Modus ponens

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 39 صور
الموسوعة الحرة

في منطق القضايا ، يُعرف القياس الاستدلالي ( modus ponens ) أيضًا باسم القياس الاستدلالي ( modus ponendo ponens ) ، وهو اختصار لعبارة لاتينية تعني " الوضع الذي يؤكد بتأكيده " ، [ 1 ] أو حذف الاستلزام ، أو تأكيد المقدمة ، [ 2 ] وهو شكل من أشكال الاستدلال الاستنتاجي وقاعدة من قواعد الاستدلال . [ 3 ] ويمكن تلخيصه كالتالي: " P يستلزم Q. P صحيح . لذلك، يجب أن يكون Q صحيحًا أيضًا." 

القياس الشرطي (Modus ponens) هو قياس منطقي افتراضي مختلط ، ويرتبط ارتباطًا وثيقًا بنوع آخر من الحجج الصحيحة ، وهو القياس الاستثنائي (Modus tollens) . كلاهما له صيغ متشابهة ظاهريًا ولكنها غير صحيحة: تأكيد النتيجة ونفي المقدمة . المعضلة البنائية هي الصيغة الانفصالية للقياس الشرطي .

يعود تاريخ قاعدة الاستدلال المنطقي (modus ponens) إلى العصور القديمة . [ 4 ] وكان ثيوفراستوس أول من وصف صيغة الاستدلال المنطقي (modus ponens) بشكل صريح . [ 5 ] وهي، إلى جانب قاعدة الاستدلال العكسي (modus tollens )، من أنماط الاستدلال القياسية التي يمكن تطبيقها لاستخلاص سلاسل من النتائج التي تؤدي إلى الهدف المنشود.

توضيح

إن شكل حجة القياس الشرطي هو قياس منطقي افتراضي مختلط ، مع مقدمتين ونتيجة: [ 6 ]

  1. إذا كان P ، فإن Q.
  2. ص .
  3. لذلك ، Q.

المقدمة الأولى هي ادعاء شرطي ("إذا-إذن")، أي أن P يستلزم Q. أما المقدمة الثانية فهي تأكيد على أن P ، وهي مقدمة الادعاء الشرطي، محققة. ومن هاتين المقدمتين، يمكن استنتاج منطقياً أن Q ، وهي نتيجة الادعاء الشرطي، محققة أيضاً.

مثال على حجة تتناسب مع صيغة القياس المنطقي (modus ponens ):

  1. إذا كان اليوم هو الثلاثاء، فسيذهب جون إلى العمل.
  2. اليوم هو الثلاثاء.
  3. لذلك، سيذهب جون إلى العمل.

هذه الحجة صحيحة ، لكن هذا لا يؤثر على صحة أي من عباراتها ؛ فلكي تكون الحجة منطقية ، يجب أن تكون مقدماتها صحيحة في جميع الحالات الصحيحة للنتيجة. قد تكون الحجة صحيحة ولكنها غير منطقية إذا كانت إحدى مقدماتها أو أكثر خاطئة؛ أما إذا كانت الحجة صحيحة وجميع مقدماتها صحيحة، فهي منطقية. على سبيل المثال، قد يذهب جون إلى العمل يوم الأربعاء. في هذه الحالة، يكون منطق ذهاب جون إلى العمل (لأنه يوم الثلاثاء) غير منطقي. الحجة منطقية فقط يوم الثلاثاء (عندما يذهب جون إلى العمل)، ولكنها صحيحة في جميع أيام الأسبوع. يُقال إن الحجة المنطقية باستخدام الاستدلال المنطقي استنتاجية . [ 7 ]

في حساب التفاضل والتكامل ذي النتيجة الواحدة ، تُعرف قاعدة القطع بقاعدة القياس المنطقي . وتنص نظرية حذف القطع في حساب التفاضل والتكامل على أنه يمكن تحويل أي برهان يتضمن قاعدة القطع (عمومًا، بطريقة بنائية) إلى برهان لا يتضمنها، وبالتالي فإن قاعدة القطع مقبولة . [ 8 ]

تربط علاقة كاري -هوارد بين البراهين والبرامج بين قاعدة الاستدلال وتطبيق الدالة : إذا كانت f دالة من النوع P → Q و x من النوع P ، فإن fx من النوع Q. [ 9 ]

في مجال الذكاء الاصطناعي ، يُطلق على الاستدلال القائم على الأدلة غالبًا اسم الاستدلال الأمامي . [ 10 ]

الترميز الرسمي

صqp → q
تيتيتي
تيFF
Fتيتي
FFتي

يمكن كتابة قاعدة القياس المنطقي (modus ponens) باستخدام الترميز التسلسلي كما يلي :

P→سؤال،P⊢سؤال{\displaystyle P\to Q,\;P\;\;\vdash \;\;Q}

حيث P و Q و P → Q هي عبارات (أو قضايا) في لغة رسمية و ⊢ هو رمز ميتا منطقي يعني أن Q هي نتيجة نحوية لـ P و P → Q في نظام منطقي ما .

في المنطق الثنائي الكلاسيكي، يمكن تفسير قاعدة الاستنتاج ( modus ponens ) من خلال عامل الشرط المادي (الاستلزام). يعود مفهوم الاستلزام كبنية رياضية دقيقة إلى مطلع القرن التاسع عشر تقريبًا، مع الأعمال المبكرة في المنطق الرياضي، مثل كتابي "Begriffsschrift" و "Principia Mathematica" . إذا كان لدينا متغيران p و q ، يمكن أن يكونا صحيحين أو خاطئين، فإن الاستلزام ( p → q ) يُعرَّف بأنه أن تكون جميع الحالات صحيحة باستثناء الحالة التي يكون فيها p صحيحًا و q خاطئًا. [ 11 ] وبناءً على افتراضات قاعدة الاستنتاج ، فإن p → q و p صحيحان، وبناءً على تعريف الاستلزام، يمكن استنتاج أن q يجب أن يكون صحيحًا أيضًا.

حالة

على الرغم من أن قاعدة الاستدلال الاستنباطي (modus ponens) تُعدّ من أكثر أشكال الاستدلال شيوعًا في المنطق، إلا أنه لا ينبغي الخلط بينها وبين القانون المنطقي؛ بل هي إحدى الآليات المقبولة لبناء البراهين الاستنتاجية، والتي تشمل "قاعدة التعريف" و"قاعدة الاستبدال". [ 12 ] تسمح قاعدة الاستدلال الاستنباطي بحذف عبارة شرطية من البرهان أو الحجة المنطقية (المقدمات)، وبالتالي عدم تضمين هذه المقدمات في سلسلة متزايدة الطول من الرموز؛ ولهذا السبب تُسمى قاعدة الاستدلال الاستنباطي أحيانًا بقاعدة الفصل [ 13 ] أو قانون الفصل . [ 14 ] يلاحظ إندرتون، على سبيل المثال، أن "القياس الاستدلالي يمكن أن ينتج صيغًا أقصر من صيغ أطول"، [ 15 ] ويلاحظ راسل أن "عملية الاستدلال لا يمكن اختزالها إلى رموز. سجلها الوحيد هو ظهور ⊦q [النتيجة] ... الاستدلال هو إسقاط مقدمة صحيحة؛ إنه حل للاستلزام". [ 16 ]

يُبرر مبدأ "الثقة في الاستدلال" الاعتقاد بأنه إذا لم تكن المقدمتان السابقتان [المقدمات] خاطئتين، فإن النتيجة النهائية [النتيجة] لن تكون خاطئة. [ 16 ] بعبارة أخرى: إذا كانت عبارة أو قضية ما تستلزم عبارة أو قضية أخرى، وكانت العبارة أو القضية الأولى صحيحة، فإن الثانية صحيحة أيضًا. إذا كانت P تستلزم Q وكانت P صحيحة، فإن Q صحيحة. [ 17 ]

المراسلات مع الأطر الرياضية الأخرى

الدلالات الجبرية

في المنطق الرياضي، تُعامل الدلالات الجبرية كل جملة كاسم لعنصر في مجموعة مرتبة. عادةً، يمكن تصور المجموعة كبنية شبكية تحتوي على عنصر واحد (الصحيح دائمًا) في الأعلى وعنصر واحد آخر (الخاطئ دائمًا) في الأسفل. يصبح التكافؤ المنطقي هوية، بحيث عندما¬(P∧سؤال){\displaystyle \neg {(P\wedge Q)}}و¬P∨¬سؤال{\displaystyle \neg {P}\vee \neg {Q}}على سبيل المثال، إذا كانت متكافئة (كما هو متعارف عليه)، فإن¬(P∧سؤال)=¬P∨¬سؤال{\displaystyle \neg {(P\wedge Q)}=\neg {P}\vee \neg {Q}}يصبح الاستلزام المنطقي مسألة موقع نسبي:P{\displaystyle P}يستلزم ذلك منطقياًسؤال{\displaystyle Q}تحسباً لأي طارئP≤سؤال{\displaystyle P\leq Q}أي عندماP=سؤال{\displaystyle P=Q}وإلاP{\displaystyle P}يقع في الأسفلسؤال{\displaystyle Q}وهي متصلة بها عبر مسار صاعد.

في هذا السياق، أن نقول أنP{\textstyle P}وP→سؤال{\displaystyle P\rightarrow Q}معًا تعنيسؤال{\displaystyle Q}—أي تأكيد صحة قاعدة الاستدلال المنطقي— يعني القول بأن أعلى نقطة تقع أسفل كليهماP{\displaystyle P}وP→سؤال{\displaystyle P\rightarrow Q}يقع في الأسفلسؤال{\displaystyle Q}أي أنP∧(P→سؤال)≤سؤال{\displaystyle P\wedge (P\rightarrow Q)\leq Q}[ أ ] في دلالات منطق القضايا الأساسي، يكون الجبر بوليانيًا ، مع→{\displaystyle \rightarrow }يُفسَّر على أنه الشرط المادي :P→سؤال=¬P∨سؤال{\displaystyle P\rightarrow Q=\neg {P}\vee Q}تأكيد ذلكP∧(P→سؤال)≤سؤال{\displaystyle P\wedge (P\rightarrow Q)\leq Q}ثم يصبح الأمر بسيطاً، لأنP∧(P→سؤال)=P∧سؤال{\displaystyle P\wedge (P\rightarrow Q)=P\wedge Q}وP∧سؤال≤سؤال{\displaystyle P\wedge Q\leq Q}مع علاجات أخرى لـ→{\displaystyle \rightarrow }، تصبح الدلالات أكثر تعقيدًا، وقد يكون الجبر غير منطقي، ولا يمكن اعتبار صحة قاعدة الاستدلال المنطقي أمرًا مفروغًا منه.

حساب الاحتمالات

لوبرو(P→سؤال)=x{\displaystyle \Pr(P\rightarrow Q)=x}وبرو(P)=y{\displaystyle \Pr(P)=y}، ثمبرو(سؤال){\displaystyle \Pr(Q)}يجب أن تقع في الفترة[x+y-1،x]{\displaystyle [x+y-1,x]}[ ب ] [ 18 ] في الحالة الخاصةx=y=1{\displaystyle x=y=1}،برو(سؤال){\displaystyle \Pr(Q)}يجب أن يساوي1{\displaystyle 1}.

المنطق الذاتي

يمثل Modus ponens مثالاً على عامل الاستدلال الثنائي في المنطق الذاتي، ويُعبر عنه على النحو التالي:

ωسؤال‖Pأ=(ωسؤال|Pأ،ωسؤال|¬Pأ)⊚ωPأ،{\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\circledcirc \omega _{P}^{A}\,,}

أينωPأ{\displaystyle \أوميغا _{P}^{A}}يشير إلى الرأي الشخصي حولP{\displaystyle P}كما ورد في المصدرأ{\displaystyle A}والرأي المشروطωسؤال|Pأ{\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}يعمم الاستلزام المنطقيP→سؤال{\displaystyle P\to Q}الرأي الهامشي المستنتج حولسؤال{\displaystyle Q}يُرمز إليه بـωسؤال‖Pأ{\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}}الحالة التيωPأ{\displaystyle \أوميغا _{P}^{A}}هذا رأي صحيح تمامًا بشأنP{\displaystyle P}يعادل المصدرأ{\displaystyle A}بقول ذلكP{\displaystyle P}صحيح، والحالة التي يكون فيهاωPأ{\displaystyle \أوميغا _{P}^{A}}هذا رأي خاطئ تماماً بشأنP{\displaystyle P}يعادل المصدرأ{\displaystyle A}بقول ذلكP{\displaystyle P}خطأ. عامل الاستنتاج⊚{\displaystyle \circledcirc }ينتج عن المنطق الذاتي رأي مستنتج صحيح مطلقωسؤال‖Pأ{\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}}عندما يكون الرأي المشروطωسؤال|Pأ{\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}صحيح تمامًا والرأي السابقωPأ{\displaystyle \أوميغا _{P}^{A}}صحيح مطلقاً. ومن ثم، فإن الاستدلال المنطقي الذاتي يمثل تعميماً لكل من قاعدة الاستدلال وقانون الاحتمال الكلي . [ 19 ]

حالات الفشل المزعومة

حدد الفلاسفة واللغويون حالاتٍ عديدة يبدو فيها أن قاعدة القياس المنطقي (modus ponens) لا تنطبق. فعلى سبيل المثال، جادل فان ماكجي بأن قاعدة القياس المنطقي قد لا تنطبق على الجمل الشرطية التي تكون نتائجها بدورها جملًا شرطية. [ 20 ] وفيما يلي مثال على ذلك:

  1. إما شكسبير أو هوبز كتبا مسرحية هاملت .
  2. إذا كان شكسبير أو هوبز قد كتبا مسرحية هاملت ، فإذا لم يفعلها شكسبير، فإن هوبز هو من فعلها.
  3. لذلك، إذا لم يكن شكسبير هو من كتب هاملت ، فإن هوبز هو من فعل ذلك.

بما أن شكسبير هو من كتب هاملت ، فإن الفرضية الأولى صحيحة. والفرضية الثانية صحيحة أيضاً، إذ أن البدء بمجموعة من المؤلفين المحتملين تقتصر على شكسبير وهوبز فقط، ثم استبعاد أحدهما، لا يترك سوى الآخر. مع ذلك، فإن النتيجة مشكوك فيها، لأن استبعاد شكسبير كمؤلف لهاملت سيترك العديد من المرشحين المحتملين، وكثير منهم بدائل أكثر منطقية من هوبز (إذا فُسِّرت عبارات "إذا-ثم" في الاستدلال على أنها شروط مادية، فإن النتيجة تصبح صحيحة لمجرد كون المقدمة خاطئة. وهذه إحدى مفارقات الاستلزام المادي ).

الشكل العام للأمثلة المضادة من نوع ماكجي لقاعدة القياس الاستدلالي هو ببساطةP،P→(سؤال→R){\displaystyle P,P\rightarrow (Q\rightarrow R)}، لذلك،سؤال→R{\displaystyle Q\rightarrow R}ومع ذلك، ليس من الضروري أنP{\displaystyle P}قد يكون هذا فصلاً منطقياً، كما في المثال المذكور. ولا يزال اعتبار هذه الحالات فشلاً في قاعدة القياس المنطقي (modus ponens) موضع جدل بين علماء المنطق، وتختلف الآراء حول كيفية التعامل معها، وقد رفض بعض المؤلفين حجة ماكجي. [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]

في المنطق الواجبي ، تُثير بعض أمثلة الالتزام المشروط احتمال فشل قاعدة الاستدلال الشرطي . وتتمثل هذه الحالات في وصف المقدمة الشرطية لالتزام قائم على فعل غير أخلاقي أو غير حكيم، مثل: "إذا قتل فلان أمه، فعليه أن يفعل ذلك برفق"، حيث تكون النتيجة غير المشروطة المشكوك فيها: "ينبغي على فلان أن يقتل أمه برفق". [ 24 ] ويبدو أنه إذا كان فلان يقتل أمه برفق بالفعل، فإنه وفقًا لقاعدة الاستدلال الشرطي، يبدو أنه يفعل بالضبط ما ينبغي عليه فعله دون قيد أو شرط. وهنا أيضًا، لا يُعد فشل قاعدة الاستدلال الشرطي تشخيصًا شائعًا، وينتقده بعض المؤلفين، ولكنه يُدافع عنه أحيانًا. [ 25 ]

المغالطات المحتملة

إن مغالطة تأكيد النتيجة (استنتاج P من إذا كان P ، فإن Q و Q ) هي سوء فهم شائع لقاعدة القياس الشرطي . [ 26 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ أعلى نقطة تقع أسفل كليهماX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}هو " اللقاء " لـX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}، ويرمز إليه بـX∧Y{\displaystyle X\wedge Y}.
  2. ↑ بافتراضP→سؤال=¬P∨سؤال{\displaystyle P\rightarrow Q=\neg {P}\vee Q}أي.¬P{\displaystyle \neg P}ثم يشير إلىP→سؤال{\displaystyle P\rightarrow Q}،x{\displaystyle x}يجب أن يكون دائمًا أكبر من أو يساوي1-y{\displaystyle 1-y}وبالتاليx+y-1{\displaystyle x+y-1}سيكون أكبر من أو يساوي0{\displaystyle 0}وبما أنy{\displaystyle y}يجب أن يكون دائمًا أقل من أو يساوي1{\displaystyle 1}،x+y-1{\displaystyle x+y-1}يجب أن يكون دائمًا أقل من أو يساويx{\displaystyle x}.

مراجع

  1. ↑ ستون ، جون ر. (1996). اللاتينية للأميين: طرد أشباح لغة ميتة . لندن: روتليدج. ص 60. ISBN  0-415-91775-1.
  2. ↑ "مرجع أكسفورد: تأكيد السابقة" . مرجع أكسفورد .
  3. ↑ إندرتون 2001:110
  4. ^ سوزان بوبزين (2002). "تطور طريقة بوننس في العصور القديمة"، Phronesis 47، العدد 4، 2002.
  5. ↑ بوبزيان، سوزان (15 أبريل 2020). "المنطق القديم" . في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
  6. ^ بوبزين، سوزان. “تطور Modus Ponens في العصور القديمة: من أرسطو إلى القرن الثاني الميلادي” (PDF) . فرونسيس . 47 : 359 – 394.
  7. ↑ ستيرن، روبن. "وجهان لقاعدة الاستدلال" (ملف PDF) . مجلة الفلسفة : 605-621 .
  8. ↑ كاربون، أليساندرا. "إثباتات بدون استخدام قاعدة الاستدلال: مقدمة في التوافقية وتعقيد حذف القطع" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية : 131-159 .
  9. ↑ بولياسيس، كونستانتينوس. "ربط منطق التبرير والنمط ونظرية النوع على طريقة كاري-هوارد" .{{cite journal}}يتطلب الاستشهاد بالمجلة ( مساعدة )|journal=
  10. ↑ إيفانوف، سيرجيو. "التسلسل الأمامي والخلفي مع أنظمة P" (ملف PDF) . هندسة الحاسوب: المفاهيم والمنهجيات والأدوات والتطبيقات : 1522-1531 .
  11. ↑ آرلو-كوستا، هوراسيو (3 يوليو 2021). "منطق الجمل الشرطية" . في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
  12. ^ ألفريد تارسكي 1946:47. أيضا أندرتون 2001: 110 وما يليها.
  13. ↑ تارسكي 1946:47
  14. ↑ "Modus ponens - موسوعة الرياضيات" . encyclopediaofmath.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 أبريل 2018 .
  15. ↑ إندرتون 2001:111
  16. 1 2 وايتهيد وراسل 1927:9
  17. ↑ جاغو، مارك (2007). المنطق الصوري . دار النشر Humanities-Ebooks LLP. رقم ISBN 978-1-84760-041-7.
  18. ↑ هايلبيرين، ثيودور (1996). منطق الاحتمالية الجملية: الأصول، والتطور، والوضع الحالي، والتطبيقات التقنية . لندن: مطابع الجامعات المتحدة. ص 203. ISBN  0934223459.
  19. ↑ أودون جوسانغ 2016:92
  20. ↑ فان ماكجي (1985). "مثال مضاد لقاعدة القياس المنطقي"، مجلة الفلسفة 82، 462-471.
  21. ^ سينوت أرمسترونج ومور وفوغلين (1986). “الدفاع عن مودوس بونينز”، مجلة الفلسفة 83، 296-300.
  22. ↑ DE Over (1987). "الافتراض والأمثلة المضادة المفترضة لقاعدة الاستنتاج"، التحليل 47، 142-146.
  23. ↑ بليدين (2015). "الدفاع عن طريقة الاستدلال"، مجلة الفلسفة 112، 462-471.
  24. ↑ "المنطق الواجبي" . 21 أبريل 2010. تم الاطلاع عليه في 30 يناير 2020 .موسوعة ستانفورد للفلسفة .
  25. ↑ على سبيل المثال، بقلم كولودني وماكفارلين (2010). "الافتراضات والواجبات"، مجلة الفلسفة 107، 115-143.
  26. ↑ "المغالطات | موسوعة الإنترنت للفلسفة" . iep.utm.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 مارس 2020 .

مصادر

  • هربرت ب. إندرتون، 2001، مقدمة رياضية في المنطق، الطبعة الثانية ، دار هاركورت الأكاديمية للنشر، بيرلينجتون، ماساتشوستس، رقم ISBN 978-0-12-238452-3.
  • أودون جوسانغ، 2016، المنطق الذاتي: شكلية للاستدلال في ظل عدم اليقين، سبرينغر، تشام، رقم ISBN 978-3-319-42337-1
  • ألفريد نورث وايتهيد وبرتراند راسل، 1927، كتاب "برينسيبيا ماثيماتيكا" (الطبعة الثانية) ، غلاف ورقي، 1962، كامبريدج، مطبعة الجامعة، لندن، المملكة المتحدة. لا يوجد رقم ISBN، ولا رقم LCCCN.
  • ألفريد تارسكي، 1946، مقدمة في المنطق ومنهجية العلوم الاستنتاجية، الطبعة الثانية، أعيد طبعها بواسطة دار نشر دوفر، مينولا، نيويورك. رقم ISBN 0-486-28462-X(غلاف ورقي).