مبادئ الرياضيات

كتاب مبادئ الرياضيات ( PoM ) هو كتاب صدر عام 1903 من تأليفبرتراند راسل، حيث قدم المؤلفمفارقته الشهيرةوجادل بأطروحته القائلة بأن الرياضيات والمنطقمتطابقان. ^{[ 1 ]}

يقدم الكتاب رؤية لأسس الرياضيات والمذهب المينونجي ، وقد أصبح مرجعاً كلاسيكياً. وقد تناول تطورات جوزيبي بيانو ، وماريو بييري ، وريتشارد ديديكيند ، وجورج كانتور ، وغيرهم.

في عام ١٩٠٥، نشر لويس كوتورا ترجمة فرنسية جزئية ^{[ ٢ ]} ساهمت في توسيع قاعدة قراء الكتاب. وفي عام ١٩٣٧، أعدّ راسل مقدمة جديدة جاء فيها: "إن الاهتمام الذي يحظى به الكتاب اليوم هو اهتمام تاريخي، ويكمن في كونه يمثل مرحلة معينة في تطور موضوعه". وصدرت طبعات أخرى في أعوام ١٩٣٨، و١٩٥١، و١٩٩٦، و٢٠٠٩.

يتألف كتاب مبادئ الرياضيات من 59 فصلاً مقسمة إلى سبعة أجزاء: المفاهيم غير القابلة للتعريف في الرياضيات، العدد، الكمية، الترتيب، اللانهاية والاستمرارية، الفضاء، المادة والحركة.

في الفصل الأول، "تعريف الرياضيات البحتة"، يؤكد راسل ما يلي:

إن حقيقة أن جميع الرياضيات هي منطق رمزي هي واحدة من أعظم اكتشافات عصرنا؛ وعندما يتم إثبات هذه الحقيقة، فإن بقية مبادئ الرياضيات تتكون من تحليل المنطق الرمزي نفسه. ^{[ 3 ]}

يُفكك راسل الرياضيات البحتة باستخدام العلاقات ، بافتراضها، وعكسها ، ومكملاتها كمفاهيم أولية . وبدمج حساب العلاقات لدي مورغان وبيرس وشرودر، مع المنطق الرمزي لبيانو، يُحلل الترتيبات باستخدام العلاقات التسلسلية ، ويكتب أن نظريات القياس قد عُممت لتشمل نظرية الترتيب . ويشير إلى أن بيانو ميز بين المصطلح والمجموعة التي تحتويه: علاقة انتماء المجموعة مقابل المجموعة الجزئية . يُستخدم إبسيلون ( ε ) لإظهار انتماء المجموعة، لكن راسل يُشير إلى وجود إشكالية عندما${\displaystyle x\epsilon x.}$ذُكرت مفارقة راسل 15 مرة، ويشرحها الفصل العاشر "التناقض". كان راسل قد كتب سابقًا عن أسس الهندسة، والدلالة، ونسبية المكان والزمان، لذا أُعيد سرد هذه المواضيع. كما ذُكرت الهندسة الإهليلجية وفقًا لكليفورد، ومقياس كايلي-كلاين لتوضيح الهندسة غير الإقليدية . ويُلمح إلى فيزياء النسبية في الجزء الأخير، حيث تتناول الفصول الثلاثة الأخيرة قوانين نيوتن للحركة، والحركة المطلقة والنسبية، وديناميكا هيرتز. مع ذلك، يرفض راسل ما يسميه "النظرية العلائقية"، ويقول في الصفحة 489:

بالنسبة لنا، بما أن المكان والزمان المطلقين قد تم قبولهما، فلا حاجة لتجنب الحركة المطلقة، بل ولا إمكانية للقيام بذلك.

يقول جي إتش هاردي في مراجعته: "إن السيد راسل مؤمن راسخ بالموقع المطلق في المكان والزمان، وهو رأي قديم الطراز في الوقت الحاضر لدرجة أن الفصل [58: الحركة المطلقة والنسبية] سيقرأ باهتمام خاص." ^{[ 4 ]}

أعدّ جي إي مور وتشارلز ساندرز بيرس مراجعات للكتاب ، لكن مراجعة مور لم تُنشر قط ^{[ 5 ]} ، أما مراجعة بيرس فكانت موجزة وناقدة إلى حد ما. وأشار إلى أنه يراه غير أصيل، قائلاً إن الكتاب "بالكاد يُمكن اعتباره أدباً"، و"من يرغب في مدخل مُيسّر للأبحاث الرائعة في منطق الرياضيات التي أُجريت خلال الستين عاماً الماضية [...] سيُحسن صنعاً بقراءة هذا الكتاب." ^{[ 6 ]}

كتب جي إتش هاردي مراجعة إيجابية ^{[ 4 ]} متوقعًا أن يجذب الكتاب الفلاسفة أكثر من علماء الرياضيات. لكنه يقول:

على الرغم من أن الكتاب يتألف من خمسمائة صفحة، إلا أنه قصير للغاية. فقد تم اختصار العديد من الفصول التي تتناول مسائل مهمة في خمس أو ست صفحات فقط، وفي بعض المواضع، وخاصة في الأجزاء الأكثر إثارة للجدل، يصبح الطرح مكثفًا لدرجة يصعب معها متابعته. وسيجد الفيلسوف الذي يحاول قراءة الكتاب نفسه في حيرة شديدة إزاء الافتراض المستمر لنظام فلسفي كامل يختلف تمامًا عن أي من الأنظمة الفلسفية المتعارف عليها.

في عام ١٩٠٤، نُشرت مراجعة أخرى في نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية (١١(٢): ٧٤-٩٣) بقلم إدوين بيدويل ويلسون . يقول ويلسون: "إن حساسية المسألة بالغة لدرجة أن أعظم علماء الرياضيات والفلاسفة في عصرنا قد ارتكبوا ما يبدو أنه أخطاء جسيمة في التقدير، وأظهروا في بعض الأحيان جهلاً مذهلاً بجوهر المشكلة التي كانوا يناقشونها... وكثيراً ما كان ذلك نتيجة تجاهل لا يُغتفر للعمل الذي أنجزه آخرون بالفعل". يروي ويلسون التطورات التي توصل إليها بيانو والتي أوردها راسل، وينتهز الفرصة لتصحيح هنري بوانكاريه الذي نسبها إلى ديفيد هيلبرت . وفي مدحه لراسل، يقول ويلسون: "لا شك أن هذا العمل الحالي شاهد على الصبر والمثابرة والإتقان". (صفحة ٨٨)

في عام ١٩٣٨، أُعيد إصدار الكتاب بمقدمة جديدة بقلم راسل. فُسِّرت هذه المقدمة على أنها تراجع عن واقعية الطبعة الأولى وتوجه نحو فلسفة الاسمية في المنطق الرمزي . جيمس فيبلمان ، أحد مُعجبي الكتاب، رأى أن مقدمة راسل الجديدة قد بالغت في النزعة الاسمية، فكتب ردًا عليها. ^{[ ٧ ]} يقول فيبلمان: "إنها أول دراسة شاملة في المنطق الرمزي تُكتب باللغة الإنجليزية؛ وهي تُعطي هذا النظام المنطقي تفسيرًا واقعيًا".

في عام 1959 كتب راسل كتاب "تطوري الفلسفي" ، والذي استذكر فيه الدافع وراء كتابة كتاب "المبادئ" :

في المؤتمر الدولي للفلسفة في باريس عام ١٩٠٠، أدركتُ أهمية الإصلاح المنطقي لفلسفة الرياضيات. ... لقد أُعجبتُ بحقيقة أن [بيانو] أظهر في كل نقاش دقةً وصرامةً منطقيةً تفوق ما أظهره أي شخص آخر. ... كانت [أعمال بيانو] هي التي أعطت زخمًا لآرائي الخاصة حول مبادئ الرياضيات. ^{[ ٨ ]}

وبالنظر إلى الكتاب باعتباره عمله الأخير، يقدم هذا التقييم:

تبين أن كتاب "مبادئ الرياضيات" ، الذي انتهيت من تأليفه في 23 مايو 1902، كان مسودة أولية وغير ناضجة إلى حد ما للعمل اللاحق [ Principia Mathematica ] ، والذي اختلف عنه مع ذلك في احتوائه على جدل مع فلسفات أخرى في الرياضيات. ^{[ 9 ]}

إن هذا التواضع من جانب المؤلف بعد نصف قرن من التطور الفلسفي أمرٌ مفهوم. من جهة أخرى، كتب جول فيليمين عام ١٩٦٨:

أسست مبادئ الفلسفة المعاصرة. وقد حظيت أعمال أخرى بهذا اللقب ثم فقدته، لكن الأمر مختلف مع هذا الكتاب. فهو جاد، وقيمته باقية. علاوة على ذلك، وبالنظر إليه، سواء عن قصد أو غير قصد، فإنه يكتسب مكانة مرموقة اليوم في نظر كل من يؤمن بأن العلم المعاصر قد غيّر فهمنا للكون، ومن خلال هذا الفهم، علاقتنا بأنفسنا وبالآخرين. ^{[ 10 ]}

علاوة على ذلك، وفي نفس التأمل، يروي راسل أيضاً المكانة الفريدة التي احتلتها كتابة الكتاب في حياته الفكرية. ويتذكر:

أنهيتُ المسودة الأولى لكتاب "مبادئ الرياضيات" في آخر يوم من القرن التاسع عشر، أي في 31 ديسمبر 1900. كانت الأشهر التي تلت شهر يوليو السابق بمثابة شهر عسل فكري لم أختبر مثله من قبل أو من بعد. كنتُ أجد نفسي كل يوم أفهم شيئًا لم أكن أفهمه في اليوم السابق. ظننتُ أن جميع الصعوبات قد حُلّت وأن جميع المشاكل قد انتهت. ^{[ 11 ]}

عندما كتب دبليو في أو كوين سيرته الذاتية، كتب: ^{[ 12 ]}

أحدثت رموز بيانو ثورة في عالم راسل عام ١٩٠٠، لكن كتابه "مبادئ الموسيقى " ظلّ مكتوبًا بأسلوب نثري جاف. أُعجبتُ بعمقه [عام ١٩٢٨]، وحيرني غموضه المتكرر. كان جزء من صعوبة قراءته يعود إلى صعوبة اللغة العادية مقارنةً بمرونة نظام تدوين موسيقي صُمم خصيصًا لهذه الألحان المعقدة. وعندما أعدت قراءته بعد سنوات، اكتشفتُ أن صعوبته كانت أيضًا لأن الأمور لم تكن واضحة في ذهن راسل نفسه في تلك الأيام الرائدة.

كان كتاب "المبادئ" تعبيرًا مبكرًا عن الفلسفة التحليلية ، ولذا فقد خضع لدراسة متأنية. ^{[ 13 ]} كتب بيتر هيلتون: "يتميز الكتاب بجو من الإثارة والابتكار... السمة البارزة لكتاب "المبادئ" هي... الطريقة التي يُدمج بها العمل التقني في الحجة الميتافيزيقية." ^{[ 13 ] : 168}

أجرى إيفور غراتان-غينيس دراسة معمقة لكتاب "المبادئ" . فنشر أولًا كتاب "عزيزي راسل - عزيزي جوردان" (1977)، ^{[ 14 ]} والذي تضمن مراسلات مع فيليب جوردان الذي روّج لبعض أفكار الكتاب. ثم في عام 2000، نشر غراتان-غينيس كتاب " البحث عن الجذور الرياضية 1870-1940" ، الذي تناول فيه ظروف المؤلف، وتكوين الكتاب، ونقاط ضعفه. ^{[ 15 ]}

في عام 2006، شكك فيليب إيرليخ في صحة تحليل راسل للمتناهيات في الصغر في تقليد لايبنتز. ^{[ 16 ]} وتوثق دراسة حديثة المغالطات المنطقية في نقد راسل للمتناهيات في الصغر عند غوتفريد لايبنتز وهيرمان كوهين . ^{[ 17 ]}

• مقدمة في الفلسفة الرياضية
• التغيير الرسلي

• ستيفان أندرسون (1994). في البحث عن اليقين: بحث برتراند راسل عن اليقين في الدين والرياضيات حتى كتاب مبادئ الرياضيات. ستوكهولم: ألمكويست وويكسيل. ISBN 91-22-01607-4.

• مبادئ الرياضيات – نسخ نصية كاملة مجانية قابلة للبحث بصيغ PDF وePub وHTML
• مبادئ الرياضيات – نص إلكتروني (نسخة ممسوحة ضوئيًا من الأصل) على موقع fair-use.org
• مبادئ الرياضيات – النص الكامل متاح في أرشيف الإنترنت
• مبادئ الرياضيات في PhilPapers