نطاق الدالة

في الرياضيات ، قد يشير مدى الدالة إما إلى المجال المقابل للدالة ، أو إلى صورتها . في بعض الحالات، يكون المجال المقابل والصورة للدالة هما نفس المجموعة؛ وتُسمى هذه الدالة شاملة . أما بالنسبة لأي دالة غير شاملة، فإن مداها يساوي صفرًا .${\displaystyle f:X\to Y,}$المجال المشترك${\displaystyle Y}$والصورة${\displaystyle {\tilde {Y}}}$تختلف؛ ومع ذلك، يمكن تعريف دالة جديدة باستخدام صورة الدالة الأصلية كمجالها المقابل،${\displaystyle {\tilde {f}}:X\to {\tilde {Y}}}$أين${\displaystyle {\tilde {f}}(x)=f(x).}$هذه الدالة الجديدة شاملة.

بفرض وجود مجموعتين X و Y ، فإن العلاقة الثنائية f بين X و Y هي دالة (من X إلى Y ) إذا كان لكل عنصر x في X يوجد عنصر y واحد فقط في Y بحيث تربط f بين x و y . تُسمى المجموعتان X و Y مجال ومجال f المقابل ، على التوالي. صورة الدالة f هي مجموعة جزئية من Y تتكون فقط من العناصر y في Y التي يوجد على الأقل عنصر x واحد في X بحيث f ( x ) = y .

نظرًا لأن مصطلح "المدى" قد يحمل معاني مختلفة، يُعتبر من الممارسات الجيدة تعريفه عند استخدامه لأول مرة في كتاب مدرسي أو مقال. تميل الكتب القديمة، عند استخدامها لكلمة "المدى"، إلى استخدامها للدلالة على ما يُسمى الآن بالمجال المقابل . ^{[ 1 ]} أما الكتب الحديثة، إن استخدمت كلمة "المدى" أصلًا، فتستخدمها عمومًا للدلالة على ما يُسمى الآن بالصورة . [ ^{2 ] ولتجنب} أي لبس، لا تستخدم بعض الكتب الحديثة كلمة "المدى" على الإطلاق. ^{[ 3 ]}

بالنظر إلى دالة

$${\displaystyle f\colon X\to Y}$$

مع النطاق${\displaystyle X}$نطاق${\displaystyle f}$، ويشار إليه أحيانًا بـ${\displaystyle \operatorname {ran} (f)}$أو${\displaystyle \operatorname {Range} (f)}$^{قد يشير [} 4 ^{] إلى} المجال المشترك أو مجموعة الهدف${\displaystyle Y}$(أي المجموعة التي تُضم إليها جميع مخرجات${\displaystyle f}$(مُقيد بالسقوط)، أو إلى${\displaystyle f(X)}$، صورة مجال${\displaystyle f}$تحت${\displaystyle f}$(أي، مجموعة فرعية من${\displaystyle Y}$يتألف من جميع المخرجات الفعلية لـ${\displaystyle f}$). صورة الدالة هي دائمًا مجموعة جزئية من المجال المقابل للدالة. ^{[ 5 ]}

كمثال على الاستخدامين المختلفين، انظر إلى الدالة${\displaystyle f(x)=x^{2}}$كما هو مستخدم في التحليل الحقيقي (أي كدالة تُدخل عددًا حقيقيًا وتُخرج مربعه). في هذه الحالة، يكون مجالها المقابل هو مجموعة الأعداد الحقيقية.${\displaystyle \mathbb {R} }$، لكن صورتها هي مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$، منذ${\displaystyle x^{2}}$لا يكون الأمر سلبياً أبداً إذا${\displaystyle x}$حقيقي. بالنسبة لهذه الدالة، إذا استخدمنا "المدى" بمعنى المجال المقابل ، فإنه يشير إلى${\displaystyle \mathbb {\displaystyle \mathbb {R} ^{}} }$إذا استخدمنا مصطلح "المدى" بمعنى الصورة ، فإنه يشير إلى${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$.

بالنسبة لبعض الدوال، تتطابق الصورة مع المجال المقابل؛ وتسمى هذه الدوال بالدوال الشاملة أو الدوال الفوقية . على سبيل المثال، لنأخذ الدالة${\displaystyle f(x)=2x,}$تستقبل هذه الدالة عددًا حقيقيًا وتُخرج ضعفه. في هذه الحالة، يُمثل كل من المجال المقابل والصورة مجموعة الأعداد الحقيقية، لذا فإن كلمة " المدى " واضحة لا لبس فيها.

حتى في الحالات التي يختلف فيها مجال الصورة عن مجال البعد للدالة، يمكن تعريف دالة جديدة بشكل فريد بحيث يكون مجال البعد الخاص بها هو صورة الدالة الأصلية. على سبيل المثال، كدالة من الأعداد الصحيحة إلى الأعداد الصحيحة، دالة المضاعفة${\displaystyle f(n)=2n}$ليست دالة شاملة لأن الأعداد الزوجية فقط هي التي تشكل الصورة. ومع ذلك، توجد دالة جديدة${\displaystyle {\tilde {f}}(n)=2n}$الدالة التي مجالها الأعداد الصحيحة ومجالها المقابل الأعداد الزوجية هي دالة شاملة.${\displaystyle {\tilde {f}},}$نطاق الكلمة واضح لا لبس فيه.

• التقابل، والحقن، والتجاوز
• مجموعة أساسية

• تشايلدز، ليندسي ن. (2009). تشايلدز، ليندسي ن. (محرر). مقدمة عملية في الجبر المتقدم . نصوص جامعية في الرياضيات (  الطبعة الثالثة). سبرينغر. doi : 10.1007/978-0-387-74725-5 . ISBN 978-0-387-74527-5. OCLC 173498962 . 
• دوميت، ديفيد س.؛ فوت، ريتشارد م. (2004). الجبر المجرد (  الطبعة الثالثة). وايلي. ISBN 978-0-471-43334-7. OCLC 52559229 . 
• هانغرفورد، توماس و. (1974). الجبر . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  73. سبرينغر. doi : 10.1007/978-1-4612-6101-8 . ISBN 0-387-90518-9. OCLC 703268 . 
• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي (  الطبعة الثانية). ماكجرو هيل. ISBN 0-07-054236-8.