مخطط البديهيات

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 15 صور
الموسوعة الحرة
مخطط البديهيات للاستبدال: الصورةF[أ]{\displaystyle F[A]}مجموعة المجالأ{\displaystyle A}في إطار وظيفة الفئة القابلة للتحديدF{\displaystyle F}هي نفسها مجموعة،ب{\displaystyle B}.

في المنطق الرياضي ، يُعرف مخطط البديهيات (جمعه: مخططات البديهيات ) بأنه قاعدة أو نموذج يحدد مجموعة من البديهيات . يحتوي المخطط على عناصر نائبة وشروط جانبية توضح كيفية استبدال هذه العناصر؛ كل استبدال مسموح به هو حالة من حالات المخطط. [ 1 ] [ 2 ] تُستخدم مخططات البديهيات عادةً لتقديم أوصاف محدودة للنظريات التي تتضمن بديهياتها عددًا لا نهائيًا من الصيغ. [ 3 ]

التعريف الرسمي

يتركل{\displaystyle L}أن تكون لغة موضوعية لنظرية رسمية. مخطط البديهيات هو تعبير لغوي وصفي، أو قالب مخطط، يحتوي على عنصر نائب واحد أو أكثر لتعبيراتل{\displaystyle L}بالإضافة إلى الشروط الجانبية التي تحدد التعبيرات التي يمكن أن تحل محل العناصر النائبة. [ 1 ] [ 2 ] صيغ لغة الكائن الناتجة هي أمثلة على المخطط وتعتبر بديهيات للنظرية.

قد تمثل العناصر النائبة في مخطط البديهيات مصطلحات أو صيغًا أو مسندات أو علاقات، وذلك بحسب النظام الرسمي. غالبًا ما تتطلب الشروط الجانبية أن يكون المصطلح متاحًا لمتغير في صيغة ما، أو أن يظهر متغير ما بشكل حر في صيغة ما، أو ألا يظهر متغير ما بشكل حر في صيغة محددة. [ 3 ] تُعد هذه الشروط جزءًا من المخطط، وليست بديهيات إضافية للغة الهدف.

هذا ما يميز الحرف التخطيطي عن متغير لغة الكائن العادي. على سبيل المثال، قد يكون الحرف التخطيطي بمثابة عنصر نائب لأي صيغة من صيغ اللغة، بينما يتراوح متغير لغة الكائن بين الكائنات في مجال التفسير. [ 1 ]

أمثلة

منطق الرتبة الأولى

تستخدم العديد من عروض منطق الرتبة الأولى على نمط هيلبرت مخططات بديهية. على سبيل المثال، مخطط بديهية الكميات

∀xΦ(x)→Φ(ت){\displaystyle \forall x\,\Phi (x)\rightarrow \Phi (t)}

تتضمن الأمثلة الصيغ التي تم الحصول عليها عن طريق الاستبدالΦ{\displaystyle \Phi }باستخدام صيغة لغة الكائن وت{\displaystyle t}بشرط أنت{\displaystyle t}مجاني لـx{\displaystyle x}فيΦ{\displaystyle \Phi }[ 3 ] تتجنب القواعد أو المخططات البديهية من هذا النوع سرد كل صيغة تم الحصول عليها من خلال عمليات الاستبدال المسموح بها بشكل منفصل.

الحساب

يتضمن العرض القياسي من الدرجة الأولى لحسابات بيانو مخطط الاستقراء. لكل صيغةφ(x،y→){\displaystyle \varphi (x,{\vec {y}})}بلغة الحساب، مع المعايير الممكنةy→{\displaystyle {\vec {y}}}، يحتوي المخطط على مثال من الشكل

(φ(0،y→)∧∀x(φ(x،y→)→φ(Sx،y→)))→∀xφ(x،y→).{\displaystyle {\bigl (}\varphi (0,{\vec {y}})\land \forall x(\varphi (x,{\vec {y}})\rightarrow \varphi (Sx,{\vec {y}})){\bigr )}\rightarrow \forall x\,\varphi (x,{\vec {y}}).}

وبالتالي فإن مبدأ الاستقراء ليس بديهية واحدة من الدرجة الأولى، بل هو مجموعة من البديهيات، واحدة لكل صيغة مقبولة.φ{\displaystyle \varphi }[ 3 ] [ 4 ]​

أثبت تشيسواف ريل-ناردزيفسكي أن حساب بيانو من الدرجة الأولى لا يمكن وضع بديهيات نهائية له بلغته المعتادة. [ 5 ] وبالتالي، لا يمكن استبدال مخطط الاستقراء، في تلك اللغة، بقائمة نهائية من البديهيات ذات النتائج الاستنتاجية نفسها.

نظرية المجموعات

تتضمن عملية التبسيط البديهي من الدرجة الأولى ZFC مخططات بديهية، بما في ذلك مخطط الفصل ومخطط الاستبدال . في مخطط الاستبدال، تُعطي كل صيغة تُعرّف علاقة دالية بديهية تؤكد أن صورة أي مجموعة تحت تلك الدالة القابلة للتعريف هي أيضًا مجموعة. [ 6 ] [ 7 ]

أثبت ريتشارد مونتاغ نتيجةً تتعلق بإمكانية وضع بديهيات غير منتهية لنظريات المجموعات من نمط ZF؛ وعلى وجه الخصوص، بافتراض الاتساق، فإن ZFC لا يمكن وضع بديهيات منتهية لها في لغتها العادية من الدرجة الأولى. [ 8 ] وبالتالي، لا يمكن ببساطة حذف مخططات الاستبدال والفصل من ZFC باستبدالها بعدد منتهٍ من البديهيات في اللغة نفسها.

التأويل المحدود

تُعتبر النظرية قابلةً للتحديد البديهي المحدود إذا وُجدت مجموعة محدودة من الجمل التي يكون إغلاقها الاستنتاجي هو النظرية نفسها. [ 9 ] قد يكون مخطط البديهيات قابلاً للوصف المحدود مع احتفاظه بتحديد عدد لا نهائي من البديهيات، لأن المخطط عبارة عن وصفة ما وراء نظرية لتوليد الحالات بدلاً من كونه مجموعة محدودة من جمل لغة الموضوع. [ 10 ]

يعتمد تحديد ما إذا كانت النظرية قابلة للتحديد البديهي المحدود على اللغة التي تُصاغ بها. فالنظرية التي لا يمكن تحديدها بديهيًا بشكل محدود في لغة ما، قد يكون لها امتداد محافظ محدد بديهيًا في لغة أخرى أكثر ثراءً.

تُوسّع نظرية فون نيومان-بيرنايز-غودل للمجموعات (NBG) لغة نظرية المجموعات بإضافة فئات. تُعدّ NBG امتدادًا محافظًا لنظرية ZFC فيما يتعلق بالعبارات المتعلقة بالمجموعات، ولكن على عكس ZFC، يمكن وضع بديهيات محدودة لها: إذ تُستنتج نظرية وجود الفئات فيها من عدد محدود من بديهيات وجود الفئات بدلًا من مخطط. [ 7 ] [ 11 ]

تُقدَّم الأسس الجديدة (NF)، التي طرحها دبليو في أو كواين ، عادةً مع خاصية الامتداد ومخطط الفهم الطبقي. [ 12 ] وقد بيّن ثيودور هايلبيرين في عام 1944 أن مبدأ الفهم هذا يُكافئ اقترانًا محدودًا للحالات، مما يُعطي بديهية محدودة للأسس الجديدة. [ 13 ] وقد تتخذ العروض اللاحقة للأسس الجديدة والأنظمة ذات الصلة البديهيات المحدودة كأساس، وتُثبت الفهم الطبقي كنظرية. [ 14 ]

في المنطق ذي الرتبة العليا

يمكن استبدال بعض مخططات البديهيات في نظريات الرتبة الأولى ببديهيات مفردة في لغة من رتبة أعلى. على سبيل المثال، يوجد نظير لمخطط الاستقراء من الرتبة الأولى في الحساب من الرتبة الثانية، حيث يُحدد المتغير خصائص أو فئات بشكل مباشر.

∀F((F(0)∧∀x(F(x)→F(Sx)))→∀xF(x)).{\displaystyle \forall F{\bigl (}(F(0)\land \forall x(F(x)\rightarrow F(Sx)))\rightarrow \forall x\,F(x){\bigr )}.}

في هذه الجملة من الدرجة الثانية،F{\displaystyle F}هو متغير حقيقي يشمل خصائص أو فئات، وليس مجرد عنصر نائب لغوي. [ 3 ] ولذلك، فإن بديهية الاستقراء من الدرجة الثانية ومخطط الاستقراء من الدرجة الأولى مختلفان شكليًا، وتكون بديهية الدرجة الثانية أقوى في ظل الدلالات القياسية لمنطق الدرجة الثانية. [ 3 ]

وبالمثل، يمكن تمثيل بعض المخططات النظرية للمجموعات من الدرجة الأولى عن طريق التحديد الكمي للفئات أو الكائنات ذات الرتبة الأعلى في لغة موسعة. وهذا أحد أسباب قدرة نظريات الفئات، مثل NBG، على تقديم بديهيات محدودة مع الحفاظ على مبدأ ZFC للجمل النظرية للمجموعات. [ 7 ] [ 11 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع