دالة الانهيار الترتيبي

أولاً، فكر${\displaystyle C(0)}$يحتوي على أعداد ترتيبية${\displaystyle 0,1,2,3,\omega ,\omega +1,\omega +2,\omega \cdot 2,\omega \cdot 3,\omega ^{2},\omega ^{3},\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }}}$وهكذا دواليك. كما أنها تحتوي على أعداد ترتيبية مثل${\displaystyle \Omega ,\Omega +1,\omega ^{\Omega +1},\Omega ^{\Omega }}$أول عدد ترتيبي لا يحتوي عليه هو${\displaystyle \varepsilon _{0}}$(وهو الحد الأقصى لـ${\displaystyle \omega }$،${\displaystyle \omega ^{\omega }}$،${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}}$وهكذا دواليك — أقل من${\displaystyle \Omega }$(بافتراض). الحد الأعلى للأعداد الترتيبية التي يحتويها هو${\displaystyle \varepsilon _{\Omega +1}}$(حد${\displaystyle \Omega }$،${\displaystyle \Omega ^{\Omega }}$،${\displaystyle \Omega ^{\Omega ^{\Omega }}}$وهكذا)، لكن هذا ليس مهمًا جدًا. هذا يدل على أن${\displaystyle \psi (0)=\varepsilon _{0}}$.

بصورة مماثلة،${\displaystyle C(1)}$يحتوي على الأعداد الترتيبية التي يمكن تكوينها من${\displaystyle 0}$،${\displaystyle 1}$،${\displaystyle \omega }$،${\displaystyle \Omega }$وهذه المرة أيضاً${\displaystyle \varepsilon _{0}}$باستخدام الجمع والضرب والأسس. يحتوي هذا على جميع الأعداد الترتيبية حتى${\displaystyle \varepsilon _{1}}$لكن ليس الأخير، لذلك${\displaystyle \psi (1)=\varepsilon _{1}}$وبهذه الطريقة، نثبت أن${\displaystyle \psi (\alpha )=\varepsilon _{\alpha }}$استقرائيًا على${\displaystyle \alpha }$لكن البرهان لا ينجح إلا طالما${\displaystyle \alpha <\varepsilon _{\alpha }}$وبالتالي لدينا:

${\displaystyle \psi (\alpha )=\varepsilon _{\alpha }=\varphi _{1}(\alpha )}$للجميع${\displaystyle \alpha \leq \zeta _{0}}$، أين${\displaystyle \zeta _{0}=\varphi _{2}(0)}$هي أصغر نقطة ثابتة لـ${\displaystyle \alpha \mapsto \varepsilon _{\alpha }}$.

(هنا، الـ${\displaystyle \varphi }$الدوال هي دوال فيبلن المعرفة بدءًا من${\displaystyle \varphi _{1}(\alpha )=\varepsilon _{\alpha }}$.)

الآن${\displaystyle \psi (\zeta _{0})=\zeta _{0}}$لكن${\displaystyle \psi (\zeta _{0}+1)}$ليس أكبر من ذلك، لأن${\displaystyle \zeta _{0}}$لا يمكن بناؤها باستخدام تطبيقات محدودة من${\displaystyle \varphi _{1}\colon \alpha \mapsto \varepsilon _{\alpha }}$وبالتالي لا ينتمي أبدًا إلى${\displaystyle C(\alpha )}$تم ضبطه لـ${\displaystyle \alpha \leq \Omega }$، والوظيفة${\displaystyle \psi }$لا يزال "عالقا" عند${\displaystyle \zeta _{0}}$لبعض الوقت:

${\displaystyle \psi (\alpha )=\zeta _{0}}$للجميع${\displaystyle \zeta _{0}\leq \alpha \leq \Omega }$.

مرة أخرى،${\displaystyle \psi (\Omega )=\zeta _{0}}$لكن عندما نتطرق إلى الحوسبة${\displaystyle \psi (\Omega +1)}$لقد تغير شيء ما: منذ${\displaystyle \Omega }$تمت إضافتها "بشكل مصطنع" إلى جميع${\displaystyle C(\alpha )}$يُسمح لنا بأخذ القيمة${\displaystyle \psi (\Omega )=\zeta _{0}}$في هذه العملية.${\displaystyle C(\Omega +1)}$يحتوي على جميع الأعداد الترتيبية التي يمكن بناؤها من${\displaystyle 0}$،${\displaystyle 1}$،${\displaystyle \omega }$،${\displaystyle \Omega }$، ال${\displaystyle \varphi _{1}\colon \alpha \mapsto \varepsilon _{\alpha }}$وظيفة تصل إلى${\displaystyle \zeta _{0}}$وهذه المرة أيضاً${\displaystyle \zeta _{0}}$نفسه، باستخدام الجمع والضرب والأسس. أصغر عدد ترتيبي ليس في${\displaystyle C(\Omega +1)}$يكون${\displaystyle \varepsilon _{\zeta _{0}+1}}$(الأصغر)${\displaystyle \varepsilon }$-الرقم بعد${\displaystyle \zeta _{0}}$).

نقول إن التعريف${\displaystyle \psi (\Omega )=\zeta _{0}}$والقيم التالية للدالة${\displaystyle \psi }$مثل${\displaystyle \psi (\Omega +1)=\varepsilon _{\zeta _{0}+1}}$هي غير تنبؤية لأنها تستخدم الأعداد الترتيبية (هنا،${\displaystyle \Omega }$) أكبر من تلك التي يتم تحديدها (هنا،${\displaystyle \zeta _{0}}$).

حقيقة أن${\displaystyle \psi (\Omega +\alpha )}$يساوي${\displaystyle \varepsilon _{\zeta _{0}+\alpha }}$يبقى هذا صحيحاً بالنسبة للجميع${\displaystyle \alpha \leq \zeta _{1}=\varphi _{2}(1)}$(لاحظ، على وجه الخصوص، أن${\displaystyle \psi (\Omega +\zeta _{0})=\varepsilon _{\zeta _{0}\cdot 2}}$لكن منذ الآن الترتيب${\displaystyle \zeta _{0}}$تم إنشاء هذا (ولا يوجد ما يمنع تجاوزه). ومع ذلك، في${\displaystyle \zeta _{1}=\varphi _{2}(1)}$(أول نقطة ثابتة لـ${\displaystyle \alpha \mapsto \varepsilon _{\alpha }}$وَرَاءَ${\displaystyle \zeta _{0}}$ثم يتوقف البناء مرة أخرى، لأن${\displaystyle \zeta _{1}}$لا يمكن بناؤها من أعداد ترتيبية أصغر و${\displaystyle \zeta _{0}}$من خلال تطبيق محدود${\displaystyle \varepsilon }$الدالة. لذلك لدينا${\displaystyle \psi (\Omega \cdot 2)=\zeta _{1}}$.

ويُظهر نفس المنطق أن${\displaystyle \psi (\Omega \cdot (1+\alpha ))=\varphi _{2}(\alpha )}$للجميع${\displaystyle \alpha \leq \varphi _{3}(0)=\eta _{0}}$، أين${\displaystyle \varphi _{2}}$يسرد النقاط الثابتة لـ${\displaystyle \varphi _{1}\colon \alpha \mapsto \varepsilon _{\alpha }}$و${\displaystyle \varphi _{3}(0)}$هي أول نقطة ثابتة لـ${\displaystyle \varphi _{2}}$ثم لدينا${\displaystyle \psi (\Omega ^{2})=\varphi _{3}(0)}$.

مرة أخرى، يمكننا أن نرى ذلك${\displaystyle \psi (\Omega ^{\alpha })=\varphi _{1+\alpha }(0)}$لبعض الوقت: ويظل هذا صحيحًا حتى النقطة الثابتة الأولى${\displaystyle \Gamma _{0}}$ل${\displaystyle \alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)}$وهو الترتيب الترتيبي لـ Feferman–Schütte . وبالتالي،${\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega })=\Gamma _{0}}$هو ترتيبي Feferman-Schütte.

لدينا${\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega }+\Omega ^{\alpha })=\varphi _{\Gamma _{0}+\alpha }(0)}$للجميع${\displaystyle \alpha \leq \Gamma _{1}}$أين${\displaystyle \Gamma _{1}}$هي النقطة الثابتة التالية لـ${\displaystyle \alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)}$لذا، إذا${\displaystyle \alpha \mapsto \Gamma _{\alpha }}$يُعدد النقاط الثابتة المعنية (والتي يمكن ملاحظتها أيضًا)${\displaystyle \varphi (1,0,\alpha )}$باستخدام دوال فيبلن متعددة القيم، لدينا${\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega }(1+\alpha ))=\Gamma _{\alpha }}$، حتى النقطة الثابتة الأولى${\displaystyle \varphi (1,1,0)}$التابع${\displaystyle \alpha \mapsto \Gamma _{\alpha }}$نفسها، والتي ستكون${\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega +1})}$(والنقطة الثابتة الأولى)${\displaystyle \varphi (2,0,0)}$التابع${\displaystyle \alpha \mapsto \varphi (1,\alpha ,0)}$ستكون الوظائف${\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega \cdot 2})}$). بهذه الطريقة:

• ${\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega ^{2}})}$هو الترتيب أكرمان (نطاق الترميز)${\displaystyle \varphi (\alpha ,\beta ,\gamma )}$(معرّفة بشكل تنبؤي)،
• ${\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega ^{\omega }})}$هو الترتيب "الصغير" لفيبلن (نطاق الرموز)${\displaystyle \varphi (\cdot )}$(معرّفة تنبؤياً باستخدام عدد محدود من المتغيرات)،
• ${\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega ^{\Omega }})}$هو الترتيب "الكبير" لفيبلن (نطاق الرموز)${\displaystyle \varphi (\cdot )}$(معرّفة تنبؤياً باستخدام عدد لا نهائي من المتغيرات ولكن تنبؤياً).
• الحد${\displaystyle \psi (\varepsilon _{\Omega +1})}$ل${\displaystyle \psi (\Omega )}$،${\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega })}$،${\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega ^{\Omega }})}$إلخ، هو الترتيب الترتيبي لباخمان-هوارد : بعد ذلك دالتنا${\displaystyle \psi }$ثابت، ولا يمكننا المضي قدماً بالتعريف الذي قدمناه.

تذكر أنه إذا${\displaystyle \delta }$هو عدد ترتيبي يمثل قوة من${\displaystyle \omega }$(على سبيل المثال${\displaystyle \omega }$نفسها، أو${\displaystyle \varepsilon _{0}}$، أو${\displaystyle \Omega }$), أي عدد ترتيبي${\displaystyle \alpha }$يمكن التعبير عنها بشكل فريد في الشكل${\displaystyle \delta ^{\beta _{1}}\gamma _{1}+\ldots +\delta ^{\beta _{k}}\gamma _{k}}$، أين${\displaystyle k}$هو عدد طبيعي ،${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{k}}$هل الأعداد الترتيبية غير الصفرية أقل من${\displaystyle \delta }$، و${\displaystyle \beta _{1}>\beta _{2}>\cdots >\beta _{k}}$هي أعداد ترتيبية (نسمح بها)${\displaystyle \beta _{k}=0}$). هذه "القاعدة${\displaystyle \delta }$يُعدّ "التمثيل" تعميمًا واضحًا للشكل الطبيعي لكانتور (وهو الحال).${\displaystyle \delta =\omega }$). بالطبع، قد يكون التعبير غير مثير للاهتمام، أي${\displaystyle \alpha =\delta ^{\alpha }}$أما في أي حالة أخرى${\displaystyle \beta _{i}}$يجب أن تكون جميعها أقل من${\displaystyle \alpha }$قد يكون التعبير تافهاً أيضاً (أي،${\displaystyle \alpha <\delta }$وفي هذه الحالة${\displaystyle k\leq 1}$و${\displaystyle \gamma _{1}=\alpha }$).

لو${\displaystyle \alpha }$هو عدد ترتيبي أقل من${\displaystyle \varepsilon _{\Omega +1}}$ثم قاعدته${\displaystyle \Omega }$التمثيل له معاملات${\displaystyle \gamma _{i}<\Omega }$(بحسب التعريف) والأسس${\displaystyle \beta _{i}<\alpha }$(بسبب الافتراض)${\displaystyle \alpha <\varepsilon _{\Omega +1}}$): وبالتالي يمكن إعادة كتابة هذه الأسس في الأساس${\displaystyle \Omega }$ونكرر العملية حتى تنتهي (أي تسلسل تنازلي من الأعداد الترتيبية يكون محدودًا). ​​نسمي التعبير الناتج بالقاعدة المتكررة${\displaystyle \Omega }$تمثيل لـ${\displaystyle \alpha }$والمعاملات المختلفة المستخدمة (بما في ذلك الأسس) هي أجزاء التمثيل (جميعها${\displaystyle <\Omega }$أو باختصار، الـ${\displaystyle \Omega }$-قطع من${\displaystyle \alpha }$.

• الوظيفة${\displaystyle \psi }$غير متناقصة ومتصلة (وهذا واضح إلى حد ما من تعريفها).
• لو${\displaystyle \psi (\alpha )=\psi (\beta )}$مع${\displaystyle \beta <\alpha }$ثم بالضرورة${\displaystyle C(\alpha )=C(\beta )}$في الواقع، لا يوجد ترتيب${\displaystyle \beta '}$مع${\displaystyle \beta \leq \beta '<\alpha }$يمكن أن ينتمي إلى${\displaystyle C(\alpha )}$(وإلا فإن صورتها بواسطة${\displaystyle \psi }$، وهو${\displaystyle \psi (\alpha )}$سوف ينتمي إلى${\displaystyle C(\alpha )}$— مستحيل)؛ لذا${\displaystyle C(\beta )}$مغلق بكل ما يقع تحته${\displaystyle C(\alpha )}$هو الإغلاق، لذا فهما متساويان.
• أي قيمة${\displaystyle \gamma =\psi (\alpha )}$تم التقاطها بواسطة${\displaystyle \psi }$هو${\displaystyle \varepsilon }$-العدد (أي نقطة ثابتة من${\displaystyle \beta \mapsto \omega ^{\beta }}$في الواقع، لو لم يكن الأمر كذلك، لكان من الممكن التعبير عنه باستخدام المجاميع والضرب والأسس من عناصر أصغر منه، وذلك بكتابته في صيغة كانتور العادية .${\displaystyle C(\alpha )}$لذا سيكون ذلك في${\displaystyle C(\alpha )}$، وهو تناقض.
• اللمة: افترض${\displaystyle \delta }$هو${\displaystyle \varepsilon }$-رقم و${\displaystyle \alpha }$عدد ترتيبي بحيث${\displaystyle \psi (\beta )<\delta }$للجميع${\displaystyle \beta <\alpha }$ثم الـ${\displaystyle \Omega }$- أجزاء (محددة أعلاه ) من أي عنصر من${\displaystyle C(\alpha )}$أقل من${\displaystyle \delta }$في الواقع، دع${\displaystyle C'}$لتكن مجموعة الأعداد الترتيبية التي جميعها${\displaystyle \Omega }$-القطع أقل من${\displaystyle \delta }$. ثم${\displaystyle C'}$مجموعة الأعداد الصحيحة مغلقة تحت عمليات الجمع والضرب والأسس (لأن${\displaystyle \delta }$هو${\displaystyle \varepsilon }$العدد -، لذا فإن الأعداد الترتيبية الأقل منه مغلقة تحت عمليات الجمع والضرب والأسس). و${\displaystyle C'}$يحتوي أيضًا على كل${\displaystyle \psi (\beta )}$ل${\displaystyle \beta <\alpha }$بافتراض، وهو يحتوي${\displaystyle 0}$،${\displaystyle 1}$،${\displaystyle \omega }$،${\displaystyle \Omega }$. لذا${\displaystyle C'\supseteq C(\alpha )}$والذي كان من المقرر عرضه.
• بناءً على فرضية اللمة السابقة،${\displaystyle \psi (\alpha )\leq \delta }$(في الواقع، تُظهر اللمة أن${\displaystyle \delta \not \in C(\alpha )}$).
• أي${\displaystyle \varepsilon }$- عدد أقل من عنصر ما في نطاق${\displaystyle \psi }$وهي نفسها تقع ضمن نطاق${\displaystyle \psi }$(إنه،${\displaystyle \psi }$لا يغفل أي شيء${\displaystyle \varepsilon }$(رقم). في الواقع: إذا${\displaystyle \delta }$هو${\displaystyle \varepsilon }$- رقم لا يتجاوز نطاق${\displaystyle \psi }$، يترك${\displaystyle \alpha }$ليكن الحد الأعلى الأدنى لـ${\displaystyle \beta }$بحيث${\displaystyle \psi (\beta )<\delta }$وبناءً على ما سبق، لدينا${\displaystyle \psi (\alpha )\leq \delta }$، لكن${\displaystyle \psi (\alpha )<\delta }$سيتناقض ذلك مع حقيقة أن${\displaystyle \alpha }$هو الحد الأعلى الأدنى — لذا${\displaystyle \psi (\alpha )=\delta }$.
• حينما${\displaystyle \psi (\alpha )=\delta }$، المجموعة${\displaystyle C(\alpha )}$يتكون بالضبط من تلك الأعداد الترتيبية${\displaystyle \gamma }$(أقل من)${\displaystyle \varepsilon _{\Omega +1}}$) جميعهم${\displaystyle \Omega }$-القطع أقل من${\displaystyle \delta }$في الواقع، نعلم أن جميع الأعداد الترتيبية الأقل من${\displaystyle \delta }$وبالتالي جميع الأعداد الترتيبية (أقل من${\displaystyle \varepsilon _{\Omega +1}}$) لمن${\displaystyle \Omega }$-القطع أقل من${\displaystyle \delta }$، موجودة في${\displaystyle C(\alpha )}$. على العكس من ذلك، إذا افترضنا${\displaystyle \psi (\beta )<\delta }$للجميع${\displaystyle \beta <\alpha }$(بمعنى آخر إذا${\displaystyle \alpha }$هو أقل ما يمكن مع${\displaystyle \psi (\alpha )=\delta }$)، تعطي اللمة الخاصية المطلوبة. من ناحية أخرى، إذا${\displaystyle \psi (\alpha )=\psi (\beta )}$بالنسبة للبعض${\displaystyle \beta <\alpha }$إذن، فقد لاحظنا بالفعل${\displaystyle C(\alpha )=C(\beta )}$ويمكننا الاستبدال${\displaystyle \alpha }$بأقل قدر ممكن مع${\displaystyle \psi (\alpha )=\delta }$.

باستخدام الحقائق المذكورة أعلاه، يمكننا تعريف تدوين ترتيبي (قياسي) لكل${\displaystyle \gamma }$أقل من الترتيب الترتيبي لباخمان-هوارد. نقوم بذلك عن طريق الاستقراء على${\displaystyle \gamma }$.

لو${\displaystyle \gamma }$أقل من${\displaystyle \varepsilon _{0}}$نستخدم الشكل الطبيعي المتكرر لكانتور لـ${\displaystyle \gamma }$وإلا، فهناك أكبر${\displaystyle \varepsilon }$-رقم${\displaystyle \delta }$أقل من أو يساوي${\displaystyle \gamma }$(وذلك لأن مجموعة${\displaystyle \varepsilon }$(الأعداد مغلقة): إذا${\displaystyle \delta <\gamma }$ثم بالاستقراء نكون قد حددنا رمزًا لـ${\displaystyle \delta }$والقاعدة${\displaystyle \delta }$تمثيل لـ${\displaystyle \gamma }$يعطي واحداً لـ${\displaystyle \gamma }$وهكذا نكون قد انتهينا.

يبقى التعامل مع الحالة التي${\displaystyle \gamma =\delta }$هو${\displaystyle \varepsilon }$-الرقم: لقد جادلنا بأنه في هذه الحالة، يمكننا أن نكتب${\displaystyle \delta =\psi (\alpha )}$بالنسبة لبعض الأرقام الترتيبية (التي قد لا تكون قابلة للعد)${\displaystyle \alpha <\varepsilon _{\Omega +1}}$: يترك${\displaystyle \alpha }$ليكن أكبر عدد ترتيبي ممكن (والذي يوجد منذ${\displaystyle \psi }$(متصل). نستخدم القاعدة المتكررة${\displaystyle \Omega }$تمثيل لـ${\displaystyle \alpha }$يبقى أن نثبت أن كل جزء من هذا التمثيل أقل من${\displaystyle \delta }$(لذا فقد حددنا بالفعل رمزًا لذلك). إذا لم يكن الأمر كذلك، فبحسب الخصائص التي أظهرناها،${\displaystyle C(\alpha )}$لا يحتوي${\displaystyle \alpha }$ولكن بعد ذلك${\displaystyle C(\alpha +1)=C(\alpha )}$(يتم إغلاقها في ظل نفس العمليات، لأن قيمة${\displaystyle \psi }$في${\displaystyle \alpha }$لا يمكن أخذها أبداً)، لذلك${\displaystyle \psi (\alpha +1)=\psi (\alpha )=\delta }$، وهو ما يتناقض مع مبدأ الحد الأقصى لـ${\displaystyle \alpha }$.

ملاحظة : في الواقع، لقد حددنا رموزًا قياسية ليس فقط للأعداد الترتيبية الأقل من عدد باخمان-هوارد الترتيبي، ولكن أيضًا لبعض الأعداد الترتيبية غير القابلة للعد، وتحديدًا تلك التي${\displaystyle \Omega }$عدد القطع أقل من العدد الترتيبي لباخمان-هوارد (أي: اكتبها في أساس متكرر)${\displaystyle \Omega }$التمثيل واستخدام التمثيل المتعارف عليه لكل جزء). تُستخدم هذه الصيغة المتعارف عليها لوسائط${\displaystyle \psi }$دالة (والتي قد تكون غير قابلة للعد).

بالنسبة للأعداد الترتيبية الأقل من${\displaystyle \varepsilon _{0}=\psi (0)}$، يتطابق الترميز الترتيبي المتعارف عليه مع الشكل الطبيعي المتكرر لكانتور (بحسب التعريف).

بالنسبة للأعداد الترتيبية الأقل من${\displaystyle \varepsilon _{1}=\psi (1)}$، تتطابق هذه الصيغة مع القاعدة المتكررة${\displaystyle \varepsilon _{0}}$الترميز (حيث تُكتب القطع نفسها بصيغة كانتور العادية المتكررة): على سبيل المثال،${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+\omega }}}$سيتم كتابته${\displaystyle {\varepsilon _{0}}^{\omega ^{\omega }}}$أو، بتعبير أدق،${\displaystyle \psi (0)^{\omega ^{\omega }}}$. بالنسبة للأعداد الترتيبية الأقل من${\displaystyle \varepsilon _{2}=\psi (2)}$وبالمثل، نكتب في قاعدة متكررة${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ثم اكتب الأجزاء في قاعدة متكررة${\displaystyle \varepsilon _{0}}$(واكتب أجزاء ذلك في صيغة كانتور العادية المتكررة): لذلك${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{0}+1}}}$مكتوب${\displaystyle {\varepsilon _{1}}^{\varepsilon _{0}\omega }}$أو، بتعبير أدق،${\displaystyle \psi (1)^{\psi (0)\,\omega }}$وبالتالي، حتى${\displaystyle \zeta _{0}=\psi (\Omega )}$نستخدم دائماً أكبر حجم ممكن${\displaystyle \varepsilon }$- أساس عددي يعطي تمثيلاً غير تافه.

إلى جانب ذلك، قد نحتاج إلى التعبير عن الأعداد الترتيبية بشكل يتجاوز${\displaystyle \Omega }$يتم ذلك دائمًا بشكل متكرر${\displaystyle \Omega }$-القاعدة، ويجب التعبير عن الأجزاء نفسها باستخدام أكبر حجم ممكن${\displaystyle \varepsilon }$- أساس عددي يعطي تمثيلاً غير تافه.

لاحظ أنه بينما${\displaystyle \psi (\varepsilon _{\Omega +1})}$إذا كان يساوي الترتيب الترتيبي لباخمان-هوارد، فهذا ليس "تدوينًا قانونيًا" بالمعنى الذي حددناه (يتم تعريف التدوينات القانونية فقط للأعداد الترتيبية الأقل من الترتيب الترتيبي لباخمان-هوارد).

تتمتع الرموز المحددة بهذه الطريقة بخاصية أنه كلما تداخلت${\displaystyle \psi }$الدوال، وسائط "الداخلية"${\displaystyle \psi }$تكون الدوال دائمًا أقل من دوال الدالة "الخارجية" (وهذا نتيجة لحقيقة أن${\displaystyle \Omega }$-قطع من${\displaystyle \alpha }$، أين${\displaystyle \alpha }$هو الأكبر الممكن بحيث${\displaystyle \psi (\alpha )=\delta }$بالنسبة للبعض${\displaystyle \varepsilon }$-رقم${\displaystyle \delta }$جميعها أقل من${\displaystyle \delta }$(كما أوضحنا أعلاه). على سبيل المثال،${\displaystyle \psi (\psi (\Omega )+1)}$لا يظهر كرمز: إنه تعبير محدد جيدًا (وهو يساوي${\displaystyle \psi (\Omega )=\zeta _{0}}$منذ${\displaystyle \psi }$ثابت بين${\displaystyle \zeta _{0}}$و${\displaystyle \Omega }$)، لكنها ليست تدوينًا ينتج عن الخوارزمية الاستقرائية التي حددناها.

يمكن التحقق من التماثلية بشكل متكرر: يكون التعبير متماثلاً إذا وفقط إذا كان إما الشكل الطبيعي المتكرر لكانتور لعدد ترتيبي أقل من${\displaystyle \varepsilon _{0}}$أو قاعدة متكررة${\displaystyle \delta }$تمثيل جميع أجزائه أساسية، بالنسبة للبعض${\displaystyle \delta =\psi (\alpha )}$أين${\displaystyle \alpha }$وهي مكتوبة بنفسها بلغة التكرار الأساسي${\displaystyle \Omega }$تمثيل جميع أجزائه قانونية وأقل من${\displaystyle \delta }$يتم التحقق من الترتيب عن طريق التدقيق المعجمي على جميع المستويات (مع الأخذ في الاعتبار أن${\displaystyle \Omega }$أكبر من أي تعبير تم الحصول عليه بواسطة${\displaystyle \psi }$وبالنسبة للقيم الأساسية، كلما كانت القيمة أكبر${\displaystyle \psi }$دائماً ما يتفوق على المجاميع والمنتجات والأسس الأصغر أو حتى المجاميع والمنتجات والأسس التعسفية الأصغر).

على سبيل المثال،${\displaystyle \psi (\Omega ^{\omega +1}\,\psi (\Omega )+\psi (\Omega ^{\omega })^{\psi (\Omega ^{2})}42)^{\psi (1729)\,\omega }}$هو رمز معياري لعدد ترتيبي أصغر من عدد فيفرمان-شوت الترتيبي: ويمكن كتابته باستخدام دوال فيبلن كما يلي:${\displaystyle \varphi _{1}(\varphi _{\omega +1}(\varphi _{2}(0))+\varphi _{\omega }(0)^{\varphi _{3}(0)}42)^{\varphi _{1}(1729)\,\omega }}$.

فيما يتعلق بالترتيب، يمكن الإشارة إلى أن${\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega })}$(الترتيبي فيفرمان-شوت) هو أكثر بكثير من${\displaystyle \psi (\Omega ^{\psi (\Omega )})=\varphi _{\varphi _{2}(0)}(0)}$(لأن${\displaystyle \Omega }$أكبر من${\displaystyle \psi }$(من أي شيء)، و${\displaystyle \psi (\Omega ^{\psi (\Omega )})=\varphi _{\varphi _{2}(0)}(0)}$هو في حد ذاته أكثر بكثير من${\displaystyle \psi (\Omega )^{\psi (\Omega )}=\varphi _{2}(0)^{\varphi _{2}(0)}}$(لأن${\displaystyle \Omega ^{\psi (\Omega )}}$أكبر من${\displaystyle \Omega }$لذا فإن أي تعبير مجموع-ضرب أو أسّي يتضمن${\displaystyle \psi (\Omega )}$وستبقى القيمة الأصغر أقل من${\displaystyle \psi (\Omega ^{\Omega })}$). في الحقيقة،${\displaystyle \psi (\Omega )^{\psi (\Omega )}}$وهو بالفعل أقل من${\displaystyle \psi (\Omega +1)}$.