مبدأ الماس

في الرياضيات ، وخاصة في نظرية المجموعات البديهية ، مبدأ الماس${\displaystyle \Diamond }$هو مبدأ توافقي قدمه رونالد جنسن في كتابه (جنسن، 1972) ينطبق على الكون القابل للبناء ، ويستلزم فرضية الاستمرارية . استخلص جنسن مبدأ الماس من برهانه على أن بديهية قابلية البناء تستلزم وجود شجرة سوسلين .

ينص مبدأ الألماس ◊ على وجود◊-sequence ، عائلة من المجموعات A _α ⊆ α لـ α < ω ₁ بحيث يكون لأي مجموعةجزئية A منω ₁ مجموعة α مع A ∩ α = A _α ثابتةفي ω ₁ .

توجد عدة صيغ مكافئة لمبدأ المعين. تنص إحداها على وجود مجموعة قابلة للعد Aα من المجموعات الجزئية من _α لكل عدد ترتيبي قابل للعد _α ، بحيث أنه لأي مجموعة جزئية A من ω1 توجد مجموعة جزئية ثابتة C من ω1 _، بحيث أنه لكل α في C، _يكون لدينا A ∩ α ∈ Aα و C ∩ α ∈ Aα . _لاحظ أن الصيغة المخففة التي تنص على وجود مجموعات Aα ⊆ _α لـ α < ω1 _، بحيث أنه لأي مجموعة جزئية _A من ω1 يوجد على الأقل عدد لانهائي واحد _α بحيث A ∩ α = Aα ، تُكافئ فرضية الاستمرارية .

بشكل أعم، بالنسبة لعدد أصلي معين κ ومجموعة ثابتة S ⊆ κ ، فإن العبارة ◊ _S (تُكتب أحيانًا ◊( S ) أو ◊ _κ ( S ) ) هي العبارة التي تفيد بوجود متتالية ⟨ A _α  : α ∈ S ⟩ بحيث

• كل A _α ⊆ α
• لكل A ⊆ κ , { α ∈ S  : A ∩ α = A _α } ثابت في κ

المبدأ ◊ _{ω 1} هو نفسه ◊ .

ينص مبدأ الماس الزائد ◊ ⁺ على أنه يوجد تسلسل ◊ ⁺ ، بمعنى آخر مجموعة قابلة للعد A _α من المجموعات الفرعية لـ α لكل عدد ترتيبي قابل للعد α بحيث أنه لأي مجموعة فرعية A من ω ₁ توجد مجموعة فرعية مغلقة غير محدودة C من ω ₁ بحيث أنه لكل α في C لدينا A ∩ α ∈ A _α و C ∩ α ∈ A _α .

أظهر جنسن (1972) أن مبدأ المعين ◊ يستلزم وجود أشجار سوسلين . كما أظهر أن V = L يستلزم مبدأ المعين الزائد، الذي يستلزم بدوره مبدأ المعين، الذي يستلزم CH . وبالتحديد، فإن مبدأ المعين ومبدأ المعين الزائد كلاهما مستقلان عن بديهيات ZFC . كذلك، فإن ♣ + CH يستلزم ◊ ، لكن شيلاه قدم نماذج لـ ♣ + ¬ CH ، لذا فإن ◊ و ♣ ليسا متكافئين (بل إن ♣ أضعف من ◊ ).

أثبت ماتيت المبدأ${\displaystyle \diamondsuit _{\kappa }}$مكافئ لخاصية تقسيمات${\displaystyle \kappa }$مع تقاطع قطري للقطاعات الأولية للتقسيمات الثابتة في${\displaystyle \kappa }$[ ^{1 ]​}

إن مبدأ الماس ◊ لا يعني وجود شجرة كوريبا ، ولكن المبدأ الأقوى ◊ ⁺ يعني كلاً من مبدأ ◊ ووجود شجرة كوريبا.

استخدم أكيمان وويفر (2004) ◊ لإنشاء جبر C * يعمل كمثال مضاد لمشكلة نايمارك .

لكل الأعداد الأصلية κ والمجموعات الجزئية الثابتة S ⊆ κ ⁺ ، فإن ◊ _S موجودة في الكون القابل للإنشاء . أثبت شيلاه (2010) أنه بالنسبة لـ κ > ℵ ₀ ، فإن ◊ _{κ ⁺} ( S ) ينتج من 2 ^κ = κ ⁺ للمجموعات S الثابتة التي لا تحتوي على أعداد ترتيبية ذات نهاية مشتركة κ .

أظهر شيلاه أن مبدأ الماس يحل مشكلة وايتهيد من خلال الإشارة إلى أن كل مجموعة وايتهيد حرة.

• قائمة بالعبارات المستقلة عن ZFC
• العبارات صحيحة في اللغة L