نظرية المجموعات لزيرميلو-فرانكل

تكون مجموعتان متساويتين (أو نفس المجموعة) إذا كانت لهما نفس العناصر.

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].}$

ينتج عكس هذه البديهية من خاصية الاستبدال للمساواة . تُبنى نظرية ZFC في منطق الرتبة الأولى. تتضمن بعض صياغات منطق الرتبة الأولى عنصر الهوية، بينما لا تتضمنه صياغات أخرى. إذا كان نوع منطق الرتبة الأولى الذي تُبنى فيه نظرية المجموعات لا يتضمن المساواة،${\displaystyle =}$",${\displaystyle x=y}$يمكن تعريفها على أنها اختصار للصيغة التالية: ^{[ 8 ]}${\displaystyle \forall z[z\in x\Leftrightarrow z\in y]\land \forall w[x\in w\Leftrightarrow y\in w].}$

في هذه الحالة، يمكن إعادة صياغة بديهية الامتداد على النحو التالي:

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow \forall w(x\in w\Leftrightarrow y\in w)],}$

وهذا يعني أنه إذا${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$إذا كانت لها نفس العناصر، فإنها تنتمي إلى نفس المجموعات. ^{[ 9 ]}

كل مجموعة غير فارغة${\displaystyle x}$يحتوي على عضو${\displaystyle y}$بحيث${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$هي مجموعات منفصلة .

${\displaystyle \forall x[(\exists a(a\in x))\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].}$^{[ 10 ]}

أو بالصيغة الحديثة: ${\displaystyle \forall x\,(x\neq \varnothing \Rightarrow \exists y(y\in x\land y\cap x=\varnothing )).}$

مع بديهيات الاقتران والاتحاد، يُستنتج من ذلك أنه لا توجد مجموعة عنصر في نفسها. ومع بديهيات اللانهاية والاستبدال والاتحاد، يُستنتج من ذلك أن لكل مجموعة رتبة ترتيبية .

تُنشأ المجموعات الجزئية عادةً باستخدام ترميز بناء المجموعات . على سبيل المثال، يمكن إنشاء الأعداد الزوجية كمجموعة جزئية من الأعداد الصحيحة.${\displaystyle \mathbb {Z} }$تحقيق التطابق modulo predicate${\displaystyle x\equiv 0{\pmod {2}}}$:

${\displaystyle \{x\in \mathbb {Z} :x\equiv 0{\pmod {2}}\}.}$

بشكل عام، المجموعة الجزئية من مجموعة${\displaystyle z}$اتباع صيغة معينة${\displaystyle \varphi (x)}$مع متغير حر واحد${\displaystyle x}$يمكن كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle \{x\in z:\varphi (x)\}.}$

ينص مخطط البديهيات للمواصفات على أن هذه المجموعة الفرعية موجودة دائمًا (وهو مخطط بديهيات لأنه يوجد بديهية واحدة لكل${\displaystyle \varphi }$). رسميًا، دع${\displaystyle \varphi }$لتكن أي صيغة بلغة ZFC مع جميع المتغيرات الحرة بين${\displaystyle x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}}$(${\displaystyle y}$ليس مجانيًا في${\displaystyle \varphi }$). ثم:

${\displaystyle \forall z\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow ((x\in z)\land \varphi (x,w_{1},w_{2},...,w_{n},z))].}$

لاحظ أن مخطط التحديد البديهي لا يمكنه إلا إنشاء مجموعات فرعية ولا يسمح بإنشاء كيانات بالشكل الأكثر عمومية:

${\displaystyle \{x:\varphi (x)\}.}$

هذا التقييد ضروري لتجنب مفارقة راسل (دع${\displaystyle y=\{x:x\notin x\}}$ثم${\displaystyle y\in y\Leftrightarrow y\notin y}$) ومتغيراتها التي تصاحب نظرية المجموعات البسيطة بفهم غير مقيد (لأنه في ظل هذا القيد${\displaystyle y}$يشير فقط إلى المجموعات داخل${\displaystyle z}$التي لا تنتمي إليهم، و${\displaystyle y\in z}$لم يتم إثبات ذلك، على الرغم من ${\displaystyle y\subseteq z}$هذا هو الحال، لذلك${\displaystyle y}$يقف في موقع منفصل لا يمكنه الرجوع إليه أو فهم نفسه منه؛ لذلك، بمعنى ما، يقول مخطط البديهيات هذا إنه من أجل بناء${\displaystyle y}$بناءً على صيغة${\displaystyle \varphi (x)}$، نحتاج إلى تقييد المجموعات مسبقًا${\displaystyle y}$سوف ينظر ضمن مجموعة${\displaystyle z}$وهذا يترك${\displaystyle y}$في الخارج${\displaystyle y}$لا يمكنها أن تشير إلى نفسها؛ أو بعبارة أخرى، لا ينبغي للمجموعات أن تشير إلى نفسها).

في بعض البديهيات الأخرى لـ ZF، تكون هذه البديهية زائدة عن الحاجة لأنها تتبع من مخطط البديهية للاستبدال وبديهية المجموعة الفارغة .

من ناحية أخرى، يمكن استخدام مخطط بديهيات التحديد لإثبات وجود المجموعة الفارغة ، والتي يُرمز لها بـ${\displaystyle \varnothing }$بمجرد معرفة وجود مجموعة واحدة على الأقل. إحدى طرق القيام بذلك هي استخدام خاصية${\displaystyle \varphi }$وهو ما لا يتوفر في أي مجموعة. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle w}$إذا كانت أي مجموعة موجودة، فيمكن إنشاء المجموعة الفارغة على النحو التالي:

${\displaystyle \varnothing =\{u\in w\mid (u\notin w)\}.}$

وبالتالي، فإن بديهية المجموعة الفارغة مستنتجة من البديهيات التسع المعروضة هنا. وتستلزم بديهية الامتداد أن المجموعة الفارغة فريدة (لا تعتمد على${\displaystyle w}$من الشائع إجراء توسيع تعريفي يضيف الرمز "${\displaystyle \varnothing }$"إلى لغة ZFC".

لو${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$إذا كانت المجموعات تحتوي على بعضها البعض، فإنه توجد مجموعة تحتوي على${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$كعناصر؛ على سبيل المثال إذا${\displaystyle x=\{1,2\}}$و${\displaystyle y=\{2,3\}}$، ثم${\displaystyle z}$قد يكون${\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\}\}}$.

${\displaystyle \forall x\forall y\exists z((x\in z)\land (y\in z)).}$

يجب استخدام مخطط البديهيات للمواصفات لتقليل هذا إلى مجموعة تحتوي على هذين العنصرين تحديدًا.

يوجد اتحاد لعناصر مجموعة ما. على سبيل المثال، الاتحاد لعناصر المجموعة${\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\}\}}$يكون${\displaystyle \{1,2,3\}.}$

تنص بديهية الاتحاد على أنه لأي مجموعة من المجموعات${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هناك مجموعة${\displaystyle A}$يحتوي على كل عنصر ينتمي إلى عنصر ما من${\displaystyle {\mathcal {F}}}$:

${\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].}$

على الرغم من أن هذه الصيغة لا تؤكد بشكل مباشر وجود${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$، المجموعة${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$يمكن بناؤها من${\displaystyle A}$في المثال أعلاه باستخدام مخطط البديهيات للمواصفات:

${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}=\{x\in A:\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\}.}$

يؤكد مخطط البديهيات للاستبدال أن صورة مجموعة تحت أي دالة قابلة للتعريف ستقع أيضًا داخل مجموعة.

بصورة رسمية، دع${\displaystyle \varphi }$أي صيغة في لغة ZFC تكون متغيراتها الحرة من بين${\displaystyle x,y,A,w_{1},\dotsc ,w_{n},}$لذلك على وجه الخصوص${\displaystyle B}$ليس مجانيًا في${\displaystyle \varphi }$. ثم:

${\displaystyle \forall A\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\varphi )\Rightarrow \exists B\ \forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \varphi ){\bigr )}{\bigr ]}.}$

( المحدد الوجودي الفريد)${\displaystyle \exists$ !} تشير إلى وجود عنصر واحد فقط يتبع عبارة معينة.

بمعنى آخر، إذا كانت العلاقة${\displaystyle \varphi }$يمثل دالة قابلة للتحديد${\displaystyle f}$،${\displaystyle A}$يمثل نطاقها ، و${\displaystyle f(x)}$مجموعة لكل${\displaystyle x\in A,}$ثم نطاق​${\displaystyle f}$هي مجموعة جزئية من مجموعة ما${\displaystyle B}$النموذج المذكور هنا، والذي فيه${\displaystyle B}$قد يكون أكبر من اللازم تمامًا، ويطلق عليه أحيانًا مخطط بديهيات المجموعة .

يترك${\displaystyle S(w)}$اختصر${\displaystyle w\cup \{w\},}$أين${\displaystyle w}$هي مجموعة ما. (يمكننا أن نرى أن${\displaystyle \{w\}}$تُعتبر مجموعة صالحة بتطبيق بديهية الاقتران مع${\displaystyle x=y=w}$بحيث تكون المجموعة z${\displaystyle \{w\}}$ثم توجد مجموعة X بحيث تكون المجموعة الفارغة${\displaystyle \varnothing }$، المعرّفة بديهيًا، هي عنصر من X ، وكلما كانت المجموعة y عنصرًا من X فإن${\displaystyle S(y)}$وهو أيضاً عضو في X.

${\displaystyle \exists X\left[\exists e(\forall z\,\neg (z\in e)\land e\in X)\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].}$

أو بالصيغة الحديثة: ${\displaystyle \exists X\left[\varnothing \in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].}$

بصورة أكثر شيوعًا، توجد مجموعة X تحتوي على عدد لا نهائي من العناصر. يتم بناء هذه العناصر من خلال تطبيق العملية بشكل متكرر.${\displaystyle S}$بدءًا من المجموعة الفارغة. كل نتيجة من نتائج هذا البناء تختلف عن النتائج السابقة، لذا لا تتكرر العملية. أصغر مجموعة X تحقق بديهية اللانهاية هي الترتيب فون نيومان ω ، والذي يمكن اعتباره أيضًا مجموعة الأعداد الطبيعية.${\displaystyle \mathbb {N} }$(لاحظ أن أساسها متين)${\displaystyle \mathbb {N} }$لا يتطلب ذلك بديهية الانتظام؛ بل يتبع ذلك بشكل طبيعي من بنية البناء.

بحسب التعريف، مجموعة${\displaystyle z}$هي مجموعة جزئية من مجموعة${\displaystyle x}$إذا وفقط إذا كان كل عنصر من${\displaystyle z}$وهو أيضاً عنصر من${\displaystyle x}$:

${\displaystyle (z\subseteq x)\Leftrightarrow (\forall q(q\in z\Rightarrow q\in x)).}$

تنص بديهية مجموعة القوى على أنه لأي مجموعة${\displaystyle x}$هناك مجموعة${\displaystyle y}$التي تحتوي على كل مجموعة فرعية من${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \forall x\exists y\forall z(z\subseteq x\Rightarrow z\in y).}$

ثم يُستخدم مخطط التحديد البديهي لتعريف مجموعة القوى${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$باعتبارها مجموعة فرعية من هذا النوع${\displaystyle y}$تحتوي على مجموعات فرعية من${\displaystyle x}$بالضبط:

${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)=\{z\in y:z\subseteq x\}.}$

تُعرّف البديهيات من 1 إلى 8 نظرية ZF. وكثيرًا ما تُصادف صيغ بديلة لهذه البديهيات، وقد ورد بعضها في كتاب جيتش (2003) . تتضمن بعض بديهيات ZF بديهية تنص على وجود المجموعة الفارغة . وغالبًا ما تُصاغ بديهيات الاقتران والاتحاد والاستبدال ومجموعة القوى بحيث تكون عناصر المجموعة${\displaystyle x}$إن المجموعات التي يتم تأكيد وجودها هي فقط تلك المجموعات التي يؤكدها البديهي${\displaystyle x}$يجب أن يحتوي على.

تُضاف البديهية التالية لتحويل ZF إلى ZFC:

تُعرض البديهية الأخيرة، والمعروفة باسم بديهية الاختيار ، هنا كخاصية تتعلق بالترتيبات الجيدة ، كما في كونين (1980) . لأي مجموعة${\displaystyle X}$توجد علاقة ثنائية${\displaystyle R}$أيها الترتيب الجيد${\displaystyle X}$. هذا يعنى${\displaystyle R}$هو ترتيب خطي على${\displaystyle X}$بحيث أن كل مجموعة جزئية غير فارغة من${\displaystyle X}$يحتوي على عنصر أدنى تحت الترتيب${\displaystyle R}$.

${\displaystyle \forall X\exists R(R\;{\mbox{well-orders}}\;X).}$

بالنظر إلى البديهيات من 1 إلى 8، فإن العديد من العبارات مكافئة بشكل قابل للإثبات للبديهية 9. وأكثرها شيوعًا هو ما يلي: ليكن${\displaystyle X}$لتكن مجموعة جميع عناصرها غير فارغة. عندئذٍ توجد دالة${\displaystyle f}$من${\displaystyle X}$إلى اتحاد أعضاء${\displaystyle X}$، والتي تسمى " دالة الاختيار "، بحيث يكون لكل${\displaystyle Y\in X}$يمتلك المرء${\displaystyle f(Y)\in Y}$ ويمكن التعبير عن ذلك رسمياً على النحو التالي :

${\displaystyle \forall X\left[\varnothing \notin X\Rightarrow \exists f\left[f\colon X\to \bigcup X\land \forall Y\in X\,(f(Y)\in Y)\right]\right].}$

وهناك نسخة ثالثة من البديهية، وهي مكافئة أيضاً، وهي ليمّة زورن .

بما أن هناك دالة اختيار عندما${\displaystyle X}$يمكن إثبات أن المجموعة منتهية بسهولة من البديهيات من 1 إلى 8 ، ولا تُعدّ قاعدة الاختيار ذات أهمية إلا لبعض المجموعات غير المنتهية . وتُوصف قاعدة الاختيار بأنها غير بنائية لأنها تؤكد وجود دالة اختيار، لكنها لا تُحدد كيفية "بناء" هذه الدالة.

لا يمكن التعامل مع الأصناف الحقيقية (مجموعات من الكائنات الرياضية المُعرَّفة بخاصية مشتركة بين عناصرها، والتي تكون أكبر من أن تُصنَّف كمجموعات) إلا بشكل غير مباشر في ZF (وبالتالي ZFC). ويُعدّ بناء تدوين الأصناف الافتراضية ، الذي قدمه كوين (1969) ، بديلاً للأصناف الحقيقية مع البقاء ضمن نطاق ZF وZFC، حيث يُعرَّف البناء الكامل y ∈ { x | F x } ببساطة على أنه F y . ^{[ 14 ]} يوفر هذا تدوينًا بسيطًا للأصناف التي يمكن أن تحتوي على مجموعات، ولكن ليس بالضرورة أن تكون هي نفسها مجموعات، دون الالتزام بمفهوم أنطولوجيا الأصناف (لأن التدوين يُمكن تحويله نحويًا إلى تدوين يستخدم المجموعات فقط). وقد استند نهج كوين إلى النهج السابق لبيرنايز وفرينكل (1958) . كما تُستخدم الأصناف الافتراضية في ليفي (2002) ، وتاكيوتي وزارينغ (1982) ، وفي تطبيق Metamath لـ ZFC.

تحتوي مخططات بديهيات الاستبدال والفصل على عدد لا نهائي من الحالات. وقد أدرج مونتاج (1961) نتيجةً أُثبتت لأول مرة في أطروحته للدكتوراه عام 1957: إذا كانت نظرية ZFC متسقة، فمن المستحيل وضع بديهيات لها باستخدام عدد محدود من البديهيات فقط. من ناحية أخرى، يمكن وضع بديهيات محدودة لنظرية فون نيومان-بيرنايز-غودل للمجموعات (NBG). يشمل علم الوجود في NBG الفئات الفعلية بالإضافة إلى المجموعات؛ فالمجموعة هي أي فئة يمكن أن تكون عضوًا في فئة أخرى. تُعتبر NBG وZFC نظريتين متكافئتين للمجموعات، بمعنى أن أي نظرية لا تذكر الفئات ويمكن إثباتها في إحدى النظريتين يمكن إثباتها في الأخرى.

تنص نظرية عدم الاكتمال الثانية لغودل على أن النظام القابل للتكرار البديهي، والذي يمكنه تفسير حساب روبنسون، لا يمكنه إثبات اتساقه إلا إذا كان غير متسق. علاوة على ذلك، يمكن تفسير حساب روبنسون في نظرية المجموعات العامة ، وهي جزء صغير من نظرية ZFC. وبالتالي ، لا يمكن إثبات اتساق ZFC داخل ZFC نفسها (إلا إذا كانت غير متسقة بالفعل). لذا، وبقدر ما تُعرّف ZFC بالرياضيات العادية، لا يمكن إثبات اتساقها في الرياضيات العادية. وينتج اتساق ZFC عن وجود عدد أصلي ضعيف الوصول ، وهو غير قابل للإثبات في ZFC إذا كانت ZFC متسقة. ومع ذلك، يُعتبر من غير المرجح أن تخفي ZFC تناقضًا غير متوقع؛ إذ يُعتقد على نطاق واسع أنه لو كانت ZFC غير متسقة، لكانت هذه الحقيقة قد كُشفت حتى الآن. لا تحتوي نظرية ZFC على المفارقات الكلاسيكية لنظرية المجموعات الساذجة : مفارقة راسل ، ومفارقة بورالي فورتي ، ومفارقة كانتور .

درس أبيان ولاماشيا (1978) نظرية فرعية من نظرية ZFC تتألف من بديهيات التمديد، والاتحاد، ومجموعة القوى، والاستبدال، والاختيار. وباستخدام النماذج ، أثبتا اتساق هذه النظرية الفرعية، وأثبتا أن كل بديهية من بديهيات التمديد والاستبدال ومجموعة القوى مستقلة عن البديهيات الأربع المتبقية لهذه النظرية الفرعية. وإذا أُضيفت إلى هذه النظرية الفرعية بديهية اللانهاية، فإن كل بديهية من بديهيات الاتحاد والاختيار واللانهاية تصبح مستقلة عن البديهيات الخمس المتبقية. ولأن هناك نماذج غير مؤسسة جيدًا تُحقق كل بديهية من بديهيات ZFC باستثناء بديهية الانتظام، فإن هذه البديهية مستقلة عن بديهيات ZFC الأخرى.

إذا كانت نظرية ZFC متسقة، فلا يمكنها إثبات وجود الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول التي تتطلبها نظرية الفئات . ويمكن إنشاء مجموعات ضخمة من هذا النوع إذا أُضيفت بديهية تارسكي إلى نظرية ZF . ^{[ 15 ]} وبافتراض أن هذه البديهية تحوّل بديهيات اللانهاية ، ومجموعة القوى ، والاختيار (7-9 أعلاه) إلى نظريات.

العديد من العبارات المهمة مستقلة عن نظرية ZFC . عادةً ما يُثبت هذا الاستقلال بالفرض ، حيث يُبين أن كل نموذج تعدي قابل للعد في ZFC (مُعزز أحيانًا ببديهيات الأعداد الكبيرة ) يمكن توسيعه ليُحقق العبارة المعنية. ثم يُبين أن توسيعًا مختلفًا يُحقق نفي العبارة. يُثبت برهان الاستقلال بالفرض تلقائيًا الاستقلال عن العبارات الحسابية، والعبارات الملموسة الأخرى، وبديهيات الأعداد الكبيرة. يمكن إثبات صحة بعض العبارات المستقلة عن ZFC في نماذج داخلية مُحددة ، كما هو الحال في الكون القابل للإنشاء . مع ذلك، فإن بعض العبارات الصحيحة حول المجموعات القابلة للإنشاء لا تتوافق مع بديهيات الأعداد الكبيرة المفترضة.

يثبت الإجبار أن العبارات التالية مستقلة عن ZFC:

• بديهية قابلية الإنشاء (V=L) (وهي أيضاً ليست بديهية ZFC)
• فرضية الاستمرارية
• مبدأ الماس
• بديهية مارتن (وهي ليست بديهية ZFC)
• فرضية سوسلين

ملاحظات:

• يمكن إثبات اتساق V=L من خلال النماذج الداخلية ولكن ليس بالإجبار: يمكن تقليم كل نموذج من ZF ليصبح نموذجًا لـ ZFC + V=L.
• إن مبدأ الماس يستلزم فرضية الاستمرارية ونفي فرضية سوسلين.
• إن بديهية مارتن بالإضافة إلى نفي فرضية الاستمرارية تستلزم فرضية سوسلين.
• إن الكون القابل للبناء يفي بفرضية الاستمرارية المعممة ، ومبدأ الماس، وبديهية مارتن، وفرضية كوريبا.
• إن فشل فرضية كوريبا يتسق مع وجود عدد أصلي يصعب الوصول إليه بشدة .

يمكن استخدام صيغة معدلة من طريقة الإجبار لإثبات اتساق بديهية الاختيار وعدم إمكانية إثباتها ، أي أن بديهية الاختيار مستقلة عن ZF. ويمكن التحقق من اتساق الاختيار بسهولة نسبية بإثبات أن النموذج الداخلي L يحقق الاختيار. (وبالتالي، يحتوي كل نموذج من ZF على نموذج فرعي من ZFC، بحيث أن Con(ZF) يستلزم Con(ZFC)). ولأن الإجبار يحافظ على الاختيار، فلا يمكننا إنتاج نموذج يناقض الاختيار مباشرةً من نموذج يحقق الاختيار. ومع ذلك، يمكننا استخدام الإجبار لإنشاء نموذج يحتوي على نموذج فرعي مناسب، أي نموذج يحقق ZF ولكنه لا يحقق C.

ثمة طريقة أخرى لإثبات نتائج الاستقلال، لا تعتمد على الإجبار، وتستند إلى نظرية عدم الاكتمال الثانية لغودل. تستخدم هذه الطريقة العبارة التي يُبحث في استقلالها لإثبات وجود نموذج مجموعة لـ ZFC، وفي هذه الحالة تكون Con(ZFC) صحيحة. بما أن ZFC تُحقق شروط نظرية غودل الثانية، فإن اتساق ZFC غير قابل للإثبات في ZFC (بشرط أن تكون ZFC متسقة بالفعل). وبالتالي، لا يمكن إثبات أي عبارة تسمح بمثل هذا الإثبات في ZFC. يمكن لهذه الطريقة إثبات أن وجود الأعداد الكبيرة غير قابل للإثبات في ZFC، لكنها لا تستطيع إثبات أن افتراض وجود هذه الأعداد، بالنظر إلى ZFC، خالٍ من التناقض.

يُعرف مشروع توحيد علماء نظرية المجموعات خلف بديهيات إضافية لحل فرضية الاستمرارية أو غيرها من الغموضات ما وراء الرياضية أحيانًا باسم "برنامج غودل". ^{[ 16 ]} يناقش علماء الرياضيات حاليًا أي البديهيات هي الأكثر منطقية أو "بديهية"، وأيها الأكثر فائدة في مختلف المجالات، وإلى أي مدى يجب الموازنة بين الفائدة والمنطق؛ إذ يرى بعض علماء نظرية المجموعات " المتعددة الأكوان " أن الفائدة يجب أن تكون المعيار النهائي الوحيد الذي تُعتمد فيه البديهيات عادةً. يميل أحد المدارس الفكرية إلى توسيع المفهوم "التكراري" للمجموعة لإنتاج كون نظري للمجموعات ذي بنية مثيرة للاهتمام ومعقدة ولكنها قابلة للمعالجة بشكل معقول من خلال اعتماد بديهيات إجبارية؛ بينما يدعو مدرسة أخرى إلى كون أكثر ترتيبًا وأقل ازدحامًا، ربما يركز على نموذج داخلي "أساسي". ^{[ 17 ]}