حساب الدوال الأساسية

في نظرية البرهان ، وهي فرع من فروع المنطق الرياضي ، فإن الحساب الدوالي الأولية ( EFA )، والذي يسمى أيضًا الحساب الأولي والحساب الدوالي الأسية ، ^{[ 1 ]} هو نظام الحساب ذو الخصائص الأولية المعتادة 0،  1،  +،  ×، ${\displaystyle x^{y}}$، بالإضافة إلى الاستقراء للصيغ ذات الكميات المحدودة .

يُعد EFA نظامًا منطقيًا ضعيفًا للغاية، وترتيبه البرهاني هو${\displaystyle \omega ^{3}}$، ولكنه لا يزال يبدو قادراً على إثبات الكثير من الرياضيات العادية التي يمكن التعبير عنها بلغة الحساب من الدرجة الأولى .

EFA هو نظام في منطق الرتبة الأولى (مع المساواة). لغته تحتوي على:

• ثابتان${\displaystyle 0}$،${\displaystyle 1}$،
• ثلاث عمليات ثنائية${\displaystyle +}$،${\displaystyle \times }$،${\displaystyle {\textrm {exp}}}$، مع${\displaystyle {\textrm {exp}}(x,y)}$تُكتب عادة على النحو التالي${\displaystyle x^{y}}$،
• رمز العلاقة الثنائية${\displaystyle <}$(هذا ليس ضرورياً حقاً لأنه يمكن كتابته بدلالة العمليات الأخرى ويتم حذفه أحياناً، ولكنه مناسب لتعريف الكميات المحدودة).

الكميات المحدودة هي تلك التي تأتي على الشكل التالي:${\displaystyle \forall (x<y)}$و${\displaystyle \exists (x<y)}$وهي اختصارات لـ${\displaystyle \forall x(x<y)\rightarrow \ldots }$و${\displaystyle \exists x(x<y)\land \ldots }$بالطريقة المعتادة.

بديهيات التحليل العاملي الاستكشافي هي

• بديهيات حساب روبنسون لـ${\displaystyle 0}$،${\displaystyle 1}$،${\displaystyle +}$،${\displaystyle \times }$،${\displaystyle <}$
• بديهيات الأسس:${\displaystyle x^{0}=1}$،${\displaystyle x^{y+1}=x^{y}\times x}$.
• الاستقراء للصيغ التي تكون جميع محدداتها الكمية محدودة (ولكنها قد تحتوي على متغيرات حرة ).

يشير التخمين الكبير لهارفي فريدمان إلى أنه يمكن إثبات العديد من النظريات الرياضية، مثل نظرية فيرما الأخيرة ، في أنظمة ضعيفة للغاية مثل EFA.

النص الأصلي للفرضية من فريدمان (1999) هو:

" يمكن إثبات كل نظرية منشورة في حوليات الرياضيات والتي لا تتضمن صياغتها سوى كائنات رياضية منتهية (أي ما يسميه علماء المنطق عبارة حسابية) في EFA. EFA هو جزء ضعيف من حساب بيانو يعتمد على البديهيات المعتادة الخالية من المحددات الكمية لـ 0،  1،  +،  ×،  أس، بالإضافة إلى مخطط الاستقراء لجميع الصيغ في اللغة التي تكون جميع محدداتها الكمية محدودة."

على الرغم من سهولة صياغة عبارات حسابية اصطناعية صحيحة ولكنها غير قابلة للإثبات في التحليل الاستكشافي للعوامل، فإن جوهر حدسية فريدمان يكمن في ندرة الأمثلة الطبيعية لمثل هذه العبارات في الرياضيات. ومن الأمثلة الطبيعية على ذلك عبارات الاتساق في المنطق، والعديد من العبارات المتعلقة بنظرية رامزي مثل مبرهنة سيميريدي للانتظام ، ومبرهنة الرسم البياني الجزئي .

تتشابه العديد من فئات التعقيد الحسابي ذات الصلة مع خصائص EFA:

• يمكن حذف رمز الدالة الثنائية exp من اللغة، وذلك بتطبيق حساب روبنسون مع الاستقراء لجميع الصيغ ذات الكميات المحدودة، وبديهية تنص تقريبًا على أن الأس دالة معرفة في كل مكان. يشبه هذا الأسلوب EFA ويتمتع بنفس القوة البرهانية، ولكنه أكثر تعقيدًا في التعامل.
• توجد أجزاء ضعيفة من الحساب من الدرجة الثانية تسمى${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}^{*}}$و${\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}^{*}}$تلك المحافظة بشأن EFA لـ${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$الجمل (أي أي${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$حُكمٌ مُثبتٌ بـ${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}^{*}}$أو${\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}^{*}}$(وقد تم إثبات ذلك بالفعل بواسطة التحليل العاملي الاستكشافي.) ^{[ 2 ]} وعلى وجه الخصوص، فهي متحفظة فيما يتعلق بعبارات الاتساق. وتُدرس هذه الأجزاء أحيانًا في الرياضيات العكسية ( سيمبسون 2009 ) .
• الحساب الاسترجاعي الابتدائي ( ERA ) هو نظام فرعي من الحساب الاسترجاعي البدائي (PRA) حيث يقتصر الاستدعاء على المجاميع والمنتجات المحدودة . وهذا النظام له نفس${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$تُعتبر الجمل في ERA مماثلةً لـ EFA، بمعنى أنه كلما أثبتت EFA أن ∀x∃y P ( x , y )، حيث P خالية من المُكمِّمات، فإن ERA تُثبت الصيغة المفتوحة P ( x , T ( x ))، حيث T مُصطلح قابل للتعريف في ERA. ومثل PRA، يُمكن تعريف ERA بطريقة خالية تمامًا من المنطق ، باستخدام قواعد الاستبدال والاستقراء فقط، ومعادلات تعريفية لجميع الدوال التكرارية الأولية. ولكن على عكس PRA، يُمكن تمييز الدوال التكرارية الأولية من خلال الانغلاق تحت التركيب والإسقاط لعدد محدود من دوال الأساس، وبالتالي لا يلزم سوى عدد محدود من المعادلات التعريفية.

• الدالة الأولية - نوع من الدوال الرياضية 
• التسلسل الهرمي لغريغورتشيك – الدوال في نظرية الحوسبة 
• الرياضيات العكسية – فرع من فروع المنطق الرياضي 
• التحليل الترتيبي – أسلوب رياضي يُستخدم في نظرية البرهان 
• مشكلة جبر المدرسة الثانوية لتارسكي – مشكلة رياضية 

• أفيجاد ، جيريمي (2003)، “نظرية الأعداد والحساب الأولي”، فلسفة الرياضيات ، السلسلة الثالثة، 11 (3): 257–284 ، دوى : 10.1093/filmat/11.3.257 ، ISSN 0031-8019 ، MR 2006194  
• فريدمان، هارفي (16 أبريل 1999)، "التخمينات الكبرى" ، قائمة بريد FOM ، مؤرشفة من الأصل في 29 نوفمبر 2019
• سيمبسون، ستيفن ج. (2009)، الأنظمة الفرعية للحساب من الدرجة الثانية ، منظورات في المنطق (  الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-88439-6MR 1723993​