صحيحة دون برهان". بل هي مجموعة من القيود. فإذا استوفى أي نظام جمع وضرب هذه القيود، يصبح بالإمكان معرفة قدر كبير من المعلومات الإضافية حول هذا النظام فورًا.

لقد رسّخت الرياضيات الحديثة أسسها لدرجةٍ تسمح باعتبار النظريات الرياضية كائنات رياضية، والرياضيات نفسها فرعاً من فروع المنطق . ويُعدّ كلٌّ من فريجه ، وراسل ، وبوانكاريه ، وهيلبرت ، وغودل من أبرز الشخصيات في هذا التطور.

ومن الدروس الأخرى المستفادة في الرياضيات الحديثة فحص البراهين المزعومة بعناية بحثاً عن الافتراضات الخفية.

في المفهوم الحديث، تُعرَّف مجموعة البديهيات بأنها أي مجموعة من العبارات المُصاغة رسميًا والتي تنبثق منها عبارات أخرى مُصاغة رسميًا أيضًا، وذلك بتطبيق قواعد محددة بدقة. من هذا المنظور، يصبح المنطق مجرد نظام رسمي آخر. يجب أن تكون مجموعة البديهيات متسقة ؛ أي يستحيل استنتاج تناقض منها. كما يجب أن تكون غير متكررة؛ فالعبارة التي يمكن استنتاجها من بديهيات أخرى لا تُعتبر بالضرورة بديهية.

كان الأمل المبكر لعلماء المنطق الحديث هو إمكانية اشتقاق فروع مختلفة من الرياضيات، وربما الرياضيات بأكملها، من مجموعة متسقة من البديهيات الأساسية. ومن النجاحات المبكرة للبرنامج الشكلي صياغة هيلبرت للهندسة الإقليدية ^{[ ب ]} ، ^{[ 13 ]} وما يرتبط بها من إثبات اتساق تلك البديهيات.

في سياق أوسع، كانت هناك محاولة لتأسيس الرياضيات بأكملها على نظرية المجموعات لكانتور . وهنا، أدى ظهور مفارقة راسل وما شابهها من تناقضات في نظرية المجموعات الساذجة إلى إثارة احتمال أن يكون أي نظام من هذا القبيل غير متسق.

تعرض المشروع الشكلي لانتكاسة قبل قرن من الزمان، عندما أثبت غودل أنه من الممكن، لأي مجموعة كبيرة بما فيه الكفاية من البديهيات ( بديهيات بيانو ، على سبيل المثال)، بناء عبارة تكون صحتها مستقلة عن تلك المجموعة من البديهيات. وكنتيجة لذلك ، أثبت غودل أن اتساق نظرية مثل حساب بيانو هو ادعاء غير قابل للإثبات ضمن نطاق تلك النظرية. ^{[ 14 ]}

من المعقول الاعتقاد باتساق حساب بيانو لأنه مُحققٌ بواسطة نظام الأعداد الطبيعية ، وهو نظام صوري لانهائي ولكنه بديهي. مع ذلك، لا توجد حاليًا طريقة معروفة لإثبات اتساق بديهيات زيرميلو-فرانكل الحديثة لنظرية المجموعات. علاوة على ذلك، باستخدام تقنيات الإجبار ( كوهين )، يمكن إثبات أن فرضية الاستمرارية (كانتور) مستقلة عن بديهيات زيرميلو-فرانكل. ^{[ 5 ]} وبالتالي، حتى هذه المجموعة العامة جدًا من البديهيات لا يمكن اعتبارها الأساس النهائي للرياضيات.

تتميز العلوم التجريبية - على عكس الرياضيات والمنطق - بوجود فرضيات تأسيسية عامة يمكن من خلالها بناء استدلال استنتاجي للتعبير عن قضايا تتنبأ بخصائص معينة، سواء كانت عامة أو متخصصة للغاية في سياق تجريبي محدد. على سبيل المثال، قوانين نيوتن في الميكانيكا الكلاسيكية، ومعادلات ماكسويل في الكهرومغناطيسية الكلاسيكية، ومعادلة أينشتاين في النسبية العامة، وقوانين مندل في علم الوراثة، وقانون داروين للانتخاب الطبيعي ، وما إلى ذلك. تُسمى هذه الفرضيات التأسيسية عادةً بالمبادئ أو المسلمات لتمييزها عن البديهيات الرياضية .

في الواقع، يختلف دور البديهيات في الرياضيات عن دور المسلّمات في العلوم التجريبية. ففي الرياضيات، لا يُثبت المرء البديهية ولا ينفيها. بل تُقدّم مجموعة البديهيات الرياضية مجموعة من القواعد التي تُحدّد نطاقًا مفاهيميًا، تتبعه النظريات منطقيًا. في المقابل، في العلوم التجريبية، تُمكّن مجموعة المسلّمات من استنتاج نتائج تُطابق أو لا تُطابق النتائج التجريبية. إذا لم تُمكّن المسلّمات من استنتاج تنبؤات تجريبية، فإنها لا تُشكّل إطارًا مفاهيميًا علميًا، ويجب استكمالها أو تحسين دقتها. أما إذا مكّنت المسلّمات من استنتاج تنبؤات بالنتائج التجريبية، فإن المقارنة مع التجارب تُتيح دحض النظرية التي تُرسّخها المسلّمات. وتُعتبر النظرية صحيحة ما لم يتم دحضها.

لطالما كان الانتقال بين البديهيات الرياضية والمسلمات العلمية غير واضح تمامًا، لا سيما في الفيزياء. ويعود ذلك إلى الاستخدام المكثف للأدوات الرياضية لدعم النظريات الفيزيائية. فعلى سبيل المثال، نادرًا ما يُشترط عند تطبيق قوانين نيوتن استخدام الهندسة الإقليدية أو حساب التفاضل والتكامل كما هو مُفترض. وقد برز هذا الأمر جليًا عندما طرح ألبرت أينشتاين النسبية الخاصة، حيث لم يعد الثابت هو الطول الإقليدي.${\displaystyle l}$(يُعرَّف على أنه)${\displaystyle l^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$) > لكن فاصل الزمكان مينكوفسكي${\displaystyle s}$(يُعرَّف على أنه)${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$), ثم النسبية العامة حيث يتم استبدال هندسة مينكوفسكي المسطحة بهندسة ريمان الزائفة على المشعبات المنحنية .

في فيزياء الكم، تعايشت مجموعتان من المسلمات لفترة من الزمن، مما يُقدّم مثالًا رائعًا على إمكانية دحضها. طوّرت " مدرسة كوبنهاغن " ( نيلز بور ، فيرنر هايزنبرغ ، ماكس بورن ) منهجًا عمليًا بصياغة رياضية شبه كاملة ^{، يتضمن وصف النظام الكمومي بواسطة متجهات ( "} حالات") في فضاء هيلبرت قابل للفصل، والكميات الفيزيائية كمؤثرات خطية تعمل في هذا الفضاء. هذا المنهج قابل للدحض تمامًا، وقد حقق حتى الآن أدق التنبؤات في الفيزياء. لكن يعيبه عدم قدرته على الإجابة عن الأسئلة التي قد تخطر على البال. لهذا السبب، طُوّر منهج " المتغيرات الخفية " لفترة من الزمن على يد ألبرت أينشتاين، إرفين شرودنغر ، وديفيد بوم . وقد صُمّم هذا المنهج لمحاولة تقديم تفسير حتمي لظواهر مثل التشابك الكمومي . افترض هذا النهج أن وصف مدرسة كوبنهاغن لم يكن مكتملاً، وفرض إضافة متغير غير معروف إلى النظرية للإجابة على بعض الأسئلة التي لم تجب عليها (والتي نوقشت عناصرها الأساسية في مفارقة إي بي آر عام 1935). وبناءً على هذه الفكرة، استنتج جون بيل عام 1964 تنبؤًا أدى إلى نتائج تجريبية مختلفة ( متباينات بيل ) في حالة كوبنهاغن وحالة المتغير الخفي. أُجريت التجربة أولًا على يد آلان أسبكت في أوائل ثمانينيات القرن العشرين، واستبعدت النتيجة نموذج المتغير الخفي البسيط.

(قد تظل المتغيرات الخفية المعقدة موجودة، لكن خصائصها ستظل أكثر إثارة للقلق من المشكلات التي تحاول حلها). هذا لا يعني أن الإطار المفاهيمي للفيزياء الكمومية يمكن اعتباره مكتملاً الآن، إذ لا تزال بعض الأسئلة مفتوحة (الحد الفاصل بين العالمين الكمومي والكلاسيكي، وما يحدث أثناء القياس الكمومي، وما يحدث في نظام كمومي مغلق تمامًا مثل الكون نفسه، إلخ).

هذه صيغ معينة في لغة رسمية صالحة عالميًا ، أي صيغ تتحقق مع كل عملية إسناد للقيم. عادةً ما تُتخذ كمسلمات منطقية مجموعة دنيا من التكرارات المنطقية تكفي لإثبات جميع التكرارات المنطقية في اللغة؛ أما في حالة منطق المسندات، فيلزم عدد أكبر من المسلمات المنطقية لإثبات الحقائق المنطقية التي لا تُعد تكرارات منطقية بالمعنى الدقيق.

البديهيات غير المنطقية هي صيغٌ تؤدي دورَ افتراضاتٍ خاصةٍ بنظريةٍ معينة. فعلى سبيل المثال، قد يتضمن الاستدلال حول بنيتين مختلفتين، كالأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة ، استخدامَ البديهيات المنطقية نفسها؛ إذ تهدف البديهيات غير المنطقية إلى تحديد ما يُميز بنيةً معينة (أو مجموعة بنى، كالمجموعات ) . ولذلك، فإن البديهيات غير المنطقية، على عكس البديهيات المنطقية، ليست تحصيل حاصل . ويُطلق على البديهية غير المنطقية أيضًا اسم " المسلمة " . ^{[ 6 ]}

تبدأ كل نظرية رياضية حديثة تقريبًا من مجموعة معينة من البديهيات غير المنطقية، وكان يُعتقد أنه من حيث المبدأ، يمكن وضع بديهيات لكل نظرية بهذه الطريقة وصياغتها رسميًا وصولًا إلى اللغة المجردة للصيغ المنطقية.

غالبًا ما يُشار إلى البديهيات غير المنطقية في الخطاب الرياضي ببساطة باسم "البديهيات" . وهذا لا يعني الادعاء بصحتها المطلقة. على سبيل المثال، في بعض الزمر، تكون عملية الزمرة تبديلية ، ويمكن تأكيد ذلك بإضافة بديهية أخرى، ولكن بدون هذه البديهية، يمكننا تطوير نظرية الزمر (الأكثر عمومية) بشكل جيد، بل ويمكننا اعتبار نفيها بديهية لدراسة الزمر غير التبديلية.

اعتبر علماء الرياضيات الأوائل الهندسة البديهية نموذجًا للفضاء الفيزيائي ، مما يعني ضمنيًا أنه لا يمكن في نهاية المطاف إلا وجود نموذج واحد فقط. وقد أثارت فكرة وجود أنظمة رياضية بديلة قلقًا بالغًا لدى علماء الرياضيات في القرن التاسع عشر، وبذل مطورو أنظمة مثل الجبر البولياني جهودًا مضنية لاستنباطها من الحساب التقليدي. وقد بيّن غالوا قبيل وفاته المبكرة أن هذه الجهود ذهبت سدىً إلى حد كبير. وفي نهاية المطاف، اعتُبرت أوجه التشابه المجردة بين الأنظمة الجبرية أكثر أهمية من التفاصيل، ومن هنا وُلد الجبر الحديث . وفي المفهوم الحديث، يمكن أن تكون البديهيات أي مجموعة من الصيغ، طالما أنها لا تُعرف بأنها متناقضة.