مبادئ الرياضيات

مبادئ الرياضيات (غالبًا ما يتم اختصارها إلى PM ) هو عمل مكون من ثلاثة مجلدات حول أساسيات الرياضيات كتبه علماء الرياضيات والفلاسفة ألفريد نورث وايتهايد وبرتراند راسل ونشر في أعوام 1910 و1912 و1913. في الفترة من 1925 إلى 1927، ظهر في طبعة ثانية مع مقدمة مهمة للطبعة الثانية ، وملحق أ الذي استبدل ✱9 بملحق ب وملحق ج جديدين . كان من المفترض أن يكون PM بمثابة تكملة لكتاب راسل لعام 1903 مبادئ الرياضيات ، ولكن كما يقول PM ، أصبح هذا اقتراحًا غير قابل للتطبيق لأسباب عملية وفلسفية: "كان من المقصود في الأصل أن يتم تضمين العمل الحالي في المجلد الثاني من مبادئ الرياضيات ... ولكن مع تقدمنا، أصبح من الواضح بشكل متزايد أن الموضوع أكبر بكثير مما كنا نتصور؛ وعلاوة على ذلك، فيما يتعلق بالعديد من الأسئلة الأساسية التي تركت غامضة ومشكوك فيها في العمل السابق، وصلنا الآن إلى ما نعتقد أنه حلول مرضية".

وفقًا لمقدمته، كان لـ PM ثلاثة أهداف: (1) تحليل أفكار وطرق المنطق الرياضي إلى أقصى حد ممكن وتقليل عدد المفاهيم البدائية والمسلمات وقواعد الاستدلال ؛ (2) التعبير بدقة عن المقترحات الرياضية في المنطق الرمزي باستخدام أكثر تدوين ملائم يسمح به التعبير الدقيق؛ (3) حل المفارقات التي ابتليت بها المنطق ونظرية المجموعات في مطلع القرن العشرين، مثل مفارقة راسل . ^[3]

كان هذا الهدف الثالث هو الدافع وراء تبني نظرية الأنواع في PM . تتبنى نظرية الأنواع قيودًا نحوية على الصيغ التي تستبعد الفهم غير المقيد للفئات والخصائص والوظائف. والنتيجة المترتبة على ذلك هي أن الصيغ مثل تلك التي تسمح بفهم الأشياء مثل مجموعة راسل تتحول إلى صيغة سيئة التكوين: فهي تنتهك القيود النحوية لنظام PM .

أثارت PM اهتمامًا بالمنطق الرمزي وطورت الموضوع، ونشرته وأثبتت قوته. ^[4] وضعت مكتبة Modern Library PM في المرتبة 23 في قائمتها لأفضل 100 كتاب غير روائي باللغة الإنجليزية في القرن العشرين. ^[5]

لم يتناول كتاب Principia سوى نظرية المجموعات والأعداد الأساسية والأعداد الترتيبية والأعداد الحقيقية . ولم يتضمن الكتاب نظريات أعمق من التحليل الحقيقي ، ولكن بحلول نهاية المجلد الثالث أصبح من الواضح للخبراء أنه من الممكن من حيث المبدأ تطوير قدر كبير من الرياضيات المعروفة في الصيغة المعتمدة. وكان من الواضح أيضًا إلى أي مدى سيستغرق هذا التطوير.

وكان من المقرر إصدار مجلد رابع عن أسس الهندسة ، إلا أن المؤلفين اعترفوا بالإرهاق الفكري عند الانتهاء من المجلد الثالث.

كما هو مذكور في نقد النظرية بواسطة كورت جودل (أدناه)، على عكس النظرية الشكلية ، فإن النظرية "المنطقية" لـ PM ليس لديها "بيان دقيق لقواعد النحو الخاصة بالشكلية". وعلاوة على ذلك، في النظرية، من الممكن ملاحظة أن التفسيرات (بمعنى نظرية النموذج ) يتم تقديمها من حيث قيم الحقيقة لسلوك الرموز "⊢" (تأكيد الحقيقة)، "~" (المنطقية لا)، و"V" (المنطقية الشاملة أو).

القيم الحقيقية : يدمج PM مفهومي "الحقيقة" و"الزيف" في مفهوم "الاقتراح البدائي". لن توفر نظرية شكلية خام (نقية) معنى الرموز التي تشكل "اقتراحًا بدائيًا" - يمكن أن تكون الرموز نفسها تعسفية وغير مألوفة تمامًا. ستحدد النظرية فقط كيف تتصرف الرموز بناءً على قواعد النظرية . ثم لاحقًا، من خلال تعيين "القيم"، سيحدد النموذج تفسيرًا لما تقوله الصيغ. وبالتالي، في مجموعة رموز كليين الرسمية أدناه، يتم تقديم "تفسير" ما تعنيه الرموز عادةً، وبالتالي كيف ينتهي بها الأمر إلى الاستخدام، بين قوسين، على سبيل المثال، "¬ (ليس)". لكن هذه ليست نظرية شكلية نقية.

تُقدَّم النظرية الشكلية التالية على النقيض من النظرية المنطقية لـ PM . ويمكن بناء نظام شكلي معاصر على النحو التالي:

1. الرموز المستخدمة : هذه المجموعة هي المجموعة الأولية، ويمكن أن تظهر رموز أخرى ولكن فقط بحكم التعريف من هذه الرموز الأولية. قد تكون المجموعة الأولية هي المجموعة التالية المستمدة من Kleene 1952:
   • الرموز المنطقية :
     • "→" (يدل على، IF-THEN، و"⊃")،
     • "&" (و)،
     • "V" (أو)
     • "¬" (لا)
     • "∀" (للجميع)،
     • "∃" (يوجد)؛
   • رمز المسند : "=" (يساوي)؛
   • رموز الوظيفة :
     • "+" (جمع حسابي)،
     • "∙" (الضرب الحسابي)،
     • "" (خليفة)؛
   • الرمز الفردي "0" (صفر)؛
   • المتغيرات " أ "، " ب "، " ج "، وما إلى ذلك؛ و
   • الأقواس "(" و ")". ^[6]
2. سلاسل الرموز : ستقوم النظرية ببناء "سلاسل" من هذه الرموز عن طريق التجميع (التجاور). ^[7]
3. قواعد التكوين : تحدد النظرية قواعد بناء الجملة (قواعد النحو) عادةً كتعريف متكرر يبدأ بـ "0" ويحدد كيفية بناء سلاسل مقبولة أو "صيغ جيدة التكوين" (wffs). ^[8] يتضمن هذا قاعدة "استبدال" ^[9] السلاسل بالرموز المسماة "المتغيرات".
4. قواعد التحويل : المسلمات التي تحدد سلوكيات الرموز وتسلسلات الرموز.
5. قاعدة الاستدلال والانفصال و modus ponens : القاعدة التي تسمح للنظرية بـ "فصل" "النتيجة" عن "المقدمات" التي أدت إليها، ومن ثم التخلص من "المقدمات" (الرموز إلى يسار الخط │، أو الرموز فوق الخط إذا كان أفقيًا). إذا لم يكن الأمر كذلك، فإن الاستبدال سيؤدي إلى سلاسل أطول وأطول يجب نقلها إلى الأمام. في الواقع، بعد تطبيق modus ponens، لا يتبقى شيء سوى النتيجة، ويختفي الباقي إلى الأبد.
   غالبًا ما تحدد النظريات المعاصرة كمبدأها الأول القاعدة الكلاسيكية أو modus ponens أو "قاعدة الانفصال":
   أ ، أ ⊃ ب | ب
   الرمز "│" يُكتب عادةً على هيئة خط أفقي، وهنا تعني "⊃" "يدل". الرمزان A و B هما "بدائل" للسلاسل؛ ويُطلق على هذا الشكل من التدوين اسم "مخطط البديهيات" (أي أن هناك عددًا قابلاً للعد من الأشكال المحددة التي يمكن أن يأخذها التدوين). يمكن قراءة هذا بطريقة مماثلة لـ IF-THEN ولكن مع اختلاف: سلسلة الرموز المعطاة IF A و A تدل على B THEN B (وتحتفظ فقط بـ B للاستخدام الإضافي). لكن الرموز ليس لها "تفسير" (على سبيل المثال، لا يوجد "جدول حقيقة" أو "قيم حقيقة" أو "وظائف حقيقة") وتستمر modus ponens ميكانيكيًا، من خلال القواعد النحوية وحدها.

إن نظرية PM لها أوجه تشابه كبيرة، واختلافات مماثلة، مع النظرية الشكلية المعاصرة. ^{[ بحاجة لتوضيح ]} يذكر كلين أن "هذا الاستنتاج للرياضيات من المنطق تم تقديمه كبديهيات بديهية. كانت البديهيات تهدف إلى أن يتم تصديقها، أو على الأقل أن يتم قبولها كفرضيات معقولة تتعلق بالعالم". ^[10] في الواقع، على عكس النظرية الشكلية التي تتلاعب بالرموز وفقًا لقواعد النحو، تقدم PM مفهوم "قيم الحقيقة"، أي الحقيقة والزيف بالمعنى الحقيقي ، و"تأكيد الحقيقة" على الفور تقريبًا كعنصرين خامس وسادس في بنية النظرية ( PM 1962: 4-36):

1. المتغيرات
2. استخدامات الحروف المختلفة
3. الوظائف الأساسية للاقتراحات : "الدالة المتناقضة" التي يرمز لها بـ "~" و"المجموع المنطقي أو الدالة المنفصلة" التي يرمز لها بـ "∨" يتم اعتبارها بدائية ويتم تعريف الاستدلال المنطقي (المثال التالي يستخدم أيضًا لتوضيح التعريف أدناه) على النحو التالي:
   p ⊃ q . = . ~ p ∨ q Df . ( PM 1962:11)
   والضرب المنطقي المحدد على النحو التالي:
   p q . = . ~(~ p ∨ ~ q ) Df . ( PM 1962:12)
4. التكافؤ : التكافؤ المنطقي ، وليس التكافؤ الحسابي: "≡" يُعطى كدليل على كيفية استخدام الرموز، أي "وبالتالي فإن ' p ≡ q ' تعني '( p ⊃ q ) . ( q ⊃ p )'." ( PM 1962:7). لاحظ أنه لمناقشة تدوين، يحدد PM تدوينًا "فوقيًا" بـ "[مسافة] ... [مسافة]": ^[11]
   يظهر التكافؤ المنطقي مرة أخرى كتعريف : p
   ≡ q . = . ( p ⊃ q ) . ( q ⊃ p ) ( PM 1962:12)،
   لاحظ ظهور الأقواس. هذا الاستخدام النحوي غير محدد ويظهر بشكل متقطع؛ تلعب الأقواس دورًا مهمًا في سلاسل الرموز، على سبيل المثال، التدوين "( x )" للرمز المعاصر "∀ x ".
5. قيم الحقيقة : "قيمة الحقيقة" لأي قضية هي الحقيقة إذا كانت صحيحة، والكذب إذا كانت خاطئة (هذه العبارة تعود إلى جوتلوب فريج ) ( PM 1962:7).
6. علامة التأكيد : "يمكن قراءة ⊦ . p على أنها "صحيح أن" ... وبالتالي فإن ⊦ : p . ⊃ . q " تعني "صحيح أن p يستلزم q "، بينما ⊦ . p . ⊃⊦ . q " تعني أن p صحيح؛ وبالتالي فإن q صحيح. لا يتضمن الأول بالضرورة صحة p أو q ، بينما يتضمن الثاني صحة كليهما" ( PM 1962:92).
7. الاستدلال : نسخة PM من modus ponens . "[إذا] حدث '⊦ . p ' و'⊦ ( p ⊃ q )'، فسوف يحدث '⊦ . q ' إذا كان من المرغوب تسجيله. لا يمكن اختزال عملية الاستدلال إلى رموز. سجلها الوحيد هو حدوث '⊦ . q ' [بعبارة أخرى، تختفي الرموز الموجودة على اليسار أو يمكن محوها]" ( PM 1962:9).
8. استخدام النقاط
9. التعاريف : تستخدم هذه العلامة "=" مع "Df" في الطرف الأيمن.
10. ملخص العبارات السابقة : مناقشة موجزة للأفكار البدائية "~ p " و" p ∨ q " و"⊦" التي تسبق الاقتراح.
11. المقترحات البدائية : البديهيات أو المسلمات. وقد تم تعديل هذا بشكل كبير في الطبعة الثانية.
12. الوظائف القياسية : تم تعديل مفهوم "الاقتراحات" بشكل كبير في الطبعة الثانية، بما في ذلك إدخال "الاقتراحات الذرية" المرتبطة بعلامات منطقية لتشكيل "الاقتراحات الجزيئية"، واستخدام استبدال الاقتراحات الجزيئية في الاقتراحات الذرية أو الجزيئية لإنشاء تعبيرات جديدة.
13. نطاق القيم والتباين الإجمالي
14. التأكيد الغامض والمتغير الحقيقي : تم تعديل هذا القسم والقسمين التاليين أو التخلي عنهما في الإصدار الثاني. وعلى وجه الخصوص، تم التخلي عن التمييز بين المفاهيم المحددة في القسمين 15. التعريف والمتغير الحقيقي و16. القضايا التي تربط بين المتغيرات الحقيقية والظاهرية في الإصدار الثاني.
15. الاستلزام الرسمي والتكافؤ الرسمي
16. هوية
17. الطبقات والعلاقات
18. وظائف وصفية مختلفة للعلاقات
19. الدوال الوصفية المتعددة
20. فصول الوحدة

راجع PM 1962:90–94، للطبعة الأولى:

• (1) القضايا الأولية .
• (2) القضايا الأولية للوظائف .
• (3) التأكيد : يقدم مفهومي "الحقيقة" و "الزيف".
• (4) تأكيد الدالة التقريرية .
• (5) النفي : "إذا كانت p أي قضية، فسيتم تمثيل القضية "ليست p "، أو " p خاطئة"، بـ "~ p ".
• (6) الانفصال : "إذا كانت p و q أي قضيتين، فإن القضية " p أو q "، أي "إما أن p صحيحة أو q صحيحة"، حيث لا تكون البدائل متبادلة الاستبعاد، سيتم تمثيلها بواسطة " p ∨ q ".
• (راجع القسم ب)

تبدأ الطبعة الأولى (انظر المناقشة المتعلقة بالطبعة الثانية أدناه) بتعريف للعلامة "⊃"

✱1.01 . ص ⊃ س . = . ~ ص ∨ س . د ف .

✱1.1 . أي شيء يستلزمه اقتراح أولي صحيح يكون صحيحًا. Pp modus ponens

( تم التخلي عن ✱1.11 في الإصدار الثاني.)

✱1.2 . ⊦ : p ∨ p . ⊃ . p . Pp مبدأ التكرار

✱1.3 . ⊦ : q . ⊃ . p ∨ q . Pp مبدأ الجمع

✱1.4 . ⊦ : p ∨ q . ⊃ . q ∨ p . Pp مبدأ التبديل

✱1.5 . ⊦ : p ∨ ( q ∨ r ) . ⊃ . q ∨ ( p ∨ r ). مبدأ الارتباط Pp

✱1.6 . ⊦ :. q ⊃ r . ⊃ : p ∨ q . ⊃ . p ∨ r . Pp مبدأ الجمع

✱1.7 . إذا كانت p عبارة عن قضية أولية، فإن ~ p عبارة عن قضية أولية. ص

✱1.71 . إذا كانت p و q قضيتين أوليتين، فإن p ∨ q هي قضية أولية. ص ص

✱1.72 . إذا كانت φ p و ψ p دالتين أوليتين لقضايا أولية تأخذ قضايا أولية كحجج، فإن φ p ∨ ψ p هي قضية أولية. Pp

إلى جانب "مقدمة الطبعة الثانية"، يتخلى الملحق أ للطبعة الثانية عن القسم ✱9 بالكامل . ويتضمن هذا القسم ستة مقترحات بدائية من ✱9 إلى ✱9.15 إلى جانب بديهيات القابلية للاختزال.

أصبحت النظرية المنقحة صعبة بسبب إدخال ضربة شيفر ("|") لترمز إلى "عدم التوافق" (أي إذا كانت كلتا المقترحات الأولية p و q صحيحتين، فإن "ضربتهما" p | q خاطئة)، NAND المنطقية المعاصرة (ليست AND). في النظرية المنقحة، يقدم المقدمة مفهوم "القضية الذرية"، وهي "بيانات" "تنتمي إلى الجزء الفلسفي من المنطق". ليس لهذه الأجزاء أجزاء تمثل مقترحات ولا تحتوي على مفهومي "الكل" أو "البعض". على سبيل المثال: "هذا أحمر"، أو "هذا أقدم من ذلك". يمكن أن توجد مثل هذه الأشياء إلى ما لا نهاية ، أي حتى "تعداد لا نهائي" لها ليحل محل "العمومية" (أي مفهوم "للكل"). ^{[12] ثم "تتقدم} PM إلى مقترحات جزيئية" ترتبط جميعها بـ "الضربة". تعطي التعريفات مكافئات لـ "~"، و"∨"، و"⊃"، و" . ".

يحدد المقدمة الجديدة "الاقتراحات الأولية" على أنها مواضع ذرية وجزيئية معًا. ثم تستبدل كل الاقتراحات الأولية من ✱1.2 إلى ✱1.72 باقتراح أولي واحد مؤطر من حيث الحد:

"إذا كانت p و q و r اقتراحات أولية، فإذا علمنا أن p و p |( q | r )، فيمكننا استنتاج r . وهذا اقتراح أولي."

يحتفظ المقدمة الجديدة بالترميز الخاص بـ "يوجد" (أعيدت صياغته الآن على أنه "صحيح أحيانًا") و"للجميع" (أعيدت صياغته على أنه "صحيح دائمًا"). يعزز الملحق (أ) مفهوم "المصفوفة" أو "الوظيفة التنبؤية" (فكرة بدائية، PM 1962:164) ويقدم أربع مقترحات بدائية جديدة على أنها ✱8.1–✱8.13 .

✱88 . البديهية المضاعفة

✱120 . بديهية اللانهاية

في نظرية النوع البسيطة، تكون الأشياء عناصر من "أنواع" مختلفة منفصلة. يتم بناء الأنواع ضمناً على النحو التالي. إذا كانت τ ₁ ,...,τ _m أنواعًا، فهناك نوع (τ ₁ ,...,τ _m ) يمكن اعتباره فئة الدوال القياسية لـ τ ₁ ,...,τ _m (والتي في نظرية المجموعات هي في الأساس مجموعة المجموعات الجزئية لـ τ ₁ ×...×τ _m ). على وجه الخصوص، يوجد نوع () من القضايا، وقد يكون هناك نوع ι (ذرة) من "الأفراد" التي يتم بناء أنواع أخرى منها. إن تدوين راسل ووايتهيد لبناء أنواع من أنواع أخرى مرهق إلى حد ما، والتدوين هنا يرجع إلى تشرش .

في نظرية النوع المتفرع لـ PM، تكون جميع الكائنات عناصر من أنواع متفرعة مختلفة منفصلة. يتم بناء الأنواع المتفرعة ضمناً على النحو التالي. إذا كانت τ ₁ ،...، τ _m ،σ ₁ ،...، σ _n أنواعًا متفرعة، فكما هو الحال في نظرية النوع البسيطة، يوجد نوع (τ ₁ ،...، τ _m ،σ ₁ ،...، σ _n ) من الدوال التقريرية "التنبؤية" لـ τ ₁ ،...، τ _m ،σ ₁ ،...، σ _n . ومع ذلك، هناك أيضًا أنواع متفرعة (τ ₁ ،...،τ _m |σ ₁ ،...،σ _n ) يمكن اعتبارها فئات من الدوال القياسية لـ τ ₁ ،...،τ _m تم الحصول عليها من الدوال القياسية من النوع (τ ₁ ،...،τ _m ،σ ₁ ،...،σ _n ) عن طريق التكميم على σ ₁ ،...،σ _n . عندما تكون n = 0 (لذا لا توجد σs)، تسمى هذه الدوال القياسية دوال أو مصفوفات تنبؤية. قد يكون هذا مربكًا لأن الممارسة الرياضية الحديثة لا تميز بين الدوال التنبؤية وغير التنبؤية، وفي كل الأحوال لا يحدد PM أبدًا بالضبط ما هي "الدالة التنبؤية" في الواقع: يُنظر إلى هذا على أنه مفهوم بدائي.

وجد راسل ووايتهيد أنه من المستحيل تطوير الرياضيات مع الحفاظ على الفرق بين الدوال التنبؤية وغير التنبؤية، لذلك قدموا بديهية القابلية للاختزال ، قائلين إنه لكل دالة غير تنبؤية توجد دالة تنبؤية تأخذ نفس القيم. في الممارسة العملية، تعني هذه البديهية أساسًا أنه يمكن تحديد عناصر النوع (τ ₁ ،...،τ _m |σ ₁ ،...،σ _n ) بعناصر النوع (τ ₁ ،...،τ _m )، مما يتسبب في انهيار التسلسل الهرمي للأنواع المتفرعة إلى نظرية النوع البسيطة. (بالمعنى الدقيق للكلمة، تسمح نظرية النوع البسيطة لدالتين تقريريتين بأن تكونا مختلفتين حتى لو كانتا تأخذان نفس القيم في جميع الحجج؛ وهذا يختلف عن الممارسة الرياضية الحديثة حيث يتم عادةً تحديد دالتين من هذا القبيل.)

في نظرية مجموعات زيرميلو ، يمكن للمرء أن يصمم نظرية النوع المتفرعة لـ PM على النحو التالي. يختار المرء مجموعة ι لتكون نوع الأفراد. على سبيل المثال، قد تكون ι مجموعة الأعداد الطبيعية، أو مجموعة الذرات (في نظرية المجموعات مع الذرات) أو أي مجموعة أخرى يهتم بها المرء. ثم إذا كانت τ ₁ ،...،τ _m أنواعًا، فإن النوع (τ ₁ ،...،τ _m ) هو مجموعة القوى للحاصل τ ₁ ×...×τ _m ، والذي يمكن أيضًا اعتباره بشكل غير رسمي مجموعة الدوال (التنبؤية القياسية) من هذا الحاصل إلى مجموعة مكونة من عنصرين {صواب، خطأ}. يمكن نمذجة النوع المتفرع (τ ₁ ,...,τ _m |σ ₁ ,...,σ _{n ) على أنه حاصل ضرب النوع (τ 1} ,...,τ _m ,σ ₁ ,...,σ _n ) مع مجموعة تسلسلات n من المحددات الكمية (∀ أو ∃) التي تشير إلى المحدد الكمي الذي يجب تطبيقه على كل متغير σ _i . (يمكن للمرء أن يغير هذا قليلاً عن طريق السماح بتحديد كمية σs بأي ترتيب، أو السماح لها بالحدوث قبل بعض τs، ولكن هذا لا يحدث فرقًا كبيرًا باستثناء المحاسبة.)

يحذر مقدمة الطبعة الثانية من:

إن إحدى النقاط التي من الواضح أن التحسين مطلوب بشأنها هي بديهية القابلية للاختزال.... هذه البديهية لها مبرر عملي بحت... ولكن من الواضح أنها ليست النوع من البديهيات التي يمكننا أن نكتفي بها. ومع ذلك، لا يمكن القول في هذا الموضوع أنه لا يزال من الممكن الحصول على حل مرضٍ. لقد سلك الدكتور ليون تشويستيك [نظرية الأنواع البنّاءة] المسار البطولي المتمثل في الاستغناء عن البديهية دون تبني أي بديل؛ ومن الواضح من عمله أن هذا المسار يجبرنا على التضحية بقدر كبير من الرياضيات العادية. هناك مسار آخر أوصى به فيتجنشتاين† (†Tractatus Logico-Philosophicus، *5.54ff) لأسباب فلسفية. وهذا يفترض أن وظائف القضايا هي دائمًا وظائف حقيقة، وأن الوظيفة لا يمكن أن تحدث إلا في قضية من خلال قيمها. (...) [العمل من خلال العواقب] ... لا تزال نظرية الكرادلة الاستقرائية والترتيبية باقية؛ ولكن يبدو أن نظرية ديدكينديان اللانهائية والمتسلسلات المرتبة جيدًا تنهار إلى حد كبير، بحيث لم يعد من الممكن التعامل مع الأعداد غير النسبية، والأعداد الحقيقية عمومًا، بشكل مناسب. كما ينهار دليل كانتور على أن 2n > n ما لم يكن n منتهيًا. ^[13]

قد يكون من الممكن التضحية بسلسلة لا نهائية منظمة جيدًا من أجل الدقة المنطقية، لكن نظرية الأعداد الحقيقية جزء لا يتجزأ من الرياضيات العادية، ولا يمكن أن تكون موضوعًا للشك المعقول. لذلك، يكون من المبرر (على هذا النحو) افتراض أن بعض البديهيات المنطقية التي تكون صحيحة ستبرر ذلك. قد تكون البديهية المطلوبة أكثر تقييدًا من بديهية القابلية للاختزال، ولكن إذا كان الأمر كذلك، فلا يزال يتعين اكتشافها. ^[14]

يلاحظ أحد المؤلفين ^[4] أن "التدوين في هذا العمل قد حل محله التطور اللاحق للمنطق خلال القرن العشرين، إلى الحد الذي يواجه فيه المبتدئ صعوبة في قراءة PM على الإطلاق"؛ في حين يمكن تحويل الكثير من المحتوى الرمزي إلى تدوين حديث، فإن التدوين الأصلي نفسه "موضوع نزاع علمي"، وبعض التدوين "يجسد العقائد المنطقية الجوهرية بحيث لا يمكن استبداله ببساطة بالرمزية المعاصرة". ^[15]

كان كورت جودل ينتقد بشدة الترميز: "ما ينقص، قبل كل شيء، هو بيان دقيق لقواعد النحو في الصيغة. يتم حذف الاعتبارات النحوية حتى في الحالات التي تكون ضرورية فيها لقوة الدلائل." ^[16] ينعكس هذا في المثال أدناه للرموز " p " و" q " و" r " و"⊃" التي يمكن تشكيلها في السلسلة " p ⊃ q ⊃ r ". تتطلب PM تعريفًا لما تعنيه سلسلة الرموز هذه من حيث الرموز الأخرى؛ في المعالجات المعاصرة، كانت "قواعد التكوين" (القواعد النحوية التي تؤدي إلى "صيغ جيدة التكوين") ستمنع تشكيل هذه السلسلة.

مصدر التدوين : يبدأ الفصل الأول "التفسيرات الأولية للأفكار والتدوين" بمصدر الأجزاء الأولية للتدوين (الرموز =⊃≡−ΛVε ونظام النقاط):

"إن التدوين المعتمد في العمل الحالي يعتمد على تدوين بيانو ، والشروحات التالية مبنية إلى حد ما على تلك التي وضعها في مقدمته لـ Formulario Mathematico [أي، بيانو 1889]. وقد تم تبني استخدامه للنقاط كأقواس، وكذلك العديد من رموزه" ( PM 1927:4). ^[17]

قام رئيس الوزراء بتغيير Ɔ في لغة بيانو إلى ⊃، كما تبنى أيضًا بعض رموز بيانو اللاحقة، مثل ℩ وι، وممارسة بيانو في قلب الحروف رأسًا على عقب.

يعتمد رئيس الوزراء علامة التأكيد "⊦" من كتاب Frege's 1879 Begriffsschrift : ^[18]

"يمكن قراءتها على هذا النحو" ^[19]

ومن أجل تأكيد الاقتراح كتب p PM :

"⊦ . ص ." ( PM 1927:92)

(لاحظ أنه كما في الأصل، النقطة اليسرى مربعة وأكبر حجمًا من النقطة اليمنى.)

تم اختراع معظم بقية تدوينات PM بواسطة وايتهايد. ^[20]

تُستخدم نقاط PM ^[21] بطريقة مشابهة للأقواس. تمثل كل نقطة (أو نقاط متعددة) إما قوسًا أيسر أو أيمن أو الرمز المنطقي ∧. تشير أكثر من نقطة إلى "عمق" الأقواس، على سبيل المثال، " . " ، " : " أو " :. "، " :: ". ومع ذلك، لا يُشار إلى موضع القوس الأيمن أو الأيسر المطابق صراحةً في التدوين ولكن يجب استنتاجه من بعض القواعد المعقدة والغامضة في بعض الأحيان. علاوة على ذلك، عندما تمثل النقاط رمزًا منطقيًا ∧، فيجب استنتاج معاملاته اليسرى واليمنى باستخدام قواعد مماثلة. أولاً، يجب على المرء أن يقرر بناءً على السياق ما إذا كانت النقاط تمثل قوسًا أيسر أو أيمن أو رمزًا منطقيًا. ثم يتعين على المرء أن يقرر مدى بُعد القوس المقابل الآخر: هنا يستمر المرء حتى يلتقي إما بعدد أكبر من النقاط، أو نفس عدد النقاط التالية التي لها "قوة" مساوية أو أكبر، أو نهاية السطر. النقاط الموجودة بجوار العلامات ⊃، ≡، ∨، =Df لها قوة أكبر من النقاط الموجودة بجوار ( x )، (∃ x ) وما إلى ذلك، والتي لها قوة أكبر من النقاط التي تشير إلى حاصل ضرب منطقي ∧.

مثال 1. الخط

✱ 3.4 . ⊢ : ص . س . ⊃ . ص ⊃ س

يتوافق مع

⊢ ((ص ​​∧ س) ⊃ (ص ⊃ س)).

تشير النقطتان اللتان تقفان معًا بعد علامة التأكيد مباشرةً إلى أن ما يتم تأكيده هو السطر بأكمله: نظرًا لوجود نقطتين، فإن نطاقهما أكبر من نطاق أي من النقاط المفردة إلى يمينهما. يتم استبدالهما بقوس أيسر يقف حيث توجد النقاط وقوس أيمن في نهاية الصيغة، على النحو التالي:

⊢ (ص . س . ⊃ . ص ⊃ س).

(في الممارسة العملية، عادةً ما يتم إخفاء هذه الأقواس الخارجية، التي تحيط بصيغة كاملة.) تمثل النقطة الأولى من النقاط الفردية، التي تقع بين متغيرين قضائيين، الاقتران. وهي تنتمي إلى المجموعة الثالثة ولها أضيق نطاق. هنا يتم استبدالها بالرمز الحديث للاقتران "∧"، وبالتالي

⊢ (ص ∧ س . ⊃ . ص ⊃ س).

النقطتان المفردتان المتبقيتان تحددان الرابط الرئيسي للصيغة بأكملها. وهما توضحان فائدة تدوين النقاط في تحديد الروابط الأكثر أهمية نسبيًا من تلك التي تحيط بها. يتم استبدال النقطة الموجودة على يسار "⊃" بزوج من الأقواس، وتذهب النقطة اليمنى إلى حيث توجد النقطة وتذهب النقطة اليسرى إلى أقصى اليسار قدر الإمكان دون عبور مجموعة من النقاط ذات القوة الأكبر، في هذه الحالة النقطتان اللتان تلي علامة التأكيد، وبالتالي

⊢ ((ص ​​∧ س) ⊃ . ص ⊃ س)

يتم استبدال النقطة الموجودة على يمين "⊃" بقوس أيسر يذهب إلى حيث توجد النقطة وقوس أيمن يذهب إلى أقصى اليمين قدر الإمكان دون تجاوز النطاق الذي تم تحديده بالفعل من خلال مجموعة من النقاط ذات القوة الأكبر (في هذه الحالة النقطتان اللتان تلي علامة التأكيد). لذا فإن القوس الأيمن الذي يحل محل النقطة الموجودة على يمين "⊃" يوضع أمام القوس الأيمن الذي حل محل النقطتين التاليتين لعلامة التأكيد، وبالتالي

⊢ ((ص ​​∧ س) ⊃ (ص ⊃ س)).

المثال 2، مع النقاط المزدوجة والثلاثية والرباعية:

✱9.521 . ⊢ : : (∃x). φx . ⊃ . q : ⊃ : . (∃x). φx . v . r : ⊃ . qvr

يرمز إلى

((((∃x)(φx)) ⊃ (q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (qvr)))

المثال 3، مع نقطة مزدوجة تشير إلى رمز منطقي (من المجلد 1، الصفحة 10):

ص ⊃ س : س ⊃ ص .⊃. ص ⊃ ص

يرمز إلى

( ص ⊃ س ) ∧ (( س ⊃ ص ) ⊃ ( ص ) )

حيث تمثل النقطة المزدوجة الرمز المنطقي ∧ ويمكن اعتبارها ذات أولوية أعلى كنقطة مفردة غير منطقية.

لاحقًا في القسم ✱14 ، تظهر الأقواس "[ ]"، وفي الأقسام ✱20 وما يليه، تظهر الأقواس "{ }". ليس من الواضح ما إذا كانت هذه الرموز لها معاني محددة أم أنها مجرد توضيح بصري. لسوء الحظ، تُستخدم النقطة المفردة (ولكن أيضًا " : "، " :. "، " :: "، وما إلى ذلك) أيضًا لترمز إلى "المنتج المنطقي" (AND المنطقي المعاصر الذي غالبًا ما يرمز إليه بـ "&" أو "∧").

يُمثَّل الاستدلال المنطقي بـ "Ɔ" الخاص ببيانو المبسط إلى "⊃"، ويُرمَز إلى النفي المنطقي بعلامة التلدة المطولة، أي "~" (المعاصرة "~" أو "¬")، ويُرمَز إلى OR المنطقي بـ "v". ويُستخدم الرمز "=" مع "Df" للإشارة إلى "يُعرَّف بأنه"، بينما في الأقسام ✱13 وما يليها، يُعرَّف "=" بأنه (رياضيًا) "متطابق مع"، أي "المساواة" الرياضية المعاصرة (راجع المناقشة في القسم ✱13 ). ويُمثَّل التكافؤ المنطقي بـ "≡" (المعاصرة "إذا وفقط إذا")؛ وتُكتب الدوال القياسية "الابتدائية" بالطريقة المعتادة، على سبيل المثال، " f ( p )"، ولكن لاحقًا تظهر علامة الدالة مباشرة قبل المتغير بدون أقواس، على سبيل المثال، "φ x "، "χ x "، إلخ.

على سبيل المثال، يقدم رئيس الوزراء تعريف "المنتج المنطقي" على النحو التالي:

✱3.01 . ص . س . = . ~(~ ص ف ~ س ) د ف .

حيث " p.q " هو حاصل الضرب المنطقي لـ p و q .

✱3.02 . ص ⊃ س ⊃ ص . = . ص ⊃ س . س ⊃ ص د ف .

هذا التعريف لا يهدف إلا إلى اختصار البراهين.

ترجمة الصيغ إلى رموز معاصرة : يستخدم العديد من المؤلفين رموزًا بديلة، لذا لا يمكن تقديم ترجمة نهائية. ومع ذلك، نظرًا للانتقادات مثل تلك التي وجهها كورت جودل أدناه، فإن أفضل المعالجات المعاصرة ستكون دقيقة للغاية فيما يتعلق بـ "قواعد التكوين" (النحو) للصيغ.

يمكن تحويل الصيغة الأولى إلى الرمزية الحديثة على النحو التالي: ^[22]

( ص & س ) = _{د ف} (~(~ ص ف ~ س ))

بالتناوب

( ص & س ) = _{د ف} (¬(¬ص ف ¬ س ))

بالتناوب

( ص ∧ س ) = _{د ف} (¬(¬ ص ف ¬ س ))

إلخ.

يمكن تحويل الصيغة الثانية على النحو التالي:

( ص → س → ر ) = _{د ف} ( ص → س ) و ( س → ر )

ولكن لاحظ أن هذا لا يعادل (منطقيًا) ( p → ( q → r )) ولا ( p → q ) → r )، وهذان ليسا متكافئين منطقيًا أيضًا.

تتعلق هذه الأقسام بما يعرف الآن بالمنطق المحمول ، والمنطق المحمول مع الهوية (المساواة).

• ملاحظة: نتيجة للنقد والتقدم، استبدلت الطبعة الثانية من PM (1927) ✱9 بـ ✱8 الجديدة (الملحق أ). يزيل هذا القسم الجديد التمييز بين المتغيرات الحقيقية والظاهرية في الطبعة الأولى، ويزيل "الفكرة البدائية" تأكيد دالة اقتراحية ". ^[23] ولإضافة المزيد من التعقيد إلى المعالجة، يقدم ✱8 مفهوم استبدال "مصفوفة"، وضربة شيفر :

• المصفوفة : في الاستخدام المعاصر، مصفوفة PM هي (على الأقل بالنسبة للوظائف القياسية )، جدول الحقيقة ، أي جميع قيم الحقيقة لوظيفة قياسية أو مسندة .
• ضربة شيفر : هل NAND المنطقي المعاصر (NOT-AND)، أي "عدم التوافق"، يعني:

"في حالة وجود مقترحين p و q ، فإن ' p | q ' تعني أن المقترح p غير متوافق مع المقترح q ، أي إذا تم تقييم المقترحين p و q على أنهما صحيحان، فعندئذٍ وفقط عندئذٍ يتم تقييم p | q على أنه خاطئ." بعد القسم ✱8، لا يتم استخدام ضربة شيفر.

القسم ✱10: "المشغلات" الوجودية والعالمية : يضيف PM "( x )" لتمثيل الرمزية المعاصرة "لكل x " أي "∀ x "، ويستخدم حرف E ذي حروف مائلة للخلف لتمثيل "يوجد x " ، أي "(Ǝx)"، أي "∃x" المعاصر. سيكون التدوين النموذجي مشابهًا لما يلي:

"( x ) . φ x " تعني "بالنسبة لجميع قيم المتغير x ، يتم تقييم الدالة φ على أنها صحيحة"

"(Ǝ x ) . φ x " تعني "بالنسبة لقيمة معينة للمتغير x ، يتم تقييم الدالة φ على أنها صحيحة"

الأقسام ✱10، ✱11، ✱12: خصائص المتغير الممتدة إلى جميع الأفراد : يقدم القسم ✱10 مفهوم "خاصية" "المتغير". يقدم PM المثال: φ هي دالة تشير إلى "أنه يوناني"، وψ تشير إلى "أنه رجل"، وχ تشير إلى "أنه بشر"، ثم تنطبق هذه الدوال على المتغير x . يمكن لـ PM الآن كتابة وتقييم:

( x ) .ψx​​

تعني الصيغة أعلاه "لكل x ، x هو رجل". بالنظر إلى مجموعة من الأفراد، يمكننا تقييم الصيغة أعلاه للصدق أو الزيف. على سبيل المثال، بالنظر إلى المجموعة المحدودة من الأفراد {سقراط، أفلاطون، راسل، زيوس}، يتم تقييم الصيغة أعلاه على أنها "صحيحة" إذا سمحنا بأن يكون زيوس رجلاً. لكنها تفشل في الحالات التالية:

( x ) .φx​​

لأن راسل ليس يونانيًا. وهذا يفشل

( x ) .χx​​

لأن زيوس ليس بشريًا.

باستخدام هذا الترميز، يستطيع PM إنشاء صيغ للتعبير عن الآتي: "إذا كان جميع اليونانيين بشرًا وإذا كان جميع الرجال بشرًا، فإن جميع اليونانيين بشر". ( PM 1962:138)

( x ) . φ x ⊃ ψ x : ( x ) . ψ x ⊃ χ x : ⊃ : ( x ) . φ س ⊃ χ س

مثال آخر: الصيغة:

✱10.01 . (Ǝ x ) . φ x . = . ~( x ) . ~φ x Df .

يعني "يتم تعريف الرموز التي تمثل التأكيد 'يوجد على الأقل x واحد يلبي الدالة φ' من خلال الرموز التي تمثل التأكيد 'ليس صحيحًا أنه، بالنظر إلى جميع قيم x ، لا توجد قيم لـ x تلبي الدالة φ'".

تظهر الرمزيتان ⊃ _x و"≡ _x " في ✱10.02 و✱10.03 . وكلاهما اختصاران للكونية (أي للجميع) التي تربط المتغير x بالمشغل المنطقي. كان من المفترض أن تستخدم التدوينات المعاصرة أقواسًا خارج علامة المساواة ("=") :

✱10.02 φ x ⊃ _x ψ x . = . ( x ) . φ x ⊃ ψ x Df

التدوين المعاصر: ∀ x (φ( x ) → ψ( x )) (أو متغير)

✱10.03 φ x ≡ _x ψ x . = . ( x ) . φ x ≡ ψ x Df

التدوين المعاصر: ∀ x (φ( x ) ↔︎ ψ( x )) (أو متغير)

يعزو رئيس الوزراء الرمزية الأولى إلى بيانو.

يطبق القسم ✱11 هذه الرمزية على متغيرين. وبالتالي، يمكن أن تظهر الرموز التالية: ⊃ _x ، ⊃ _y ، ⊃ _{x، y} في صيغة واحدة.

يعيد القسم ✱12 تقديم مفهوم "المصفوفة" ( جدول الحقيقة المعاصر )، ومفهوم الأنواع المنطقية، وبشكل خاص مفاهيم الوظائف والمقترحات من الدرجة الأولى والثانية .

الرمزية الجديدة "φ ! x " تمثل أي قيمة لدالة من الدرجة الأولى. إذا تم وضع علامة "^" فوق متغير، فهذه قيمة "فردية" لـ y ، مما يعني أن " ŷ " تشير إلى "أفراد" (على سبيل المثال، صف في جدول الحقيقة)؛ هذا التمييز ضروري بسبب الطبيعة المصفوفية/الامتدادية للوظائف القياسية.

الآن، بعد أن تم تزويد PM بمفهوم المصفوفة، يمكنه تأكيد بديهيته المثيرة للجدل حول قابلية الاختزال : دالة مكونة من متغير واحد أو متغيرين (اثنان يكفيان لاستخدام PM ) حيث يتم إعطاء جميع قيمها (أي في مصفوفتها) تعادل (منطقيًا) ("≡") بعض الدوال "التنبؤية" لنفس المتغيرات. يتم تقديم تعريف المتغير الواحد أدناه كتوضيح للترميز ( PM 1962: 166–167):

✱12.1 ⊢ : (Ǝ f ) : φ x . ≡ _س . و ! × ص .

Pp هي "اقتراح بدائي" ("اقتراحات مفترضة بدون إثبات") ( PM 1962:12، أي "المسلمات" المعاصرة)، تضاف إلى السبعة المحددة في القسم ✱1 (تبدأ بـ ✱1.1 modus ponens ). يجب تمييزها عن "الأفكار البدائية" التي تتضمن علامة التأكيد "⊢"، والنفي "~"، وOR المنطقي "V"، ومفاهيم "الاقتراح الأولي" و"الدالة الاقتراحية الأولية"؛ هذه أقرب ما يصل إليه PM من قواعد التكوين التدويني، أي بناء الجملة .

هذا يعني: "نؤكد صحة ما يلي: توجد دالة f لها الخاصية التالية: بالنظر إلى جميع قيم x ، فإن تقييماتها في الدالة φ (أي، مصفوفتها الناتجة) تعادل منطقيًا بعض f المقيمة عند نفس قيم x . (والعكس صحيح، ومن ثم التكافؤ المنطقي)". بعبارة أخرى: بالنظر إلى مصفوفة محددة بالخاصية φ المطبقة على المتغير x ، توجد دالة f ، والتي عند تطبيقها على x تكون معادلة منطقيًا للمصفوفة. أو: يمكن تمثيل كل مصفوفة φ x بواسطة دالة f مطبقة على x ، والعكس صحيح.

✱13: عامل الهوية "=" : هذا تعريف يستخدم العلامة بطريقتين مختلفتين، كما هو موضح في الاقتباس من PM :

✱13.01 . x = y . = : (φ) : φ ! x . ⊃ . φ ! y Df

وسائل:

"ينص هذا التعريف على أن x و y يجب أن نسميهما متطابقين عندما تكون كل دالة تنبؤية تلبيها x تلبيها أيضًا y ... لاحظ أن العلامة الثانية للمساواة في التعريف أعلاه مدمجة مع "Df"، وبالتالي فهي ليست في الواقع نفس رمز علامة المساواة التي تم تعريفها".

تظهر علامة عدم التساوي "≠" كتعريف في ✱13.02 .

✱14: الأوصاف :

" الوصف عبارة عن عبارة من النموذج ""المصطلح y الذي يلبي φ ŷ ، حيث φ ŷ هي دالة يتم تلبيتها بواسطة وسيطة واحدة فقط."" ^[24]

من هذا، يستخدم رئيس الوزراء رمزين جديدين، رمز "E" الأمامي ورمز "℩" المقلوب. وفيما يلي مثال على ذلك:

✱14.02 . E ! ( ℩ y ) (φ y ) . = : ( Ǝ b ) : φ y . ≡ _y . y = b Df .

وهذا له المعنى:

"إن y التي تلبي φ ŷ موجودة،" وهذا ينطبق فقط عندما يتم تلبية φ ŷ بقيمة واحدة من y ولا يتم تلبية أي قيمة أخرى." ( PM 1967:173–174)

ينتقل النص من القسم ✱14 مباشرة إلى الأقسام الأساسية ✱20 النظرية العامة للفئات و ✱21 النظرية العامة للعلاقات . "العلاقات" هي ما يُعرف في نظرية المجموعات المعاصرة بمجموعات الأزواج المرتبة . يقدم القسمان ✱20 و ✱22 العديد من الرموز التي لا تزال قيد الاستخدام المعاصر. تتضمن هذه الرموز "ε" و "⊂" و "∩" و "∪" و "–" و "Λ" و "V": "ε" يدل على "هو عنصر من" ( PM 1962:188)؛ "⊂" ( ✱22.01 ) يدل على "هو موجود في"، "هو مجموعة فرعية من"؛ "∩" ( ✱22.02 ) يدل على تقاطع (الحاصل المنطقي) للفئات (المجموعات)؛ "∪" ( ✱22.03 ) يدل على اتحاد (مجموع منطقي) الفئات (المجموعات)؛ "–" ( ✱22.03 ) يدل على نفي الفئة (المجموعة)؛ "Λ" يدل على الفئة الخالية؛ و"V" يدل على الفئة الشاملة أو عالم الخطاب.

تمثل الحروف اليونانية الصغيرة (بخلاف "ε" و"ι" و"π" و"φ" و"ψ" و"χ" و"θ") الفئات (على سبيل المثال، "α" و"β" و"γ" "، "δ"، وما إلى ذلك) ( م 1962: 188):

x ε α

"إن استخدام حرف واحد بدلاً من الرموز مثل ẑ (φ z ) أو ẑ (φ ! z ) أمر لا غنى عنه عمليًا، وإلا فإن الترميز يصبح مرهقًا بشكل لا يطاق. وبالتالي فإن ' x ε α' يعني أن ' x عضو في الفئة α'". ( PM 1962:188)

α ∪ –α = V

اتحاد المجموعة وعكسها هو المجموعة الشاملة (المكتملة). ^[25]

α ∩ –α = Λ

تقاطع المجموعة مع معكوسها هو المجموعة الفارغة.

عند تطبيقها على العلاقات في القسم ✱23 حساب العلاقات ، تكتسب الرموز "⊂"، و"∩"، و"∪"، و"–" نقطة: على سبيل المثال: "⊍"، "∸". ^[26]

مفهوم "الفئة" (المجموعة) وطريقة ترميزها : في الطبعة الأولى، يؤكد PM أنه لا توجد حاجة إلى أفكار بدائية جديدة لتحديد ما يُقصد بـ "الفئة"، وأن هناك "اقتراحين بدائيين" جديدين فقط يُطلق عليهما بديهيات القابلية للاختزال للفئات والعلاقات على التوالي ( PM 1962:25). ^[27] ولكن قبل أن يتم تعريف هذا المفهوم، يرى PM أنه من الضروري إنشاء ترميز غريب " ẑ (φ z )" يطلق عليه "كائن خيالي". ( PM 1962:188)

⊢ : س ε ẑ (φ z ) . ≡ . (φ س )

"على سبيل المثال، ' x هو عضو في الفئة المحددة بواسطة (φ ẑ )' يعادل [منطقيًا] ' x يلبي (φ ẑ )،' أو '(φ x ) صحيح.'". ( PM 1962:25)

على الأقل يمكن لـ PM أن يخبر القارئ كيف تتصرف هذه الأشياء الخيالية، لأن "الفئة محددة تمامًا عندما تكون عضويتها معروفة، أي أنه لا يمكن أن يكون هناك فئتان مختلفتان لهما نفس العضوية" ( PM 1962:26). يرمز إلى ذلك بالمساواة التالية (على غرار ✱13.01 أعلاه):

ẑ (φ z ) = ẑ (ψ z ) . ≡ : ( x ) : φ x . ≡ . ψ س

"هذه الأخيرة هي السمة المميزة للفئات، وتبرر لنا التعامل مع ẑ (ψ z ) باعتبارها الفئة التي تحددها [الدالة] ψ ẑ ." ( PM 1962:188)

ربما يمكن توضيح ما سبق بشكل أكثر وضوحًا من خلال مناقشة الفئات في مقدمة الطبعة الثانية ، والتي تتخلص من بديهية القابلية للاختزال وتستبدلها بالمفهوم: "جميع وظائف الوظائف قابلة للامتداد" ( PM 1962:xxxix)، أي،

φ x ≡ _x ψ x . ⊃ . ( x ) : ƒ(φ ẑ ) ≡ ƒ(ψ ẑ ) ( PM 1962:xxxix)

هذا له معنى معقول وهو أنه "إذا كانت قيم الحقيقة للدالتين φ وψ لـ x متكافئة [منطقيًا] لجميع قيم x ، فإن الدالة ƒ لـ φ ẑ وƒ لـ ψ ẑ متكافئة [منطقيًا]." يؤكد PM أن هذا "واضح":

"هذا واضح، حيث لا يمكن أن يحدث φ إلا في ƒ(φ ẑ ) عن طريق استبدال قيم φ بـ p وq وr و... في دالة [منطقية]، وإذا كان φ x ≡ ψ x ، فإن استبدال φ x بـ p في دالة [منطقية] يعطي نفس قيمة الحقيقة لدالة الحقيقة مثل استبدال ψ x . وبالتالي لم يعد هناك أي سبب للتمييز بين فئات الدوال، لأنه لدينا، بموجب ما سبق،

φ س ≡ _س ψ س . ⊃ . ( x ) . φ ẑ = . ψ ẑ ".

لاحظ التغيير في علامة المساواة "=" على اليمين. يواصل PM القول إنه سيستمر في التمسك بالترميز " ẑ (φ z )"، ولكن هذا يعادل φ ẑ فقط ، وهذه فئة. (جميع الاقتباسات: PM 1962:xxxix).

وفقًا لكتاب كارناب "الأسس المنطقية للرياضيات"، أراد راسل نظرية يمكن القول بشكل معقول إنها تستمد كل الرياضيات من البديهيات المنطقية البحتة. ومع ذلك، تطلب كتاب مبادئ الرياضيات، بالإضافة إلى البديهيات الأساسية لنظرية النوع، ثلاث بديهيات أخرى بدت غير صحيحة كمسائل منطقية فحسب، وهي بديهية اللانهاية ، وبديهية الاختيار ، وبديهية القابلية للاختزال . نظرًا لأن البديهيتين الأوليين كانتا بديهيتين وجوديتين، فقد صاغ راسل البيانات الرياضية التي تعتمد عليهما كشروط. لكن القابلية للاختزال كانت مطلوبة للتأكد من أن البيانات الرسمية تعبر بشكل صحيح حتى عن بيانات التحليل الحقيقي، بحيث لا يمكن إعادة صياغة البيانات التي تعتمد عليها كشروط. حاول فرانك رامزي أن يجادل بأن تفرع راسل لنظرية الأنواع كان غير ضروري، بحيث يمكن إزالة القابلية للاختزال، لكن هذه الحجج بدت غير حاسمة.

وبعيدًا عن وضع المسلمات كحقائق منطقية ، يمكننا طرح الأسئلة التالية حول أي نظام مثل PM:

• هل يمكن استنتاج تناقض من البديهيات (مسألة التناقض )، و
• هل هناك عبارة رياضية لا يمكن إثباتها أو دحضها في النظام (مسألة الاكتمال ).

كان من المعروف أن المنطق القياسي في حد ذاته متسق، لكن لم يتم إثبات نفس الشيء بالنسبة لمسلمات برينسيبيا لنظرية المجموعات. (انظر مشكلة هيلبرت الثانية .) اشتبه راسل ووايتهيد في أن النظام في PM غير مكتمل: على سبيل المثال، أشارا إلى أنه لا يبدو قويًا بما يكفي لإظهار وجود العدد الأساسي ℵ _ω . ومع ذلك، يمكن للمرء أن يتساءل عما إذا كان بعض الامتدادات القابلة للتكرار البديهية له كاملة ومتسقة.

في عام 1930، أظهرت نظرية اكتمال جودل أن منطق المسند من الدرجة الأولى كان مكتملًا بمعنى أضعف كثيرًا - أي أن أي جملة لا يمكن إثباتها من مجموعة معينة من البديهيات يجب أن تكون في الواقع خاطئة في بعض نماذج البديهيات. ومع ذلك، هذا ليس المعنى الأقوى للاكتمال المطلوب لمبادئ الرياضيات، لأن نظامًا معينًا من البديهيات (مثل تلك الموجودة في مبادئ الرياضيات) قد يكون له العديد من النماذج، في بعضها تكون عبارة معينة صحيحة وفي بعضها الآخر تكون تلك العبارة خاطئة، بحيث تظل العبارة غير محسومة بواسطة البديهيات.

تلقي نظريات عدم الاكتمال لغودل ضوءًا غير متوقع على هذين السؤالين المترابطين.

أظهرت نظرية عدم الاكتمال الأولى لغودل أنه لا يمكن لأي امتداد متكرر لـ Principia أن يكون متسقًا وكاملاً في الوقت نفسه بالنسبة للبيانات الحسابية. (كما ذكرنا أعلاه، كان من المعروف بالفعل أن Principia نفسها غير مكتملة لبعض البيانات غير الحسابية.) وفقًا للنظرية، داخل كل نظام منطقي متكرر قوي بما فيه الكفاية (مثل Principia )، يوجد بيان G ينص في الأساس على "لا يمكن إثبات البيان G ". مثل هذا البيان هو نوع من Catch-22 : إذا كان من الممكن إثبات G ، فهو خاطئ، وبالتالي فإن النظام غير متسق؛ وإذا لم يكن من الممكن إثبات G ، فهو صحيح، وبالتالي فإن النظام غير مكتمل.

تُظهِر نظرية عدم الاكتمال الثانية لغودل (1931) أنه لا يمكن استخدام أي نظام رسمي يمتد عبر الحساب الأساسي لإثبات اتساقه الخاص. وبالتالي، لا يمكن إثبات العبارة "لا توجد تناقضات في نظام المبادئ " في نظام المبادئ إلا إذا كانت هناك تناقضات في النظام (وفي هذه الحالة يمكن إثبات صحتها وخطأها).

بحلول الطبعة الثانية من PM ، قام راسل بإزالة بديهيته الخاصة بالقابلية للاختزال إلى بديهية جديدة (على الرغم من أنه لم يصرح بها على هذا النحو). يصفها جودل 1944:126 بهذه الطريقة:

إن هذا التغيير مرتبط بالمبدأ الجديد الذي ينص على أن الوظائف لا يمكن أن تحدث في القضايا إلا "من خلال قيمها"، أي بشكل امتدادي (...) [وهذا] أمر لا يمكن الاعتراض عليه حتى من وجهة النظر البنّاءة (...) شريطة أن تكون المحددات الكمية مقيدة دائمًا برتب محددة". إن هذا التغيير من موقف شبه قصدي إلى موقف امتدادي كامل يقيد أيضًا منطق المسند إلى الدرجة الثانية، أي وظائف الوظائف: "يمكننا أن نقرر أن الرياضيات يجب أن تقتصر على وظائف الوظائف التي تخضع للافتراض المذكور أعلاه".

—  PM الطبعة الثانية ص 401، الملحق ج

أدى هذا الاقتراح الجديد إلى نتيجة مروعة. "الموقف التوسعي" والتقييد بمنطق المسند من الدرجة الثانية يعني أن الوظيفة القضائية الممتدة لجميع الأفراد مثل "كل "x" زرقاء" يجب أن تسرد الآن جميع "x" التي تلبي (تكون صحيحة في) القضية، وتسردها في اقتران لانهائي محتمل: على سبيل المثال x ₁ ∧ x ₂ ∧ . . . ∧ x _n ∧ . . .. ومن عجيب المفارقات أن هذا التغيير جاء نتيجة لانتقادات من لودفيج فيتجنشتاين في كتابه Tractatus Logico-Philosophicus لعام 1919. كما وصفه راسل في مقدمة الطبعة الثانية من PM :

هناك مسار آخر أوصى به فيتجنشتاين ( Tractatus Logico-Philosophicus ، *5.54ff) لأسباب فلسفية. وهذا يفترض أن وظائف القضايا هي دائمًا وظائف حقيقة، وأن الوظيفة لا يمكن أن تحدث إلا في القضية من خلال قيمها. (...) [بالعمل من خلال العواقب] يبدو أن كل شيء في المجلد الأول يظل صحيحًا (على الرغم من أن هناك حاجة غالبًا إلى أدلة جديدة)؛ ونظرية الأعداد الأساسية والترتيبية الاستقرائية لا تزال قائمة؛ ولكن يبدو أن نظرية الديدكيندية اللانهائية والمتسلسلات المرتبة جيدًا تنهار إلى حد كبير، بحيث لم يعد من الممكن التعامل مع الأعداد غير النسبية، والأعداد الحقيقية عمومًا، بشكل كافٍ. أيضًا ينهار دليل كانتور على أن 2 ⁿ > n ما لم يكن n منتهيًا.

—  أعيد طبع الطبعة الثانية من كتاب رئيس الوزراء عام 1962:xiv، راجع أيضًا الملحق الجديد ج)

بعبارة أخرى، فإن حقيقة أن القائمة اللانهائية لا يمكن تحديدها بشكل واقعي تعني أن مفهوم "العدد" بالمعنى اللانهائي (أي المتصل) لا يمكن وصفه بواسطة النظرية الجديدة المقترحة في الطبعة الثانية من كتاب PM .

في محاضراته حول أسس الرياضيات، كامبريدج 1939، انتقد فيتجنشتاين مبادئ الرياضيات على أسس مختلفة، مثل:

• يزعم هذا الكتاب أنه يكشف عن الأساس الجوهري للحساب. ومع ذلك، فإن ممارساتنا الحسابية اليومية مثل العد هي الأساس؛ فإذا نشأ تناقض مستمر بين العد وكتاب مبادئ الرياضيات ، فسيتم التعامل مع هذا باعتباره دليلاً على وجود خطأ في كتاب مبادئ الرياضيات (على سبيل المثال، أن كتاب مبادئ الرياضيات لم يصف الأرقام أو الجمع بشكل صحيح)، وليس دليلاً على وجود خطأ في العد اليومي.
• لا يمكن استخدام طرق الحساب في كتاب Principia عمليًا إلا مع أعداد صغيرة جدًا. وللحساب باستخدام أعداد كبيرة (مثل المليارات)، ستصبح الصيغ طويلة للغاية، ولابد من استخدام بعض الطرق المختصرة، والتي تعتمد بلا شك على تقنيات يومية مثل العد (أو على طرق غير أساسية وبالتالي مشكوك فيها مثل الاستقراء). لذا فإن كتاب Principia يعتمد مرة أخرى على التقنيات اليومية، وليس العكس.

ومع ذلك، فقد اعترف فيتجنشتاين بأن كتاب المبادئ قد يجعل بعض جوانب الحساب اليومي أكثر وضوحًا.

وقد عرض جودل "مناقشة نقدية ومتعاطفة للنظام المنطقي للأفكار" في مقالته التي كتبها عام 1944 بعنوان "المنطق الرياضي لراسل". ^[28] وكتب:

"إن من المؤسف أن هذا العرض الشامل والدقيق الأول للمنطق الرياضي واستنباط الرياضيات منه يفتقر إلى الدقة الشكلية في الأسس (المضمنة في الفقرات 1-21 من كتاب مبادئ الرياضيات [أي الأقسام 1-5 (المنطق القياسي)، 8-14 (منطق المسندات مع الهوية/المساواة)، 20 (مقدمة إلى نظرية المجموعات)، و 21 (مقدمة إلى نظرية العلاقات)]) مما يجعله في هذا الصدد يمثل خطوة كبيرة إلى الوراء مقارنة بفريج. إن ما ينقصه، قبل كل شيء، هو بيان دقيق لقواعد النحو في الصيغة. إن الاعتبارات النحوية تُغفَل حتى في الحالات التي تكون ضرورية فيها لقوة الإثباتات ... والأمر مشكوك فيه بشكل خاص فيما يتعلق بقاعدة الاستبدال واستبدال الرموز المحددة برموزها المحددة ... إن قاعدة الاستبدال هي التي يجب إثباتها بشكل أساسي. ^[16]

يصف هذا القسم حساب القضايا والمسندات، ويعطي الخصائص الأساسية للفئات والعلاقات والأنواع.

يتناول هذا الجزء مختلف خصائص العلاقات، وخاصة تلك اللازمة للحساب الأساسي.

يغطي هذا تعريف وخصائص الأعداد الأساسية. يُعرَّف الأعداد الأساسية بأنها فئة تكافؤ من الفئات المتشابهة (على عكس ZFC ، حيث يكون الأعداد الأساسية نوعًا خاصًا من ترتيب فون نيومان). كل نوع له مجموعته الخاصة من الأعداد الأساسية المرتبطة به، وهناك قدر كبير من المحاسبة اللازمة لمقارنة الأعداد الأساسية من أنواع مختلفة. يُعرِّف PM الجمع والضرب والرفع للأسس للأعداد الأساسية، ويقارن بين التعريفات المختلفة للأعداد الأساسية المحدودة وغير المحدودة. ✱120.03 هي بديهية اللانهاية.

"الرقم المرتبط" هو فئة تكافؤ للعلاقات المتماثلة. يحدد PM نظائر الجمع والضرب والرفع إلى الأس للعلاقات التعسفية. يشبه الجمع والضرب التعريف المعتاد للجمع والضرب للترتيبات في ZFC، على الرغم من أن تعريف رفع العلاقات إلى الأس في PM ليس معادلاً للتعريف المعتاد المستخدم في ZFC.

يغطي هذا المصطلح السلسلة، وهو مصطلح يستخدمه PM للإشارة إلى ما يسمى الآن بمجموعة مرتبة تمامًا. ويغطي هذا المصطلح على وجه الخصوص السلسلة الكاملة، والدوال المستمرة بين السلاسل باستخدام طوبولوجيا الترتيب (بالرغم من أنهم لا يستخدمون هذا المصطلح بالطبع)، والسلاسل المرتبة جيدًا، والسلاسل التي لا تحتوي على "فجوات" (تلك التي تحتوي على عنصر بين أي عنصرين معينين).

يقوم هذا القسم بإنشاء حلقة الأعداد الصحيحة، وحقول الأعداد النسبية والحقيقية، و"عائلات المتجهات"، والتي ترتبط بما يسمى الآن بالتورسورات على المجموعات الإبيلية.

يقارن هذا القسم النظام في PM بالأسس الرياضية المعتادة لـ ZFC. نظام PM قابل للمقارنة تقريبًا من حيث القوة مع نظرية مجموعة Zermelo (أو بالأحرى نسخة منها حيث تكون بديهية الفصل محدودة بجميع المحددات الكمية).

• إن نظام المنطق القياسي وحساب المسندات في الرياضيات هو في الأساس نفس النظام المستخدم الآن، باستثناء أن التدوين والمصطلحات قد تغيرت.
• الفرق الأكثر وضوحًا بين نظرية المجموعات ونظرية المصفوفات هو أن جميع الكائنات في نظرية المصفوفات تنتمي إلى أحد الأنواع المنفصلة. وهذا يعني أن كل شيء يتم تكراره لكل نوع (لانهائي): على سبيل المثال، كل نوع له ترتيبه الخاص، وكاردينالاته، وأعداده الحقيقية، وما إلى ذلك. وينتج عن هذا الكثير من المحاسبة لربط الأنواع المختلفة ببعضها البعض.
• في ZFC، يتم ترميز الدوال عادةً كمجموعات من الأزواج المرتبة. أما في PM، فتتم معالجة الدوال بطريقة مختلفة إلى حد ما. أولاً وقبل كل شيء، تعني كلمة "دالة" "دالة اقتراحية"، أي شيء يأخذ قيمًا صحيحة أو خاطئة. ثانيًا، لا يتم تحديد الدوال من خلال قيمها: من الممكن أن يكون هناك عدة دوال مختلفة تأخذ جميعها نفس القيم (على سبيل المثال، قد يعتبر المرء 2 x +2 و2( x +1) دوال مختلفة على أساس أن برامج الكمبيوتر لتقييمها مختلفة). الدوال في ZFC المعطاة بواسطة مجموعات من الأزواج المرتبة تتوافق مع ما يسمى PM "المصفوفات"، والدوال الأكثر عمومية في PM يتم ترميزها من خلال التكميم على بعض المتغيرات. على وجه الخصوص، يميز PM بين الدوال المحددة باستخدام التكميم والدوال غير المحددة باستخدام التكميم، في حين لا يميز ZFC بين هذا.
• لا يوجد لدى PM نظير لبديهية الاستبدال ، على الرغم من أن هذا الأمر له أهمية عملية قليلة حيث يتم استخدام هذه البديهية نادرًا في الرياضيات خارج نظرية المجموعات.
• تؤكد نظرية النمذجة الرياضية على العلاقات كمفهوم أساسي، بينما في الممارسة الرياضية الحديثة، يتم التعامل مع الوظائف وليس العلاقات باعتبارها أكثر أهمية؛ على سبيل المثال، تؤكد نظرية الفئات على التشكلات أو الوظائف بدلاً من العلاقات. (ومع ذلك، هناك نظير للفئات يسمى الاستعارات التي تنمذج العلاقات بدلاً من الوظائف، وهي مشابهة تمامًا لنظام النوع في نظرية النمذجة الرياضية).
• في PM، يتم تعريف الكرادلة على أنها فئات من فئات متشابهة، بينما في ZFC الكرادلة هي ترتيبات خاصة. في PM هناك مجموعة مختلفة من الكرادلة لكل نوع مع بعض الآليات المعقدة لنقل الكرادلة بين الأنواع، بينما في ZFC يوجد نوع واحد فقط من الكرادلة. نظرًا لأن PM ليس لديه أي معادل لبديهية الاستبدال، فهو غير قادر على إثبات وجود الكرادلة أكبر من ℵ _ω .
• في PM، يتم التعامل مع الترتيبات كفئات تكافؤ لمجموعات مرتبة جيدًا، وكما هو الحال مع الأعداد الأساسية، توجد مجموعة مختلفة من الترتيبات لكل نوع. في ZFC، توجد مجموعة واحدة فقط من الترتيبات، تُعرف عادةً باسم ترتيبات فون نيومان . إحدى السمات الغريبة في PM هي أنها لا تحتوي على ترتيب يتوافق مع 1، مما يتسبب في العديد من التعقيدات غير الضرورية في نظرياتها. تعريف الأس الترتيبي α ^β في PM ليس معادلاً للتعريف المعتاد في ZFC ولديه بعض الخصائص غير المرغوب فيها إلى حد ما: على سبيل المثال، فهو ليس مستمرًا في β وليس منظمًا جيدًا (لذا فهو ليس ترتيبيًا حتى).
• لقد تم تبسيط إنشاءات الأعداد الصحيحة والأعداد النسبية والأعداد الحقيقية في ZFC بشكل كبير بمرور الوقت منذ الإنشاءات في PM.

باستثناء تصحيح الأخطاء المطبعية، ظل النص الرئيسي لـ PM دون تغيير بين الإصدارين الأول والثاني. وقد أعيد ضبط النص الرئيسي في المجلدين 1 و2، بحيث يشغل عددًا أقل من الصفحات في كل منهما. وفي الإصدار الثاني، لم يُعاد ضبط المجلد 3، حيث أعيد طباعته فوتوغرافيًا بنفس ترقيم الصفحات؛ مع إجراء التصحيحات. ويبلغ العدد الإجمالي للصفحات (باستثناء الصفحات الأخيرة) في الإصدار الأول 1996 صفحة؛ وفي الإصدار الثاني 2000 صفحة. ويحتوي المجلد 1 على خمس إضافات جديدة:

• مقدمة من 54 صفحة كتبها راسل يصف فيها التغييرات التي كانا ليقوما بها لو كان لديهما المزيد من الوقت والطاقة. والتغيير الرئيسي الذي يقترحه هو إزالة البديهية المثيرة للجدال حول قابلية الاختزال، رغم أنه يعترف بأنه لا يعرف بديلاً مرضياً لها. ويبدو أيضاً أكثر ميلاً إلى فكرة تحديد الدالة بقيمها (كما هو معتاد في الممارسة الرياضية الحديثة).
• الملحق أ، المرقم بـ *8، 15 صفحة، حول ضربة شيفر.
• الملحق ب، المرقم بـ *89، يناقش الاستقراء دون بديهية القابلية للاختزال.
• الملحق ج، 8 صفحات، يناقش الوظائف القياسية.
• قائمة تعريفات مكونة من 8 صفحات في النهاية، توفر فهرسًا ضروريًا للغاية لنحو 500 تدوين مستخدم.

في عام 1962، نشرت مطبعة جامعة كامبريدج طبعة مختصرة من الغلاف الورقي تحتوي على أجزاء من الطبعة الثانية للمجلد الأول: المقدمة الجديدة (والقديمة)، والنص الرئيسي حتى الصفحات 56، والملحقين أ وج.

تمت إعادة طباعة الطبعة الأولى في عام 2009 بواسطة Merchant Books، ISBN 978-1-60386-182-3 ، ISBN 978-1-60386-183-0 ، ISBN 978-1-60386-184-7 .    

يقول أندرو د. إيرفين أن PM أثار الاهتمام بالمنطق الرمزي وطور الموضوع من خلال ترويجه؛ فقد أظهر قوى وقدرات المنطق الرمزي؛ وأظهر كيف يمكن للتقدم في فلسفة الرياضيات والمنطق الرمزي أن يسير جنبًا إلى جنب مع ثمار هائلة. ^[4] نشأ PM جزئيًا بسبب الاهتمام بالمنطقية ، وهي النظرة التي تعتبر كل الحقائق الرياضية حقائق منطقية. على الرغم من العيوب، إلا أن PM سيكون مؤثرًا في العديد من التطورات اللاحقة في المنطق الميتافيزيقي، بما في ذلك نظريات عدم اكتمال جودل . ^{[ بحاجة لمصدر ]}

لم يتم اعتماد التدوين المنطقي في PM على نطاق واسع، ربما لأن أسسه غالبًا ما تعتبر شكلاً من أشكال نظرية مجموعة Zermelo-Fraenkel . ^{[ بحاجة لمصدر ]}

إن الاهتمام العلمي والتاريخي والفلسفي بـ PM كبير ومستمر، ويستمر علماء الرياضيات في العمل مع PM ، سواء للسبب التاريخي لفهم النص أو مؤلفيه، أو لمزيد من التبصر في رسميات الرياضيات والمنطق. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

وضعت مكتبة مودرن كتاب PM في المرتبة 23 في قائمتها لأفضل 100 كتاب غير روائي باللغة الإنجليزية في القرن العشرين. ^[5]

• نظرية المجموعة البديهية
• الجبر البولياني
• لغة معالجة المعلومات – أول عرض حسابي للنظريات في مجال معالجة البيانات
• مقدمة في الفلسفة الرياضية

• إندرتون، هربرت ب. (2001) [1972]. مقدمة رياضية للمنطق (الطبعة الثانية). سان دييغو، كاليفورنيا: أكاديميك بريس . رقم ISBN 0-12-238452-0.
• جودل، كورت (1944). "المنطق الرياضي لراسل". في شيلب، بول آرثر (المحرر). فلسفة برتراند راسل . مكتبة الفلاسفة الأحياء. المجلد 5 (الطبعة الأولى). شيكاغو: مطبعة جامعة نورث وسترن . ص 123-153. LCCN  44006786. OCLC  2007378. OL  6467049M.
• جودل، كورت (1990). فيفرمان، سولومون ؛ وآخرون (محررون). الأعمال المجمعة، المجلد الثاني، المنشورات 1938-1974 . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 0-19-503972-6.
• جراتان-جينيس، إيفور (2000). البحث عن الجذور الرياضية 1870-1940 . برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون . رقم ISBN 0-691-05857-1.
• هاردي، جي إتش (2004) [1940]. اعتذار عالم رياضيات . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 978-0-521-42706-7.
• كليين، ستيفن كول (1952). مقدمة في الميتارياضيات (الطبعة السادسة). أمستردام، نيويورك: شركة النشر شمال هولندا . LCCN  53001848. OCLC  9296141.
• ليتل وود، جي إي (1986). بولوباس، بيلا (محرر). مجموعة ليتل وود المتنوعة . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 0-521-33058-0. السيد  0872858.
• فان هيجنورت، جان (1967). من فريج إلى جودل: كتاب مصدري في المنطق الرياضي، 1879-1931 (الطبعة الثالثة). كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة جامعة هارفارد . رقم ISBN 0-674-32449-8.
• ويبر، ميشيل ؛ ديزموند، ويليام الابن، محرران (2008). دليل فكر عملية وايتهايديان، المجلد 1. هوزينشتام: أونتوس فيرلاغ  [ألمانيا] . رقم ISBN 978-3-938793-92-3تم الاسترجاع في 13 سبتمبر 2023 – عبر Academia.edu .
• فيتجنشتاين، لودفيج (2009). الأعمال الرئيسية: كتابات فلسفية مختارة . نيويورك: هاربر كولينز . ​​ISBN 978-0-06-155024-9.

• موسوعة ستانفورد للفلسفة :
  • مبادئ الرياضيات – بقلم AD Irvine
  • التدوين في مبادئ الرياضيات – بقلم برنارد لينسكي.
• الاقتراح ✱54.43 في صيغة أكثر حداثة ( Metamath )