التحليل الترتيبي

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 376 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية البرهان ، يُخصص التحليل الترتيبي أعدادًا ترتيبية (غالبًا أعدادًا ترتيبية كبيرة قابلة للعد ) للنظريات الرياضية كمقياس لقوتها. إذا كانت النظريتان تمتلكان نفس العدد الترتيبي في نظرية البرهان، فإنهما غالبًا ما تكونان متسقتين بالتساوي ، وإذا كانت إحدى النظريات تمتلك عددًا ترتيبيًا أكبر في نظرية البرهان من الأخرى، فإنه غالبًا ما يُمكن أن يُثبت اتساق النظرية الثانية.

بالإضافة إلى الحصول على الترتيب البرهاني لنظرية ما، فإن التحليل الترتيبي في الممارسة العملية عادةً ما يُنتج أيضًا معلومات أخرى متنوعة حول النظرية التي يتم تحليلها، على سبيل المثال توصيفات فئات التكرارية القابلة للإثبات، أو الحسابية الفائقة ، أوΔ21{\displaystyle \Delta _{2}^{1}}وظائف النظرية. [ 1 ]

تاريخ

تأسس مجال التحليل الترتيبي عندما استخدم جيرهارد جنتزن في عام 1934 طريقة حذف القطع لإثبات، بعبارات حديثة، أن الترتيب البرهاني لحساب بيانو هو ε 0. انظر برهان جنتزن على الاتساق .

تعريف

يهتم التحليل الترتيبي بالنظريات الصحيحة والفعالة (التكرارية) التي يمكنها تفسير جزء كافٍ من الحساب لتقديم بيانات حول الرموز الترتيبية .

الترتيب البرهاني لنظرية كهذهتي{\displaystyle T}هو الحد الأعلى لأنواع الترتيب لجميع الرموز الترتيبية ( التكرارية بالضرورة ، انظر القسم التالي) التي يمكن للنظرية إثبات صحتها - الحد الأعلى لجميع الأعداد الترتيبيةα{\displaystyle \alpha }والتي يوجد لها رمزo{\displaystyle o}بمعنى كلين بحيثتي{\displaystyle T}يثبت ذلكo{\displaystyle o}هو رمز ترتيبي. وبصورة مكافئة، هو القيمة العليا لجميع الأعداد الترتيبيةα{\displaystyle \alpha }بحيث توجد علاقة تكراريةR{\displaystyle R}علىω{\displaystyle \omega }(مجموعة الأعداد الطبيعية ) التي ترتبها ترتيبًا جيدًا بالترتيبα{\displaystyle \alpha }ومثل ذلكتي{\displaystyle T}يثبت الاستقراء المتسامي للعبارات الحسابية لـR{\displaystyle R}.

الترميز الترتيبي

تفتقر بعض النظريات، مثل الأنظمة الفرعية للحساب من الرتبة الثانية (Z² ) ، إلى أي تصور أو طريقة لتقديم حجج حول الأعداد الترتيبية المتسامية. على سبيل المثال، لتحديد ما يعنيه ذلك بالنسبة لنظام فرعي.تي{\displaystyle T}من Z 2 إلى "إثباتα{\displaystyle \alpha }بدلاً من "مرتبة جيداً"، نقوم بإنشاء تدوين ترتيبي.(أ،<~){\displaystyle (A,{\tilde {<}})}مع نوع الطلبα{\displaystyle \alpha }.تي{\displaystyle T}يمكن الآن العمل مع مبادئ الاستقراء المتسامي المختلفة على طول(أ،<~){\displaystyle (A,{\tilde {<}})}والتي تحل محل التفكير في الترتيبات النظرية للمجموعات.

مع ذلك، توجد بعض أنظمة التدوين الشاذة التي يصعب التعامل معها بشكل غير متوقع. على سبيل المثال، يقدم راثجن نظام تدوين بدائي تكراري(شمال،<تي){\displaystyle (\mathbb {N} ,<_{T})}يكون ذلك صحيحًا إذا وفقط إذا كان تحليل الأداء متسقًا، [ 2 ] ص  3 على الرغم من وجود نوع الطلبω{\displaystyle \omega }إن تضمين مثل هذه الرموز في التحليل الترتيبي لـ PA سيؤدي إلى مساواة زائفةPتييا(Pأ)=ω{\displaystyle {\mathsf {PTO(PA)}}=\omega }.

الحد الأعلى

بما أن الترميز الترتيبي يجب أن يكون تكراريًا، فإن الترتيب البرهاني لأي نظرية يكون أقل من أو يساوي ترتيب تشرش-كلين.ω1جك{\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}على وجه الخصوص، فإن الترتيب البرهاني لنظرية غير متسقة يساويω1جك{\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}، لأن النظرية غير المتسقة تثبت بشكل بديهي أن جميع الرموز الترتيبية لها أساس متين.

بالنسبة لأي نظرية تكون من كلا الجانبينΣ11{\displaystyle \سيجما _{1}^{1}}-قابلة للتأويل البديهي وΠ11{\displaystyle \Pi _{1}^{1}}-صوت، إن وجود ترتيب متكرر تفشل النظرية في إثبات أنه جيد الترتيب يتبع منΣ11{\displaystyle \سيجما _{1}^{1}}نظرية التقييد، وقيل إن الترميزات الترتيبية المثبتة بشكل جيد هي في الواقع مثبتة بشكل جيد بواسطةΠ11{\displaystyle \Pi _{1}^{1}}-السلامة. وبالتالي فإن الترتيب البرهاني لـ أΠ11{\displaystyle \Pi _{1}^{1}}- نظرية صوتية لهاΣ11{\displaystyle \سيجما _{1}^{1}}ستكون عملية وضع البديهيات دائمًا ترتيبية متكررة (قابلة للعد) ، أي أقل منω1جك{\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}[ 2 ] النظرية 2.21

أمثلة

النظريات ذات الترتيب الإثباتي ω

  • Q، حساب روبنسون (على الرغم من أن تعريف الترتيب الإثباتي لمثل هذه النظريات الضعيفة يجب تعديله) .
  • PA – ، نظرية الرتبة الأولى للجزء غير السالب من حلقة مرتبة بشكل منفصل .

النظريات ذات الترتيب الإثباتي ω 2

  • RFA، الحساب الوظيفي الأساسي . [ 3 ]
  • IΔ 0 ، الحساب مع الاستقراء على Δ 0 -المسندات بدون أي بديهية تؤكد أن الأسية كاملة.

النظريات ذات الترتيب الإثباتي ω 3

تشير فرضية فريدمان الكبرى إلى أنه يمكن إثبات الكثير من الرياضيات "العادية" في الأنظمة الضعيفة التي يكون هذا هو ترتيبها النظري للإثبات.

النظريات ذات الترتيب الإثباتي ω n (لـ n = 2، 3، ... ω)

  • IΔ 0 أو EFA معززة ببديهية تضمن أن كل عنصر من المستوى nهـن{\displaystyle {\mathcal {E}}^{n}}التسلسل الهرمي لـ Grzegorczyk كامل.

النظريات ذات الترتيب الإثباتي ω ω

النظريات ذات الترتيب الإثباتي ε 0

النظريات ذات الترتيب البرهاني، الترتيب فيفرمان-شوت Γ 0

يُعتبر هذا الترتيب أحيانًا الحد الأعلى للنظريات "التنبؤية".

النظريات ذات الترتيب البرهاني، ترتيب باخمان-هوارد

تُعدّ نظريات مجموعات كريپكي-بلاتيك أو CZF نظريات مجموعات ضعيفة لا تحتوي على بديهيات لمجموعة القوى الكاملة المعطاة كمجموعة جميع المجموعات الجزئية. وبدلاً من ذلك، تميل هذه النظريات إما إلى امتلاك بديهيات الفصل المقيد وتكوين مجموعات جديدة، أو أنها تُقرّ بوجود فضاءات دوال معينة (الأسية) بدلاً من استنباطها من علاقات أكبر.

النظريات ذات الترتيبات البرهانية الأكبر

مشكلة لم تُحل في الرياضيات
ما هو الترتيب البرهاني للحساب الكامل من الدرجة الثانية؟ [ 4 ]
المزيد من المسائل غير المحلولة في الرياضيات
  • Π11-جأ0{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mbox{-}}{\mathsf {CA}}_{0}}إنّ فهم Π 1 1 له ترتيبٌ كبيرٌ نسبيًا في نظرية البرهان، وقد وصفه تاكيوتي بدلالة "مخططات الترتيب" [ 5 ]، ص  13 ، وهو محدودٌ بـ ψ 0 ( Ω ω ) في تدوين بوخهولز . وهو أيضًا ترتيب ID ω ، نظرية التعريفات الاستقرائية ذات التكرار المحدود. وهو أيضًا ترتيب MLW، نظرية مارتن-لوف للأنواع مع أنواع W المفهرسة، سيتزر (2004) .
  • ID ω ، نظرية التعريفات الاستقرائية المتكررة ω . ترتيبها البرهاني يساوي ترتيب تاكيوتي-فيفيرمان-بوخهولز .
  • T 0 ، يمتلك نظام فيفرمان البنائي للرياضيات الصريحة ترتيبًا أكبر في نظرية البرهان، وهو أيضًا الترتيب في نظرية البرهان لنظرية مجموعات كريپكي-بلاتيك KPi ذات المقبولات المتكررة وΣ21-أج+بأنا{\displaystyle \Sigma _{2}^{1}{\mbox{-}}{\mathsf {AC}}+{\mathsf {BI}}}.
  • KPi، وهو امتداد لنظرية مجموعات كريپكي-بلاتيك يعتمد على ترتيب غير قابل للوصول إليه بشكل متكرر ، لديه ترتيب كبير جدًا في نظرية البرهانψ(εأنا+1){\displaystyle \psi (\varepsilon _{I+1})}وُصِفَ هذا الترتيب في ورقة بحثية لـ Jäger و Pohlers عام 1983، حيث I هو أصغر عدد غير قابل للوصول. [ 6 ] هذا الترتيب هو أيضًا الترتيب البرهاني لـΔ21-جأ+بأنا{\displaystyle \Delta _{2}^{1}{\mbox{-}}{\mathsf {CA}}+{\mathsf {BI}}}.
  • KPM، وهو امتداد لنظرية مجموعة Kripke–Platek القائمة على ترتيب Mahlo المتكرر ، لديه ترتيب θ كبير جدًا من الناحية النظرية للإثبات، والذي وصفه Rathjen (1990) .
  • TTM، وهو امتداد لنظرية مارتن-لوف النوعية بواسطة كون ماهلو واحد، لديه ترتيبية برهان أكبرψΩ1(Ωم+ω){\displaystyle \psi _{\Omega _{1}}(\Omega _{M+\omega })}.
  • كP+Π3-Rهـو{\displaystyle {\mathsf {KP}}+\Pi _{3}-Ref}له ترتيب نظري للإثبات يساويΨ(εك+1){\displaystyle \Psi (\varepsilon _{K+1})}، أينك{\displaystyle K}يشير إلى أول مجموعة ضعيفة التراص، وذلك بسبب (راثجين 1993)
  • كP+Πω-Rهـو{\displaystyle {\mathsf {KP}}+\Pi _{\omega }-Ref}له ترتيب نظري للإثبات يساويΨXεΞ+1{\displaystyle \Psi _{X}^{\varepsilon _{\Xi +1}}}، أينΞ{\displaystyle \Xi }يشير إلى الأولΠ02{\displaystyle \Pi _{0}^{2}}لا يمكن وصفه وX=(ω+؛P0؛ϵ،ϵ،0){\displaystyle \mathbb {X} =(\omega ^{+};P_{0};\epsilon ,\epsilon ,0)}، بسبب (Stegert 2010).
  • Sتأبأنالأناتy{\displaystyle {\mathsf {الاستقرار}}}له ترتيب نظري للإثبات يساويΨXεΥ+1{\displaystyle \Psi _{\mathbb {X} }^{\varepsilon _{\Upsilon +1}}}أينΥ{\displaystyle \Upsilon }هو نظير أصلي لأصغر ترتيبيα{\displaystyle \alpha }وهو(α+β){\displaystyle (\alpha +\beta )}مستقر للجميعβ<α{\displaystyle \beta <\alpha } وX=(ω+؛P0؛ϵ،ϵ،0){\displaystyle \mathbb {X} =(\omega ^{+};P_{0};\epsilon ,\epsilon ,0)}، بسبب (Stegert 2010).

معظم النظريات القادرة على وصف مجموعة قوى الأعداد الطبيعية تحتوي على أعداد ترتيبية في نظرية البرهان كبيرة جدًا لدرجة أنه لم يتم تقديم أي وصف توافقي صريح لها حتى الآن. وهذا يشملΠ21-جأ0{\displaystyle \Pi _{2}^{1}-CA_{0}}، الحساب من الدرجة الثانية الكامل (Π∞1-جأ0{\displaystyle \Pi _{\infty }^{1}-CA_{0}}) ونظريات المجموعات ذات مجموعات القوى بما في ذلك ZF وZFC. [ 7 ] قوة ZF الحدسية (IZF) تساوي قوة ZF.

جدول التحليلات الترتيبية

جدول الترتيبات البرهانية
ترتيبيالحساب من الدرجة الأولىالحساب من الدرجة الثانيةنظرية مجموعات كريپكي-بلاتيكنظرية الأنواعنظرية المجموعات البنائيةالرياضيات الصريحة
ω{\displaystyle \omega }سؤال{\displaystyle {\mathsf {Q}}}،Pأ-{\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}
ω2{\displaystyle \omega ^{2}}RFأ{\displaystyle {\mathsf {RFA}}}،أناΔ0{\displaystyle {\mathsf {I\Delta }}_{0}}
ω3{\displaystyle \omega ^{3}}هـFأ{\displaystyle {\mathsf {EFA}}}،أناΔ0+{\displaystyle {\mathsf {I\Delta }}_{0}^{\mathsf {+}}}،بΣ1{\displaystyle {\mathsf {B}}\Sigma _{1}}[ 8 ] النظرية 4.1Rجأ0*{\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}^{*}}،دبليوكل0*{\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}^{*}}
ωن{\displaystyle \omega ^{n}}هـFأن{\displaystyle {\mathsf {EFA}}^{\mathsf {n}}}،أناΔ0ن+{\displaystyle {\mathsf {I\Delta }}_{0}^{\mathsf {n+}}}
ωω{\displaystyle \omega ^{\omega }}PRأ{\displaystyle {\mathsf {PRA}}}،أناΣ1{\displaystyle {\mathsf {I\Sigma }}_{1}}[ 9 ] ص 13Rجأ0{\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}}[ 9 ] ص 13،دبليوكل0{\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}}[ 9 ] ص 13جPRج{\displaystyle {\mathsf {CPRC}}}
ωωω{\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}}أناΣ2{\displaystyle {\mathsf {I}}\Sigma _{2}}[ 9 ] ص 13
ωωωω{\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}}}أناΣ3{\displaystyle {\mathsf {I}}\Sigma _{3}}[ 10 ] [ 9 ] ص 13Rجأ0+(Π20)--أناشمالد{\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}+(\Pi _{2}^{0})^{-}{\mathsf {-IND}}}[ 11 ] : 40
ω↑ ↑(ن+1){\displaystyle \omega \uparrow \uparrow (n+1)}أناΣن{\displaystyle {\mathsf {I}}\Sigma _{n}}[ 9 ] ص 13
ε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}Pأ{\displaystyle {\mathsf {PA}}}[ 9 ] ص 13أجأ0{\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}}[ 9 ] ص 13،Σ11-أج0{\displaystyle {\mathsf {\Sigma }}_{1}^{1}{\mathsf {-AC}}_{0}}[ 9 ] ص 13،R-هـΩ^{\displaystyle {\text{R-}}{\widehat {\mathbf {E} {\boldsymbol {\Omega }}}}}[ 12 ] ص 8،Rجأ{\displaystyle {\mathsf {RCA}}}[ 13 ] ص 148،دبليوكل{\displaystyle {\mathsf {WKL}}}[ 13 ] ص 148،Δ11-جأ0{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}}[ 14 ]كPuر{\displaystyle \mathrm {KPu} ^{r}}[ 15 ] ص 869هـم0{\displaystyle {\mathsf {EM}}_{0}}
εω{\displaystyle \varepsilon _{\omega }}أجأ0+أناRتي{\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}+{\mathsf {iRT}}}, [ 16 ]Rجأ0+∀Y∀ن∃X(تي جيه(ن،X،Y)){\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}+\forall Y\forall n\exists X({\textrm {TJ}}(n,X,Y))}[ 17 ] : 8
εε0{\displaystyle \varepsilon _{\varepsilon _{0}}}أجأ{\displaystyle {\mathsf {ACA}}}[ 18 ] ص 959
ζ0{\displaystyle \zeta _{0}}أجأ0+∀X∃Y(تي جيه(ω،X،Y)){\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}+\forall X\exists Y({\textrm {TJ}}(\omega ,X,Y))}, [ 19 ] [ 17 ]ص1(أجأ0){\displaystyle {\mathsf {p}}_{1}({\mathsf {ACA}}_{0})}, [ 20 ] : 7RFشمال0{\displaystyle {\mathsf {RFN}}_{0}}[ 19 ] ص 17،أجأ0+(بR){\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}+({\mathsf {BR}})}[ 19 ] ص 5
φ(2،ε0){\displaystyle \varphi (2,\varepsilon _{0})}RFشمال{\displaystyle {\mathsf {RFN}}}،أجأ+∀X∃Y(تي جيه(ω،X،Y)){\displaystyle {\mathsf {ACA}}+\forall X\exists Y({\textrm {TJ}}(\omega ,X,Y))}[ 19 ] ص 52
φ(ω،0){\displaystyle \varphi (\omega ,0)}أناد18{\displaystyle {\mathsf {ID}}_{1}\#}،تيأناد0{\displaystyle {\mathsf {TID}}_{0}}[ 21 ] ص 137Δ11-جR{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{1}^{1}{\mathsf {-CR}}}،Σ11-دج0{\displaystyle \Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-DC}}_{0}}[ 22 ]هـم0+جR{\displaystyle {\mathsf {EM}}_{0}{\mathsf {+JR}}}
φ(ε0،0){\displaystyle \varphi (\varepsilon _{0},0)}أناد^1{\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}}_{1}}،كFل{\displaystyle {\mathsf {KFL}}}[ 23 ] ص 17،كF{\displaystyle {\mathsf {KF}}}[ 23 ] ص 17Δ11-جأ{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{1}^{1}{\mathsf {-CA}}}[ 24 ] ص 140،Σ11-أج{\displaystyle {\mathsf {\Sigma }}_{1}^{1}{\mathsf {-AC}}}[ 24 ] ص 140،Σ11-دج{\displaystyle {\mathsf {\Sigma }}_{1}^{1}{\mathsf {-DC}}}[ 24 ] ص 140،دبليو-هـΩ^{\displaystyle {\text{W-}}{\widehat {\mathbf {E} {\boldsymbol {\Omega }}}}}[ 12 ] ص 8كPuر+(أناشمالدشمال){\displaystyle \mathrm {KPu} ^{r}+(\mathrm {IND} _{N})}[ 15 ] ص 870مل1{\displaystyle {\mathsf {ML}}_{1}}هـم0+ج{\displaystyle {\mathsf {EM}}_{0}{\mathsf {+J}}}
φ(εε0،0){\displaystyle \varphi (\varepsilon _{\varepsilon _{0}},0)}هـΩ^{\displaystyle {\widehat {\mathbf {E} {\boldsymbol {\Omega }}}}}[ 12 ] ص 27،هـأناد^1{\displaystyle {\widehat {\mathbf {EID} }}_{\boldsymbol {1}}}[ 12 ] ص 27
φ(φ(ω،0)،0){\displaystyle \varphi (\varphi (\omega ,0),0)}PRSω{\displaystyle \mathrm {PRS} \omega }[ 25 ] ص 9
φ(<Ω،0){\displaystyle \varphi ({\mathsf {<}}\Omega ,0)}أuت(أناد8){\displaystyle {\mathsf {Aut(ID\#)}}}
Γ0{\displaystyle \Gamma _{0}}أناد^<ω{\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}}_{<\omega }}, [ 26 ]يو(Pأ){\displaystyle {\mathsf {U(PA)}}}،كFل*{\displaystyle \mathbf {KFL} ^{*}}[ 23 ] ص 22،كF*{\displaystyle \mathbf {KF} ^{*}}[ 23 ] ص 22،يو(شمالFأ){\displaystyle {\mathcal {U}}(\mathrm {NFA} )}, [ 27 ]تيأناد0+{\displaystyle {\mathsf {TID}}_{0}^{+}}[ 21 ] ص 137أتيR0{\displaystyle {\mathsf {ATR}}_{0}}،Δ11-جأ+بR{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{1}^{1}{\mathsf {-CA+BR}}}،Δ11-جأ0+(Sيوب){\displaystyle \Delta _{1}^{1}\mathrm {-CA} _{0}+\mathrm {(SUB)} }, [ 28 ]FP0{\displaystyle \mathrm {FP} _{0}}[ 29 ] ص 26كPأنا0{\displaystyle {\mathsf {KPi}}^{0}}[ 15 ] ص 878،كPu0+(بR){\displaystyle {\mathsf {KPu}}^{0}+(\mathrm {BR} )}[ 15 ] ص 878مل<ω{\displaystyle {\mathsf {ML}}_{<\omega }}،مليو{\displaystyle {\mathsf {MLU}}}
Γωω{\displaystyle \Gamma _{\omega ^{\omega }}}كPأنا0+(Σ1-أناω){\displaystyle {\mathsf {KPI}}^{0}+({\mathsf {\Sigma _{1}-I}}_{\omega })}[ 30 ] ص 13
Γε0{\displaystyle \Gamma _{\varepsilon _{0}}}أناد^ω{\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}}_{\omega }}أتيR{\displaystyle {\mathsf {ATR}}}[ 31 ]كPأنا0+F-أناω{\displaystyle {\mathsf {KPI}}^{0}{\mathsf {+F-I}}_{\omega }}
φ(1،ω،0){\displaystyle \varphi (1,\omega ,0)}أناد^<ωω{\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}}_{<\omega ^{\omega }}}أتيR0+(Σ11-دج){\displaystyle {\mathsf {ATR}}_{0}+({\mathsf {\Sigma }}_{1}^{1}{\mathsf {-DC}})}[ 20 ] : 7كPأنا0+Σ1-أناω{\displaystyle {\mathsf {KPi}}^{0}{\mathsf {+\Sigma _{1}-I}}_{\omega }}
φ(1،ε0،0){\displaystyle \varphi (1,\varepsilon _{0},0)}أناد^<ε0{\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}}_{<\varepsilon _{0}}}أتيR+(Σ11-دج){\displaystyle {\mathsf {ATR}}+({\mathsf {\Sigma }}_{1}^{1}{\mathsf {-DC}})}[ 20 ] : 7كPأنا0+F-أناω{\displaystyle {\mathsf {KPi}}^{0}{\mathsf {+F-I}}_{\omega }}
φ(1،Γ0،0){\displaystyle \varphi (1,\Gamma _{0},0)}أناد^<Γ0{\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}}_{<\Gamma _{0}}}ملS{\displaystyle {\mathsf {MLS}}}
φ(2،0،0){\displaystyle \varphi (2,0,0)}أuت(أناد^){\displaystyle {\mathsf {Aut({\widehat {ID}})}}}،FتيR0{\displaystyle {\mathsf {FTR}}_{0}}[ 32 ]أxΣ11-أجتيR0{\displaystyle Ax_{\Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-AC}}}{\mathsf {TR}}_{0}}[ 33 ] ص 1167،أxأتيR+Σ11-دجRFشمال0{\displaystyle Ax_{{\mathsf {ATR}}+\Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-DC}}}{\mathsf {RFN}}_{0}}[ 33 ] ص 1167كPح0{\displaystyle {\mathsf {KPh}}^{0}}أuت(مل){\displaystyle {\mathsf {Aut(ML)}}}
φ(2،0،ε0){\displaystyle \varphi (2,0,\varepsilon _{0})}FتيR{\displaystyle {\mathsf {FTR}}}[ 32 ]أxΣ11-أجتيR{\displaystyle Ax_{\Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-AC}}}{\mathsf {TR}}}[ 33 ] ص 1167،أxأتيR+Σ11-دجRFشمال{\displaystyle Ax_{{\mathsf {ATR}}+\Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-DC}}}{\mathsf {RFN}}}[ 33 ] ص 1167
φ(2،ε0،0){\displaystyle \varphi (2,\varepsilon _{0},0)}كPح0+(F-أناω){\displaystyle {\mathsf {KPh}}_{0}+({\mathsf {F-I}}_{\omega })}[ 32 ] : 11
φ(ω،0،0){\displaystyle \varphi (\omega ,0,0)}(Π21-RFشمال)0Σ11-دج{\displaystyle (\Pi _{2}^{1}{\mathsf {-RFN}})_{0}^{\Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-DC}}}}[ 34 ] ص 233،Σ11-تيدج0{\displaystyle \Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-TDC}}_{0}}[ 34 ] ص 233كPم0{\displaystyle {\mathsf {KPm}}^{0}}[ 35 ] ص 276هـمأ{\displaystyle {\mathsf {EMA}}}[ 35 ] ص 276
φ(ε0،0،0){\displaystyle \varphi (\varepsilon _{0},0,0)}(Π21-RFشمال)Σ11-دج{\displaystyle (\Pi _{2}^{1}{\mathsf {-RFN}})^{\Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-DC}}}}[ 34 ] ص 233،Σ11-تيدج{\displaystyle \Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-TDC}}}[ 20 ]كPم0+(ل*-أناشمال){\displaystyle {\mathsf {KPm}}^{0}+({\mathcal {L}}^{*}{\mathsf {-I}}_{\mathsf {N}})}[ 35 ] ص 277هـمأ+(ل-أناشمال){\displaystyle {\mathsf {EMA}}+(\mathbb {L} {\mathsf {-I}}_{\mathsf {N}})}[ 35 ] ص 277
φ(1،0،0،0){\displaystyle \varphi (1,0,0,0)}ص1(Σ11-تيدج0){\displaystyle {\mathsf {p}}_{1}(\Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-TDC}}_{0})}[ 20 ] : 7
ψΩ1(ΩΩω){\displaystyle \psi _{\Omega _{1}}(\Omega ^{\Omega ^{\omega }})}Rجأ0*+Π11-جأ-{\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}^{*}+\Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}^{-}}, [ 36 ]ص3(أجأ0){\displaystyle {\mathsf {p}}_{3}({\mathsf {ACA}}_{0})}[ 20 ] : 7
ϑ(ΩΩ){\displaystyle \vartheta (\Omega ^{\Omega })}تيأناد{\displaystyle {\mathsf {TID}}}،تيأناد1{\displaystyle {\mathsf {TID}}_{1}}[ 21 ] ص 171ص1(ص3(أجأ0)){\displaystyle {\mathsf {p}}_{1}({\mathsf {p}}_{3}({\mathsf {ACA}}_{0}))}[ 20 ] : 7Fأناتي{\displaystyle {\mathsf {FIT}}}[ 21 ] ص 171
ψ0(εΩ+1){\displaystyle \psi _{0}(\varepsilon _{\Omega +1})}أناد1{\displaystyle {\mathsf {ID}}_{1}}دبليو-هـΩ~{\displaystyle {\text{W-}}{\widetilde {\mathbf {E} {\boldsymbol {\Omega }}}}}[ 12 ] ص 8كP{\displaystyle {\mathsf {KP}}}, [ 2 ]كPω{\displaystyle {\mathsf {KP\omega }}}،كPu{\displaystyle \mathrm {KPu} }[ 15 ] ص 869مل1V{\displaystyle {\mathsf {ML}}_{1}{\mathsf {V}}}جZF{\displaystyle {\mathsf {CZF}}}هـياشمال{\displaystyle {\mathsf {EON}}}
ψ(εΩ+ε0){\displaystyle \psi (\varepsilon _{\Omega +\varepsilon _{0}})}هـΩ~{\displaystyle {\widetilde {\mathbf {E} {\boldsymbol {\Omega }}}}}[ 12 ] ص 31،هـأناد~1{\displaystyle {\widetilde {\mathbf {EID} }}_{\boldsymbol {1}}}[ 12 ] ص 31،أجأ+(Π11كاليفورنيا)-{\displaystyle \mathbf {ACA} +(\Pi _{1}^{1}{\text{-CA}})^{-}}[ 12 ] ص 31
ψ(εΩ+Ω){\displaystyle \psi (\varepsilon _{\Omega +\Omega })}(أناد12)0+بR{\displaystyle ({\mathsf {ID}}_{1}^{2})_{0}+{\mathsf {BR}}}[ 37 ]
ψ(εεΩ+1){\displaystyle \psi (\varepsilon _{\varepsilon _{\Omega +1}})}هـΩ{\displaystyle \mathbf {E} {\boldsymbol {\Omega }}}[ 12 ] ص 33،هـأناد1{\displaystyle \mathbf {EID} _{\boldsymbol {1}}}[ 12 ] ص 33،أجأ+(Π11كاليفورنيا)-+(بأناPR)-{\displaystyle \mathbf {ACA} +(\Pi _{1}^{1}{\text{-CA}})^{-}+(\mathrm {BI} _{\mathrm {PR} })^{-}}[ 12 ] ص 33
ψ0(ΓΩ+1){\displaystyle \psi _{0}(\Gamma _{\Omega +1})}يو(أناد1){\displaystyle {\mathsf {U(ID}}_{1}{\mathsf {)}}}،أناد^<ω∙{\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}}_{<\omega }^{\bullet }}[ 29 ] ص 26،Σ11-دج0∙+(Sيوب∙){\displaystyle \Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-DC}}_{0}^{\bullet }+({\mathsf {SUB}}^{\bullet })}[ 29 ] ص 26،أتيR0∙{\displaystyle {\mathsf {ATR}}_{0}^{\bullet }}[ 29 ] ص 26،Σ11-أج0∙+(Sيوب∙){\displaystyle \Sigma _{1}^{1}{\mathsf {-AC}}_{0}^{\bullet }+({\mathsf {SUB}}^{\bullet })}[ 29 ] ص 26،يو(أناد1){\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathsf {ID}}_{1})}[ 29 ] ص 26FP0∙{\displaystyle {\mathsf {FP}}_{0}^{\bullet }}[ 29 ] ص 26،أتيR0∙{\displaystyle {\mathsf {ATR}}_{0}^{\bullet }}[ 29 ] ص 26
ψ0(φ(<Ω،0،Ω+1)){\displaystyle \psi _{0}(\varphi ({\mathsf {<}}\Omega ,0,\Omega +1))}أuت(يو(أناد)){\displaystyle {\mathsf {Aut(U(ID))}}}
ψ0(Ωω){\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\omega })}أناد<ω{\displaystyle {\mathsf {ID}}_{<\omega }}[ 4 ] ص 28Π11-جأ0{\displaystyle {\mathsf {\Pi }}_{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}}[ 4 ] ص 28،Δ21-جأ0{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{2}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}}ملدبليو{\displaystyle {\mathsf {MLW}}}SيوS+(S-أناشمال){\displaystyle {\mathsf {SUS}}+({\mathsf {S}}-{\mathsf {I}}_{\mathsf {N}})}[ 38 ] ص 27
ψ0(Ωωωω){\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\omega }\omega ^{\omega })}Π11-جأ0+Π21-أناشمالد{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}+\Pi _{2}^{1}{\mathsf {-IND}}}[ 39 ]
ψ0(Ωωε0){\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\omega }\varepsilon _{0})}دبليو-أنادω{\displaystyle {\mathsf {W-ID}}_{\omega }}Π11-جأ{\displaystyle {\mathsf {\Pi }}_{1}^{1}{\mathsf {-CA}}}[ 40 ] ص 14دبليو-كPأنا{\displaystyle {\mathsf {W-KPI}}}
ψ0(ΩωΩ){\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\omega }\Omega )}Π11-جأ+بR{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA+BR}}}[ 41 ]
ψ0(Ωωω){\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\omega }^{\omega })}Π11-جأ0+Π21-بأنا{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}+\Pi _{2}^{1}{\mathsf {-BI}}}[ 39 ]
ψ0(Ωωωω){\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\omega }^{\omega ^{\omega }})}Π11-جأ0+Π21-بأنا+Π31-أناشمالد{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}+\Pi _{2}^{1}{\mathsf {-BI}}+\Pi _{3}^{1}{\mathsf {-IND}}}[ 39 ]
ψ0(εΩω+1){\displaystyle \psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})}أنادω{\displaystyle {\mathsf {ID}}_{\omega }}Π11-جأ+بأنا{\displaystyle {\mathsf {\Pi }}_{1}^{1}{\mathsf {-CA+BI}}}كPأنا{\displaystyle {\mathsf {KPI}}}
ψ0(Ωωω){\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\omega ^{\omega }})}أناد<ωω{\displaystyle {\mathsf {ID}}_{<\omega ^{\omega }}}Δ21-جR{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{2}^{1}{\mathsf {-CR}}}[ 4 ] ص 28SيوS+(شمال-أناشمال){\displaystyle {\mathsf {SUS}}+({\mathsf {N}}-{\mathsf {I}}_{\mathsf {N}})}[ 38 ] ص 27
ψ0(Ωε0){\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\varepsilon _{0}})}أناد<ε0{\displaystyle {\mathsf {ID}}_{<\varepsilon _{0}}}Δ21-جأ{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{2}^{1}{\mathsf {-CA}}}[ 4 ] ص 28،Σ21-أج{\displaystyle {\mathsf {\Sigma }}_{2}^{1}{\mathsf {-AC}}}دبليو-كPأنا{\displaystyle {\mathsf {W-KPi}}}SيوS+(ل-أناشمال){\displaystyle {\mathsf {SUS}}+(\mathrm {L} -{\mathsf {I}}_{\mathsf {N}})}[ 38 ] ص 27
ψ0(ΩΩ){\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\Omega })}أuت(أناد){\displaystyle {\mathsf {Aut(ID)}}}
ψΩ1(εΩΩ+1){\displaystyle \psi _{\Omega _{1}}(\varepsilon _{\Omega _{\Omega }+1})}أناد≺*{\displaystyle {\mathsf {ID}}_{\prec ^{*}}}،بأناد2*{\displaystyle {\mathsf {BID}}^{2*}}،أناد2*+بأنا{\displaystyle {\mathsf {ID}}^{2*}+{\mathsf {BI}}}[ 42 ]كPل*{\displaystyle {\mathsf {KPl}}^{*}}،كPلΩر{\displaystyle {\mathsf {KPl}}_{\Omega }^{r}}
ψ0(Φ1(0)){\displaystyle \psi _{0}(\Phi _{1}(0))}Π11-تيR0{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-TR}}_{0}}،Π11-تيR0+Δ21-جأ0{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-TR}}_{0}+\Delta _{2}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}}،Δ21-جأ+بأنا(أنامصل-Σ21){\displaystyle \Delta _{2}^{1}{\mathsf {-CA+BI(impl-}}\Sigma _{2}^{1})}،Δ21-جأ+بR(أنامصل-Σ21){\displaystyle \Delta _{2}^{1}{\mathsf {-CA+BR(impl-}}\Sigma _{2}^{1})}،أيوتي-أناد0صos{\displaystyle \mathbf {AUT-ID} _{0}^{pos}}،أيوتي-أناد0مoن{\displaystyle \mathbf {AUT-ID} _{0}^{mon}}[ 42 ] : 72كPأناw+FيايوشمالدR(أنامصل-)Σ){\displaystyle {\mathsf {KPi}}^{w}+{\mathsf {FOUNDR}}({\mathsf {impl-}})\Sigma )}, [ 42 ] : 72كPأناw+Fيايوشمالد(أنامصل-)Σ){\displaystyle {\mathsf {KPi}}^{w}+{\mathsf {FOUND}}({\mathsf {impl-}})\Sigma )}, [ 42 ] : 72

أيوتي-كPلر{\displaystyle \mathbf {AUT-KPl} ^{r}}،أيوتي-كPلر+كPأنار{\displaystyle \mathbf {AUT-KPl} ^{r}+\mathbf {KPi} ^{r}}[ 42 ] : 72

ψ0(Φ1(0)ε0){\displaystyle \psi _{0}(\Phi _{1}(0)\varepsilon _{0})}Π11-تيR{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-TR}}}،أيوتي-أنادصos{\displaystyle \mathbf {AUT-ID} ^{pos}}،أيوتي-أنادمoن{\displaystyle \mathbf {AUT-ID} ^{mon}}[ 42 ] : 72أيوتي-كPلw{\displaystyle \mathbf {AUT-KPl} ^{w}}[ 42 ] : 72
ψ0(εΦ1(0)+1){\displaystyle \psi _{0}(\varepsilon _{\Phi _{1}(0)+1})}Π11-تيR+(بأنا){\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-TR}}+({\mathsf {BI}})}،أيوتي-أناد2صos{\displaystyle \mathbf {AUT-ID} _{2}^{pos}}،أيوتي-أناد2مoن{\displaystyle \mathbf {AUT-ID} _{2}^{mon}}[ 42 ] : 72أيوتي-كPل{\displaystyle \mathbf {AUT-KPl} }[ 42 ] : 72
ψ0(Φ1(ε0)){\displaystyle \psi _{0}(\Phi _{1}(\varepsilon _{0}))}Π11-تيR+Δ21-جأ{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-TR}}+\Delta _{2}^{1}{\mathsf {-CA}}}،Π11-تيR+Σ21-أج{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-TR}}+\Sigma _{2}^{1}{\mathsf {-AC}}}[ 42 ] : 72أيوتي-كPلw+كPأناw{\displaystyle \mathbf {AUT-KPl} ^{w}+\mathbf {KPi} ^{w}}[ 42 ] : 72
ψ0(Φω(0)){\displaystyle \psi _{0}(\Phi _{\omega }(0))}Δ21-تيR0{\displaystyle \Delta _{2}^{1}{\mathsf {-TR}}_{0}}،Σ21-تيRدج0{\displaystyle \Sigma _{2}^{1}{\mathsf {-TRDC}}_{0}}،Δ21-جأ0+(Σ21-بأنا){\displaystyle \Delta _{2}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}+(\Sigma _{2}^{1}{\mathsf {-BI}})}[ 42 ] : 72كPأنار+(Σ-Fيايوشمالد){\displaystyle \mathbf {KPi} ^{r}+(\Sigma {\mathsf {-FOUND}})}،كPأنار+(Σ-Rهـج){\displaystyle \mathbf {KPi} ^{r}+(\Sigma {\mathsf {-REC}})}[ 42 ] : 72
ψ0(Φε0(0)){\displaystyle \psi _{0}(\Phi _{\varepsilon _{0}}(0))}Δ21-تيR{\displaystyle \Delta _{2}^{1}{\mathsf {-TR}}}،Σ21-تيRدج{\displaystyle \Sigma _{2}^{1}{\mathsf {-TRDC}}}،Δ21-جأ+(Σ21-بأنا){\displaystyle \Delta _{2}^{1}{\mathsf {-CA}}+(\Sigma _{2}^{1}{\mathsf {-BI}})}[ 42 ] : 72كPأناw+(Σ-Fيايوشمالد){\displaystyle \mathbf {KPi} ^{w}+(\Sigma {\mathsf {-FOUND}})}،كPأناw+(Σ-Rهـج){\displaystyle \mathbf {KPi} ^{w}+(\Sigma {\mathsf {-REC}})}[ 42 ] : 72
ψ(εأنا+1){\displaystyle \psi (\varepsilon _{I+1})}Δ21-جأ+بأنا{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{2}^{1}{\mathsf {-CA+BI}}}[ 4 ] ص 28،Σ21-أج+بأنا{\displaystyle {\mathsf {\Sigma }}_{2}^{1}{\mathsf {-AC+BI}}}كPأنا{\displaystyle {\mathsf {KPi}}}جZF+Rهـأ{\displaystyle {\mathsf {CZF+REA}}}تي0{\displaystyle {\mathsf {T}}_{0}}
ψ(Ωأنا+ω){\displaystyle \psi (\Omega _{I+\omega })}مل1دبليو{\displaystyle {\mathsf {ML}}_{1}{\mathsf {W}}}[ 43 ] : 38
ψ(Ωل){\displaystyle \psi (\Omega _{L})}كPح{\displaystyle {\mathsf {KPh}}}مل<ωدبليو{\displaystyle {\mathsf {ML}}_{<\omega }{\mathsf {W}}}
ψ(Ωل*){\displaystyle \psi (\Omega _{L^{*}})}أuت(ملدبليو){\displaystyle {\mathsf {Aut(MLW)}}}
ψΩ(χεم+1(0)){\displaystyle \psi _{\Omega }(\chi _{\varepsilon _{M+1}}(0))}Δ21-جأ+بأنا+(م){\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{2}^{1}{\mathsf {-CA+BI+(M)}}}[ 44 ]كPم{\displaystyle {\mathsf {KPM}}}جZFم{\displaystyle {\mathsf {CZFM}}}
ψ(Ωم+ω){\displaystyle \psi (\Omega _{M+\omega })}كPم+{\displaystyle {\mathsf {KPM}}^{+}}[ 45 ]تيتيم{\displaystyle {\mathsf {TTM}}}[ 45 ]
ΨΩ0(εك+1){\displaystyle \Psi _{\Omega }^{0}(\varepsilon _{K+1})}كP+Π3-Rهـو{\displaystyle {\mathsf {KP+\Pi }}_{3}-{\mathsf {Ref}}}[ 46 ]
Ψ(ω+؛P0،ϵ،ϵ،0)εΞ+1{\displaystyle \Psi _{(\omega ^{+};P_{0},\epsilon ,\epsilon ,0)}^{\varepsilon _{\Xi +1}}}كP+Πω-Rهـو{\displaystyle {\mathsf {KP+\Pi }}_{\omega }-{\mathsf {Ref}}}[ 47 ]
Ψ(ω+؛P0،ϵ،ϵ،0)εΥ+1{\displaystyle \Psi _{(\omega ^{+};P_{0},\epsilon ,\epsilon ,0)}^{\varepsilon _{\Upsilon +1}}}Sتأبأنالأناتy{\displaystyle {\mathsf {Stability}}}[ 47 ]
ψω1جك(εS++1){\displaystyle \psi _{\omega _{1}^{CK}}(\varepsilon _{\mathbb {S} ^{+}+1})}[ 48 ]كPω+Π11-Rهـو{\displaystyle {\mathsf {KP}}\omega +\Pi _{1}^{1}-{\mathsf {Ref}}}, [ 48 ]كPω+(م≺Σ1V){\displaystyle {\mathsf {KP}}\omega +(M\prec _{\Sigma _{1}}V)}[ 49 ]
ψω1جك(εأنا+1){\displaystyle \psi _{\omega _{1}^{CK}}(\varepsilon _{\mathbb {I} +1})}[ 48 ]Σ31-دج+بأنا{\displaystyle \Sigma _{3}^{1}{\mathsf {-DC+BI}}}،Σ31-أج+بأنا{\displaystyle \Sigma _{3}^{1}{\mathsf {-AC+BI}}}كPω+Π1-جoللهـجتأناoن+(V=ل){\displaystyle {\mathsf {KP}}\omega +\Pi _{1}-{\mathsf {Collection}}+(V=L)}
ψω1جك(εأناشمال+1){\displaystyle \psi _{\omega _{1}^{CK}}(\varepsilon _{\mathbb {I} _{N}+1})}[ 50 ]Σشمال+21-دج+بأنا{\displaystyle \Sigma _{N+2}^{1}{\mathsf {-DC+BI}}}،Σشمال+21-أج+بأنا{\displaystyle \Sigma _{N+2}^{1}{\mathsf {-AC+BI}}}كPω+Πشمال-جoللهـجتأناoن+(V=ل){\displaystyle {\mathsf {KP}}\omega +\Pi _{N}-{\mathsf {Collection}}+(V=L)}
ψω1جك(أناω){\displaystyle \psi _{\omega _{1}^{CK}}(\mathbb {I} _{\omega })}[ 50 ]Pأ+⋃شمال<ωتيأنا[Π01-،ψω1جك(εأناشمال+1)]{\displaystyle {\mathsf {PA}}+\bigcup \limits _{N<\omega }{\mathsf {TI}}[\Pi _{0}^{1-},\psi _{\omega _{1}^{CK}}(\varepsilon _{\mathbb {I} _{N}+1})]}[ 50 ]Z2{\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}،Π∞1-جأ{\displaystyle \Pi _{\infty }^{1}-{\mathsf {CA}}}، حاجِزكP+Πωتعيين-Sهـصأرأتأناoن{\displaystyle {\mathsf {KP}}+\Pi _{\omega }^{\text{set}}-{\mathsf {Separation}}}λ2{\displaystyle \lambda 2}[ 51 ]جZF+Sهـص{\displaystyle {\mathsf {CZF+Sep}}}[ 52 ]

مفتاح

هذه قائمة بالرموز المستخدمة في هذا الجدول:

  • يمثل ψ وظائف الدمج الترتيبية المختلفة كما هو محدد في مراجعها الخاصة.
  • يمثل Ψ إما طاقة بسي الخاصة براثجن أو طاقة بسي الخاصة بستيجرت.
  • يمثل φ دالة فيبلين.
  • يمثل ω العدد الترتيبي المتجاوز الأول.
  • يمثل ε α أرقام إبسيلون .
  • Γ α يمثل أرقام جاما (Γ 0 هو ترتيب Feferman-Schütte )
  • يمثل Ω α الأعداد الترتيبية غير القابلة للعد (Ω 1 ، المختصرة Ω، هي ω 1 ). يُعتبر العد شرطًا أساسيًا لكي يُعتبر العدد الترتيبي ذا دلالة نظرية.
  • S{\displaystyle \mathbb {S} }هو مصطلح ترتيبي يدل على ترتيب ثابت، وS+{\displaystyle \mathbb {S} ^{+}}أقل عدد ترتيبي مقبول أعلاهS{\displaystyle \mathbb {S} }.
  • أناشمال{\displaystyle \mathbb {I} _{N}}هو مصطلح ترتيبي يدل على عدد ترتيبي بحيثلأناشمال⊨كPω+Πشمال-جoللهـجتأناoن+(V=ل){\displaystyle L_{\mathbb {I} _{N}}\models {\mathsf {KP}}\omega +\Pi _{N}-{\mathsf {Collection}}+(V=L)}يمثل N متغيرًا يحدد سلسلة من التحليلات الترتيبية لنتائجΠشمال-جoللهـجتأناoن{\displaystyle \Pi _{N}-{\mathsf {Collection}}}للجميع1≤شمال<ω{\displaystyle 1\leq N<\omega }عندما N=1،ψω1جك(εأنا1+1)=ψω1جك(εأنا+1){\displaystyle \psi _{\omega _{1}^{CK}}(\varepsilon _{\mathbb {I} _{1}+1})=\psi _{\omega _{1}^{CK}}(\varepsilon _{\mathbb {I} +1})}
  • يمكن العثور على رموز إضافية في الملاحظات.

هذه قائمة بالاختصارات المستخدمة في هذا الجدول:

  • الحساب من الدرجة الأولى
    • سؤال{\displaystyle {\mathsf {Q}}}هل حساب روبنسون
    • Pأ-{\displaystyle {\mathsf {PA}}^{-}}هي نظرية الرتبة الأولى للجزء غير السالب من حلقة مرتبة بشكل منفصل.
    • RFأ{\displaystyle {\mathsf {RFA}}}هي عملية حسابية بدائية .
    • أناΔ0{\displaystyle {\mathsf {I\Delta }}_{0}}هي عملية حسابية مع الاستقراء المقيد بـ Δ 0 -المسندات دون أي بديهية تؤكد أن الأسية كاملة.
    • هـFأ{\displaystyle {\mathsf {EFA}}}هي دالة حسابية أساسية .
    • أناΔ0+{\displaystyle {\mathsf {I\Delta }}_{0}^{\mathsf {+}}}هو حسابي مع الاستقراء المقيد بـ Δ 0 -المسندات المعززة ببديهية تؤكد أن الأسية كاملة.
    • هـFأن{\displaystyle {\mathsf {EFA}}^{\mathsf {n}}}هي عملية حسابية أولية معززة ببديهية تضمن أن كل عنصر من المستوى nهـن{\displaystyle {\mathcal {E}}^{n}}التسلسل الهرمي لـ Grzegorczyk كامل.
    • أناΔ0ن+{\displaystyle {\mathsf {I\Delta }}_{0}^{\mathsf {n+}}}يكونأناΔ0+{\displaystyle {\mathsf {I\Delta }}_{0}^{\mathsf {+}}}معززة ببديهية تضمن أن كل عنصر من المستوى nهـن{\displaystyle {\mathcal {E}}^{n}}التسلسل الهرمي لـ Grzegorczyk كامل.
    • PRأ{\displaystyle {\mathsf {PRA}}}هي حسابية تكرارية بدائية .
    • أناΣ1{\displaystyle {\mathsf {I\Sigma }}_{1}}هي عملية حسابية مع الاستقراء المقيد بـ Σ 1 -المسندات.
    • Pأ{\displaystyle {\mathsf {PA}}}هي حساب بيانو .
    • أنادν8{\displaystyle {\mathsf {ID}}_{\nu }\#}يكونأناد^ν{\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}}_{\nu }}ولكن مع الاستقراء فقط للصيغ الموجبة.
    • أناد^ν{\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}}_{\nu }}يمتد PA بواسطة ν من النقاط الثابتة المتكررة للمؤثرات الرتيبة.
    • يو(Pأ){\displaystyle {\mathsf {U(PA)}}}ليس نظامًا حسابيًا من الدرجة الأولى بالضبط، ولكنه يجسد ما يمكن للمرء الحصول عليه من خلال الاستدلال التنبؤي القائم على الأعداد الطبيعية.
    • أuت(أناد^){\displaystyle {\mathsf {Aut({\widehat {ID}})}}}يتم تكرارها بشكل مستقلأناد^ν{\displaystyle {\widehat {\mathsf {ID}}}_{\nu }}(بمعنى آخر، بمجرد تعريف العدد الترتيبي، يمكن استخدامه لفهرسة سلسلة جديدة من التعريفات.)
    • أنادν{\displaystyle {\mathsf {ID}}_{\nu }}يمتد PA بواسطة ν من النقاط الثابتة الصغرى المتكررة للمؤثرات الرتيبة.
    • يو(أنادν){\displaystyle {\mathsf {U(ID}}_{\nu }{\mathsf {)}}}ليس نظامًا حسابيًا من الدرجة الأولى بالضبط، ولكنه يجسد ما يمكن الحصول عليه من خلال الاستدلال التنبؤي القائم على تعريفات استقرائية معممة متكررة ν مرة.
    • أuت(يو(أناد)){\displaystyle {\mathsf {Aut(U(ID))}}}يتم تكرارها بشكل مستقليو(أنادν){\displaystyle {\mathsf {U(ID}}_{\nu }{\mathsf {)}}}.
    • دبليو-أنادν{\displaystyle {\mathsf {W-ID}}_{\nu }}هي نسخة مخففة منأنادν{\displaystyle {\mathsf {ID}}_{\nu }}بناءً على أنواع W.
    • تيأنا[Π01-،α]{\displaystyle {\mathsf {TI}}[\Pi _{0}^{1-},\alpha ]}هو استقراء متجاوز لطول α لا يزيد عنΠ01{\displaystyle \Pi _{0}^{1}}-الصيغ. وهي تمثل تمثيل الترميز الترتيبي عند استخدامها في الحساب من الدرجة الأولى.
  • الحساب من الدرجة الثانية

بشكل عام، يشير الرمز السفلي 0 إلى أن مخطط الاستقراء يقتصر على بديهية استقراء واحدة.

    • Rجأ0*{\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}^{*}}هي شكل من أشكال الدرجة الثانية لـهـFأ{\displaystyle {\mathsf {EFA}}}تُستخدم أحيانًا في الرياضيات العكسية .
    • دبليوكل0*{\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}^{*}}هي شكل من أشكال الدرجة الثانية لـهـFأ{\displaystyle {\mathsf {EFA}}}يُستخدم أحيانًا في الرياضيات العكسية.
    • Rجأ0{\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}}هو الفهم التكراري .
    • دبليوكل0{\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}}هي معضلة كونيغ الضعيفة .
    • أجأ0{\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}}هو الفهم الحسابي .
    • أجأ{\displaystyle {\mathsf {ACA}}}يكونأجأ0{\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}}بالإضافة إلى مخطط الحث الكامل من الدرجة الثانية.
    • تيج(ن،X،Y){\displaystyle {\mathsf {TJ}}(n,X,Y)}هي المسند " القفزة التورينغية رقم n لـ X هي Y ".
    • أتيR0{\displaystyle {\mathsf {ATR}}_{0}}هي عملية تكرار حسابية غير منتهية .
    • أتيR{\displaystyle {\mathsf {ATR}}}يكونأتيR0{\displaystyle {\mathsf {ATR}}_{0}}بالإضافة إلى مخطط الحث الكامل من الدرجة الثانية.
    • بأنا{\displaystyle {\mathsf {BI}}}هذه بديهية الاستقراء الشريطي .
    • Δ21-جأ+بأنا+(م){\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{2}^{1}{\mathsf {-CA+BI+(M)}}}يكونΔ21-جأ+بأنا{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{2}^{1}{\mathsf {-CA+BI}}}بالإضافة إلى التأكيد "كل صحيحΠ31{\displaystyle {\mathsf {\Pi }}_{3}^{1}}الجملة ذات المعاملات صحيحة في (مشفر قابل للعد)β{\displaystyle \beta }-نموذج منΔ21-جأ{\displaystyle {\mathsf {\Delta }}_{2}^{1}{\mathsf {-CA}}}".
  • نظرية مجموعات كريپكي-بلاتيك
    • كP{\displaystyle {\mathsf {KP}}}هي نظرية مجموعات كريپكي-بلاتيك مع بديهية اللانهاية.
    • كPω{\displaystyle {\mathsf {KP\omega }}}هي نظرية مجموعات كريپكي-بلاتيك، التي يكون كونُها مجموعةً مقبولةً تحتوي علىω{\displaystyle \omega }.
    • دبليو-كPأنا{\displaystyle {\mathsf {W-KPI}}}هي نسخة مخففة منكPأنا{\displaystyle {\mathsf {KPI}}}بناءً على أنواع W.
    • كPأنا{\displaystyle {\mathsf {KPI}}}يؤكد أن الكون هو حد للمجموعات المقبولة.
    • دبليو-كPأنا{\displaystyle {\mathsf {W-KPi}}}هي نسخة مخففة منكPأنا{\displaystyle {\mathsf {KPi}}}بناءً على أنواع W.
    • كPأنا{\displaystyle {\mathsf {KPi}}}يؤكد أن الكون عبارة عن مجموعات غير قابلة للوصول.
    • كPح{\displaystyle {\mathsf {KPh}}}يؤكد أن الكون شديد الصعوبة في الوصول إليه: مجموعة يصعب الوصول إليها وحد أقصى للمجموعات التي يصعب الوصول إليها.
    • كPم{\displaystyle {\mathsf {KPM}}}يؤكد أن الكون عبارة عن مجموعة ماهلو.
    • كP+Πن-Rهـو{\displaystyle {\mathsf {KP+\Pi }}_{\mathsf {n}}-{\mathsf {Ref}}}يكونكP{\displaystyle {\mathsf {KP}}}معززة بمخطط انعكاس من الدرجة الأولى.
    • Sتأبأنالأناتy{\displaystyle {\mathsf {Stability}}}هل يتم تعزيز KPi بواسطة البديهية∀α∃κ≥α(لκ⪯1لκ+α){\displaystyle \forall \alpha \exists \kappa \geq \alpha (L_{\kappa }\preceq _{1}L_{\kappa +\alpha })}.
    • كPم+{\displaystyle {\mathsf {KPM}}^{+}}هل يتم تعزيز مؤشر الأداء الرئيسي بالتأكيد على أن "هناك على الأقل ترتيب ماهلو واحد متكرر".
    • كPω+(م≺Σ1V){\displaystyle {\mathsf {KP}}\omega +(M\prec _{\Sigma _{1}}V)}يكونكPω{\displaystyle {\mathsf {KP}}\omega }مع وجود بديهية تنص على أنه "توجد مجموعة غير فارغة ومتعدية M بحيثم≺Σ1V{\displaystyle M\prec _{\Sigma _{1}}V}'.

يشير الصفر المرتفع إلى أن∈{\displaystyle \in }يتم حذف الاستقراء (مما يجعل النظرية أضعف بكثير).

  • نظرية الأنواع
    • جPRج{\displaystyle {\mathsf {CPRC}}}هو حساب هيربلين-باتي للإنشاءات التكرارية الأولية.
    • ملن{\displaystyle {\mathsf {ML}}_{\mathsf {n}}}نظرية الأنواع بدون أنواع W ومعن{\displaystyle n}عوالم.
    • مل<ω{\displaystyle {\mathsf {ML}}_{<\omega }}هي نظرية الأنواع بدون أنواع W ومع عدد محدود من الأكوان.
    • مليو{\displaystyle {\mathsf {MLU}}}هي نظرية الأنواع مع عامل الكون التالي.
    • ملS{\displaystyle {\mathsf {MLS}}}هي نظرية الأنواع بدون أنواع W ومع كون فائق.
    • أuت(مل){\displaystyle {\mathsf {Aut(ML)}}}هي نظرية الأنواع بدون أنواع W ومع أكوان متكررة بشكل مستقل.
    • مل1V{\displaystyle {\mathsf {ML}}_{1}{\mathsf {V}}}هي نظرية الأنواع ذات الكون الواحد ونوع أكسل من المجموعات التكرارية.
    • ملدبليو{\displaystyle {\mathsf {MLW}}}هي نظرية الأنواع مع أنواع W المفهرسة.
    • مل1دبليو{\displaystyle {\mathsf {ML}}_{1}{\mathsf {W}}}هي نظرية الأنواع مع أنواع W وكون واحد.
    • مل<ωدبليو{\displaystyle {\mathsf {ML}}_{<\omega }{\mathsf {W}}}هي نظرية الأنواع مع أنواع W وعدد محدود من الأكوان.
    • أuت(ملدبليو){\displaystyle {\mathsf {Aut(MLW)}}}هي نظرية الأنواع مع أنواع W ومع أكوان متكررة بشكل مستقل.
    • تيتيم{\displaystyle {\mathsf {TTM}}}هي نظرية الأنواع مع كون ماهلو.
    • λ2{\displaystyle \lambda 2}هو النظام F ، أو حساب لامدا متعدد الأشكال أو حساب لامدا من الدرجة الثانية.
  • نظرية المجموعات البنائية
    • جZF{\displaystyle {\mathsf {CZF}}}هي نظرية المجموعات البنائية لأكسل.
    • جZF+Rهـأ{\displaystyle {\mathsf {CZF+REA}}}يكونجZF{\displaystyle {\mathsf {CZF}}}بالإضافة إلى بديهية التمديد العادية.
    • جZF+Rهـأ+FZ2{\displaystyle {\mathsf {CZF+REA+FZ}}_{2}}يكونجZF+Rهـأ{\displaystyle {\mathsf {CZF+REA}}}بالإضافة إلى مخطط الحث الكامل من الدرجة الثانية.
    • جZFم{\displaystyle {\mathsf {CZFM}}}يكونجZF{\displaystyle {\mathsf {CZF}}}مع عالم ماهلو.
  • الرياضيات الصريحة
    • هـم0{\displaystyle {\mathsf {EM}}_{0}}الرياضيات الأساسية الصريحة بالإضافة إلى الفهم الابتدائي
    • هـم0+جR{\displaystyle {\mathsf {EM}}_{0}{\mathsf {+JR}}}يكونهـم0{\displaystyle {\mathsf {EM}}_{0}}بالإضافة إلى قاعدة الانضمام
    • هـم0+ج{\displaystyle {\mathsf {EM}}_{0}{\mathsf {+J}}}يكونهـم0{\displaystyle {\mathsf {EM}}_{0}}بالإضافة إلى بديهيات الانضمام
    • هـياشمال{\displaystyle {\mathsf {EON}}}هو شكل ضعيف من أشكال فيفرمانتي0{\displaystyle {\mathsf {T}}_{0}}.
    • تي0{\displaystyle {\mathsf {T}}_{0}}يكونهـم0+ج+أناجي{\displaystyle {\mathsf {EM}}_{0}{\mathsf {+J+IG}}}، أينأناجي{\displaystyle {\mathsf {IG}}}هو التوليد الاستقرائي.
    • تي{\displaystyle {\mathsf {T}}}يكونهـم0+ج+أناجي+FZ2{\displaystyle {\mathsf {EM}}_{0}{\mathsf {+J+IG+FZ}}_{2}}، أينFZ2{\displaystyle {\mathsf {FZ}}_{2}}هو مخطط الحث الكامل من الدرجة الثانية.

انظر أيضاً

ملحوظات

1. ^ لـ1<ن≤ω{\displaystyle 1<n\leq {\mathsf {\omega }}}
2. ^ دالة فيبلنφ{\displaystyle \varphi }مع نقاط ثابتة دنيا متكررة بشكل لانهائي قابل للعد.
3. ^ يمكن كتابتها أيضاً بشكل شائع على النحو التاليψ(εΩ+1){\displaystyle \psi (\varepsilon _{\Omega +1})}في ψ لمادور.
4. ^ يستخدم ψ مادور بدلاً من ψ بوخهولز.
5. ^ يمكن كتابتها أيضاً بشكل شائع على النحو التاليψ(εΩω+1){\displaystyle \psi (\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})}في ψ لمادور.
6. ^ك{\displaystyle K}يمثل أول عدد ترتيبي مضغوط ضعيفًا بشكل متكرر. يستخدم ψ أراي بدلاً من ψ بوخهولز.
7. ^ وكذلك الترتيب البرهاني لـأuت(دبليو-أناد){\displaystyle {\mathsf {Aut(W-ID)}}}، لأن مقدار الضعف الذي توفره الأنواع W ليس كافياً.
8. ^أنا{\displaystyle I}يمثل العدد الأصلي الأول غير القابل للوصول. يستخدم رمز ψ الخاص بـ Jäger بدلاً من رمز ψ الخاص بـ Buchholz.
9. ^ل{\displaystyle L}يمثل الحد الأقصى لـω{\displaystyle \omega }الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول. يستخدم (على الأرجح) رمز ψ الخاص بـ Jäger.
10. ^ل*{\displaystyle L^{*}}يمثل الحد الأقصى لـΩ{\displaystyle \Omega }الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول. يستخدم (على الأرجح) رمز ψ الخاص بـ Jäger.
11. ^م{\displaystyle M}يمثل العدد الكاردينالي الأول لماهلو. يستخدم ψ الخاص براثجن بدلاً من ψ الخاص ببوخهولز.
12. ^ك{\displaystyle K}يمثل أول عدد أصلي ضعيف التراص. يستخدم Ψ لراثجن بدلاً من ψ لبوخهولز.
13. ^Ξ{\displaystyle \Xi }يمثل الأولΠ02{\displaystyle \Pi _{0}^{2}}عدد أساسي لا يوصف. يستخدم Ψ الخاص بستيجيرت بدلاً من ψ الخاص ببوخهولز.
14. ^Y{\displaystyle Y}هو الأصغرα{\displaystyle \alpha }بحيث∀θ<Y∃κ<Y({\displaystyle \forall \theta <Y\exists \kappa <Y(}'κ{\displaystyle \kappa }يكونθ{\displaystyle \theta }(لا يمكن وصفه) و∀θ<Y∀κ<Y({\displaystyle \forall \theta <Y\forall \kappa <Y(}'κ{\displaystyle \kappa }يكونθ{\displaystyle \theta }-لا يوصف→θ<κ{\displaystyle \rightarrow \theta <\kappa }'). يستخدم Ψ الخاص بستيجيرت بدلاً من ψ الخاص ببوخهولز.
15. ^م{\displaystyle M}يمثل أول عدد أصلي في مجموعة ماهلو. يستخدم (على الأرجح) رمز راثجن ψ.
16. ^ لـن∈شمال،ن≥1{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,n\geq 1}.ω↑ ↑ن(ن∈شمال){\displaystyle \omega \uparrow \uparrow n(n\in \mathbb {N} )}يمثل التحلل (يشار إليه بـωن{\displaystyle \omega _{n}}(في المصدر)

الاقتباسات

  1. ↑ م. راثجين، " نظرية البرهان المقبول وما بعدها ". في دراسات في المنطق وأسس الرياضيات المجلد 134 (1995)، ص 123-147.
  2. 1 2 3 راثجين، عالم التحليل الترتيبي . تم الاطلاع عليه في 29 سبتمبر 2021.
  3. ↑ كرايتشيك، جان (1995). الحساب المحدود، والمنطق الافتراضي، ونظرية التعقيد . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 18-20 . ISBN  9780521452052.يُعرّف هذا البحث المجموعات الأولية والدوال الأولية، ويُثبت تكافؤها مع المسندات Δ 0 على الأعداد الطبيعية. يمكن الاطلاع على تحليل ترتيبي للنظام في كتاب روز، هـ. إي. (1984). الاستدعاء الذاتي الفرعي: الدوال والتسلسلات الهرمية . جامعة ميشيغان: مطبعة كلارندون. ISBN 9780198531890.
  4. 1 2 3 4 5 6 م. راثجن، نظرية البرهان: من الحساب إلى نظرية المجموعات (ص 28). تاريخ الوصول: 14 أغسطس 2022.
  5. ↑ راثجن، مايكل (2006)، "فن التحليل الترتيبي" (ملف PDF) ، المؤتمر الدولي للرياضيات ، المجلد الثاني، زيورخ: الجمعية الرياضية الأوروبية، الصفحات 45-69 ، MR 2275588 ، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 22-12-2009 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 03-05-2024   
  6. ^ د. مادور، حديقة حيوانات الترتيبية (2017، ص.2). تم الوصول إليه في 12 أغسطس 2022.
  7. ↑ "الترتيب الإثباتي لنظرية ZFC أو امتدادات ZFC المتسقة؟" . MathOverflow . تم الاسترجاع في 23 يناير 2026 .
  8. ↑ أراي، توشياسو (2023). "محاضرات في التحليل الترتيبي". arXiv : 2511.11196v1 [ math.LO ].
  9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 J. Avigad, R. Sommer, " A Model-Theoretic Approach to Ordinal Analysis " (1997).
  10. ↑ م. راثجين، و. كارنيلي، " الهيدرا والأنظمة الفرعية للحساب " (1991)
  11. ^ جيروين فان دير ميرين. راثجين، مايكل. ويرمان، أندرياس (2014). “توصيف نظري للنظام للتسلسل الهرمي هوارد-باخمان”. أرخايف : 1411.4481 [ math.LO ].
  12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 G. Jäger, T. Strahm, " نظريات الرتبة الثانية مع الأعداد الترتيبية والفهم الأولي ". أرشيف المنطق الرياضي المجلد 34 (1995).
  13. 1 2 H. M. Friedman, SG Simpson, RL Smith, " الجبر القابل للعد وبديهيات وجود المجموعة ". حوليات المنطق البحت والتطبيقي المجلد 25، العدد 2 (1983).
  14. ↑ يتبع من النظرية IX.4.4 من SG Simpson، الأنظمة الفرعية للحساب من الدرجة الثانية (2009).
  15. 1 2 3 4 5 جي. ياغر، " قوة القبول بدون أساس ". مجلة المنطق الرمزي المجلد 49، العدد 3 (1984).
  16. ↑ ب. أفشاري، م. راثجين، " التحليل الترتيبي ونظرية رامزي اللانهائية ". في سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب، المجلد 7318 (2012)
  17. 1 2 ماركوني، ألبرتو؛ مونتالبان، أنطونيو (2011). "دوال فيبلن لنظريات الحوسبة". مجلة المنطق الرمزي . 76 (2): 575-602 . arXiv : 0910.5442 . doi : 10.2178/jsl/1305810765 . S2CID 675632 . 
  18. ↑ س. فيفرمان، "نظريات النوع المحدود المتعلقة بالممارسة الرياضية". في كتيب المنطق الرياضي ، دراسات في المنطق وأسس الرياضيات، المجلد 90 (1977)، تحرير ج. باروايز، نشر نورث هولاند.
  19. 1 2 3 4 م. هايسنبوتل، "نظريات القوة الترتيبية"φ20{\displaystyle \varphi 20}وφ2ε0{\displaystyle \varphi 2\varepsilon _{0}}(2001)
  20. 1 2 3 4 5 6 7 د. بروبست، "تحليل ترتيبي معياري للأنظمة الفرعية ما وراء التنبؤية للحساب من الدرجة الثانية" (2017)
  21. 1 2 3 4 ف. رانزي، من نظام أنواع مرن إلى براهين الترتيب الجيد التنبؤية . أطروحة دكتوراه، جامعة برن، 2015.
  22. ↑ أ. كانتيني، "حول العلاقة بين مبادئ الاختيار والفهم في الحساب من الدرجة الثانية"، مجلة المنطق الرمزي المجلد 51 (1986)، ص 360-373.
  23. 1 2 3 4 فيشر، مارتن؛ نيكولاي، كارلو؛ بابلو دوبيكو فرنانديز (2020). "الحقيقة غير الكلاسيكية ذات القوة الكلاسيكية. تحليل نظري للبرهان للحقيقة التركيبية على HYPE". arXiv : 2007.07188 [ math.LO ].
  24. 1 2 3 إس. جي. سيمبسون، "بحث فريدمان حول الأنظمة الفرعية للحساب من الدرجة الثانية". في بحث هارفي فريدمان حول أسس الرياضيات ، دراسات في المنطق وأسس الرياضيات، المجلد 117 (1985)، تحرير إل. هارينغتون، إم. مورلي، إيه. شيدروف، إس. جي. سيمبسون، نشر نورث هولاند.
  25. ↑ ج. أفيغاد، " تحليل ترتيبي لنظرية المجموعات المقبولة باستخدام الاستدعاء الذاتي على الرموز الترتيبية ". مجلة المنطق الرياضي ، المجلد 2، العدد 1، الصفحات 91-112 (2002).
  26. ↑ S. Feferman, " نظريات النقطة الثابتة الاستقرائية المتكررة: تطبيق على حدسية هانكوك ". في ندوة باتراس للمنطق ، دراسات في المنطق وأسس الرياضيات المجلد 109 (1982).
  27. ↑ S. Feferman, T. Strahm, “ The unfolding of non-finitist arithmetic “, Annals of Pure and Applied Logic vol. 104, no.1--3 (2000), pp.75--96.
  28. ↑ S. Feferman, G. Jäger, "مبادئ الاختيار، وقاعدة الشريط، ومخططات الفهم المتكررة ذاتيًا في التحليل"، مجلة المنطق الرمزي المجلد 48، العدد (1983)، ص 63-70.
  29. 1 2 3 4 5 6 7 8 يو. بوخهولتز، جي. ياغر، تي. ستراهم، " نظريات قوة البرهان النظريψ(ΓΩ+1){\displaystyle \psi (\Gamma _{\Omega +1})}". في كتاب مفاهيم البرهان في الرياضيات والفلسفة وعلوم الحاسوب (2016)، تحرير د. بروبست، ب. شوستر. DOI 10.1515/9781501502620-007.
  30. ↑ ت. ستراهم، " التسلسلات ذات النقطة الثابتة المستقلة والاستدعاء الذاتي المتجاوز للنقطة الثابتة " (2000). في ندوة المنطق 98 ، تحرير إس آر بوس، بي. هاجيك، وبي. بودلاك. DOI 10.1017/9781316756140.031
  31. ↑ جي. ياغر، تي. ستراهم، "نظريات النقطة الثابتة والاختيار التابع". أرشيف المنطق الرياضي، المجلد 39 (2000)، الصفحات 493-508.
  32. 1 2 3 T. Strahm, "التسلسلات ذات النقطة الثابتة المستقلة والتكرار المتجاوز للنقطة الثابتة" (2000)
  33. 1 2 3 4 C. Rüede, " الاختيار التابع المتجاوز والانعكاس النموذجي ω ". مجلة المنطق الرمزي المجلد 67، العدد 3 (2002).
  34. 1 2 3 C. Rüede, " التحليل النظري للبرهان لاختيار Σ 1 1 المتجاوز المعتمد ". حوليات المنطق البحت والتطبيقي المجلد 122 (2003).
  35. 1 2 3 4 ت. ستراهم، " براهين الترتيب الجيد لـ Mahlo الميتا-تنبؤي ". مجلة المنطق الرمزي، المجلد 67، العدد 1 (2002)
  36. ↑ ف. رانزي، ت. ستراهم، "نظام نوع مرن للترتيب الصغير فيبلن" (2019). أرشيف المنطق الرياضي 58: 711-751.
  37. ↑ ك. فوجيموتو، "ملاحظات حول بعض أنظمة الرتبة الثانية للتعريفات الاستقرائية المتكررة وΠ11{\displaystyle \Pi _{1}^{1}}"الفهم والأنظمة الفرعية ذات الصلة بنظرية المجموعات". حوليات المنطق البحت والتطبيقي، المجلد 166 (2015)، الصفحات 409-463.
  38. 1 2 3 جي. ياغر، تي. ستراهم، " التحليل البرهاني لمؤثر سوسلين في النظريات التطبيقية ". في تأملات في أسس الرياضيات: مقالات تكريمًا لسولومون فيفرمان (2002).
  39. 1 2 3 كرومبهولز، مارتن؛ راثجين، مايكل (2019). "الحدود العليا لنظرية الرسم البياني الصغرى". arXiv : 1907.00412 [ math.LO ].
  40. ↑ دبليو. بوخهولز، إس. فيفرمان، دبليو. بولرز، دبليو. سيغ، التعريفات الاستقرائية المتكررة والأنظمة الفرعية للتحليل: دراسات حديثة في نظرية البرهان
  41. ↑ دبليو. بوخهولز، نظرية إثبات الأنظمة الفرعية غير التنبؤية للتحليل (دراسات في نظرية الإثبات، دراسات، المجلد 2 (1988)
  42. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 م. راثجين، " دراسات حول الأنظمة الفرعية للحساب من الدرجة الثانية ونظرية المجموعات في القوة بينΠ11-جأ{\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}}وΔ21-جأ+بأنا{\displaystyle \Delta _{2}^{1}{\mathsf {-CA+BI}}}الجزء الأول . مؤرشف بتاريخ 7 ديسمبر 2023.
  43. ↑ م. راثجن، " قوة بعض نظريات مارتن-لوف "
  44. ↑ انظر نتيجة المحافظة في راثجن (1996)، "خاصية ماهلو المتكررة في الحساب من الدرجة الثانية" ، مجلة المنطق الرياضي الفصلية ، 42 : 59-66 ، doi : 10.1002/malq.19960420106إعطاء نفس الترتيب مثلكPم{\displaystyle {\mathsf {KPM}}}
  45. 1 2 أ. سيتزر، " نموذج لنظرية النوع مع كون ماهلو " (1996).
  46. ↑ م. راثجين، " نظرية إثبات الانعكاس ". حوليات المنطق البحت والتطبيقي المجلد 68، العدد 2 (1994)، ص 181-224.
  47. 1 2 Stegert, Jan-Carl, “ Ordinal Proof Theory of Kripke-Platek Set Theory Augmented by Strong Reflection Principles “ (2010).
  48. 1 2 3 أراي، توشياسو (2023-04-01). "محاضرات في التحليل الترتيبي". arXiv : 2304.00246 [ math.LO ].
  49. ↑ أراي، توشياسو (2023-04-07). "برهان حسن التأسيس لـΠ11{\displaystyle \Pi _{1}^{1}}-انعكاس". arXiv : 2304.03851 [ math.LO ].
  50. 1 2 3 أراي، توشياسو (12-02-2024). "تحليل ترتيبي لـΠشمال{\displaystyle \Pi _{N}}-مجموعة". arXiv : 2311.12459 [ math.LO ].
  51. ↑ بلوت، فالنتين (2022-08-02). "تفسير حسابي مباشر للحساب من الدرجة الثانية عبر التكرار التحديثي" . وقائع الندوة السنوية السابعة والثلاثين لجمعية ACM/IEEE حول المنطق في علوم الحاسوب . ACM. الصفحات 1-11 . doi : 10.1145/3531130.3532458 . ISBN  978-1-4503-9351-5.
  52. ↑ لوبارسكي، روبرت (2015-10-02). "دوال فيبلن لنظريات الحوسبة". مجلة المنطق الرمزي . 76 (2): 575-602 . arXiv : 1510.00469 . doi : 10.2178/jsl/1305810765 .

مراجع