عدم القدرة على التنبؤ

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

في الرياضيات والمنطق وفلسفة الرياضيات ، يُعدّ التعريف غير التنبؤي تعريفًا يشير إلى نفسه . وبشكل عام، يكون التعريف غير تنبؤي إذا استدعى (ذكر أو كمّم) المجموعة المُعرَّفة، أو ( وهو الأكثر شيوعًا) مجموعة أخرى تحتوي على الشيء المُعرَّف. لا يوجد تعريف دقيق مُتفق عليه عمومًا لما يعنيه أن يكون التعريف تنبؤيًا أو غير تنبؤي. وقد قدّم المؤلفون تعريفات مختلفة ولكنها مترابطة.

عكس عدم القدرة على التنبؤ هو القدرة على التنبؤ، والتي تنطوي أساسًا على بناء نظريات متدرجة (أو متفرعة) حيث يؤدي التحديد الكمي لنوع ما على مستوى معين إلى ظهور أنواع على مستوى جديد أعلى. ومن الأمثلة النموذجية على ذلك نظرية الأنواع الحدسية ، التي تحتفظ بالتفرع (دون المستويات الصريحة) للتخلص من عدم القدرة على التنبؤ. وتتوافق "المستويات" هنا مع عدد طبقات التبعية في تعريف المصطلح.

مفارقة راسل مثال شهير على بناء غير تنبؤي، وتحديدًا مجموعة جميع المجموعات التي لا تحتوي على نفسها. تكمن المفارقة في أن مثل هذه المجموعة لا يمكن أن توجد: فلو وُجدت، لكان السؤال مطروحًا: هل تحتوي على نفسها أم لا؟ فإذا كانت تحتوي عليها، فمن المفترض، بحسب التعريف، ألا تحتويها، وإذا كانت لا تحتويها، فمن المفترض، بحسب التعريف، أن تحتويها.

الحد الأدنى الأكبر لمجموعة X ، glb ( X ) ، له تعريف غير تنبؤي: y = glb( X ) إذا وفقط إذا كان لكل عنصر x من X ، يكون y أصغر من أو يساوي x ، وأي z أصغر من أو يساوي جميع عناصر X يكون أصغر من أو يساوي y . يُحدد هذا التعريف كميًا على المجموعة (التي قد تكون لانهائية ، اعتمادًا على الترتيب المُستخدم) التي تُمثل عناصرها الحدود الدنيا لـ X ، ومنها glb نفسه. لذا، فإن المذهب التنبؤي يرفض هذا التعريف. [ 1 ]

تاريخ

المعايير (التي تحتوي على متغير واحد) التي لا تحدد فئات أقترح تسميتها غير تنبؤية ؛ أما تلك التي تحدد فئات فسأسميها تنبؤية .

— ( راسل 1907 ، ص 34) (استخدم راسل كلمة "norm" بمعنى قضية: شيء يمكن أن يأخذ القيم "صحيح" أو "خطأ".)

تم تقديم مصطلحي "التنبؤي" و "التنبؤي" بواسطة برتراند راسل ، على الرغم من أن المعنى قد تغير قليلاً منذ ذلك الحين.

يقدم سولومون فيفرمان مراجعة تاريخية لمفهوم التنبؤ، ويربطه بمشاكل البحث البارزة الحالية. [ 2 ]

اقترح هنري بوانكاريه (1905-1906، 1908) [ 3 ] وبرتراند راسل مبدأ الحلقة المفرغة في أعقاب المفارقات كشرط لتحديد المجموعات المشروعة. وتُسمى المجموعات التي لا تستوفي هذا الشرط بالمجموعات غير التنبؤية .

ظهرت أول مفارقة حديثة مع سؤال سيزار بورالي فورتي عام 1897 حول الأعداد المتسامية [ 4 ] ، وعُرفت لاحقًا باسم مفارقة بورالي فورتي . ويبدو أن جورج كانتور قد اكتشف المفارقة نفسها في نظريته "الساذجة" للمجموعات ، وعُرفت هذه المفارقة باسم مفارقة كانتور . بدأ وعي راسل بهذه المشكلة في يونيو 1901 [ 5 ] عندما قرأ أطروحة فريجه في المنطق الرياضي ، Begriffsschrift عام 1879 ؛ والجملة المثيرة للجدل في كتاب فريجه هي التالية:

من ناحية أخرى، قد يكون الوسيط محدداً والدالة غير محددة. [ 6 ]

بمعنى آخر، إذا كانت f ( a ) دالة، فإن f هي المتغير و a هو الجزء الثابت. فلماذا لا نستبدل قيمة f ( a ) بقيمة f نفسها؟ كتب راسل على الفور رسالة إلى فريجه يشير فيها إلى ما يلي:

تقول... إن الدالة أيضًا يمكن أن تعمل كعنصر غير محدد. كنتُ أؤمن بهذا سابقًا، لكن هذا الرأي يبدو لي الآن موضع شك بسبب التناقض التالي. ليكن w هو المسند: أن يكون مسندًا لا يمكن إسناده إلى نفسه. هل يمكن إسناد w إلى نفسه؟ من كل إجابة يتبع نقيضها. لذلك يجب أن نستنتج أن w ليس مسندًا. وبالمثل، لا توجد فئة (ككل) من تلك الفئات التي، إذا أُخذت كل منها ككل، لا تنتمي إلى نفسها. من هذا أستنتج أنه في ظل ظروف معينة، لا تُشكل مجموعة قابلة للتعريف كليًا. [ 7 ]

رد فريجه على راسل على الفور معترفاً بالمشكلة:

لقد أثار اكتشافك لهذا التناقض دهشتي الكبرى، بل وأكاد أقول ذهولي، لأنه زعزع الأساس الذي كنت أنوي بناء علم الحساب عليه. [ 8 ]

رغم أن المشكلة خلّفت عواقب شخصية وخيمة على الرجلين (إذ كان لكليهما أعمال في المطبعة استدعت التعديل)، يلاحظ فان هيجينورت أن "المفارقة هزّت عالم المنطق، ولا تزال أصداءها تتردد حتى اليوم... مفارقة راسل، التي تستخدم المفهومين الأساسيين للمجموعة والعنصر، تندرج ضمن مجال المنطق. وقد نشرها راسل لأول مرة في كتابه "مبادئ الرياضيات " (1903)، ونوقشت فيه بتفصيل كبير...". [ 9 ] بعد ست سنوات من المحاولات غير الموفقة، أجاب راسل أخيرًا على المسألة بنظريته عن الأنواع عام 1908 ، وذلك من خلال "طرح بديهية الاختزال . تنص هذه البديهية على أن أي دالة متطابقة مع ما يسميه الدالة التنبؤية : وهي دالة لا تتجاوز فيها أنواع المتغيرات الظاهرة أنواع الوسائط". [ 10 ] لكن هذه "البديهية" قوبلت بمقاومة من جميع الجهات.

يؤدي رفض الكائنات الرياضية المُعرَّفة تعريفًا غير تنبؤي (مع قبول الأعداد الطبيعية بمفهومها الكلاسيكي) إلى ظهور موقف في فلسفة الرياضيات يُعرف بالتنبؤية، والذي دافع عنه هنري بوانكاريه وهيرمان فايل في كتابه "الكونتينيوم" . وقد جادل بوانكاريه وفايل بأن التعريفات غير التنبؤية لا تُشكّل إشكالية إلا عندما تكون مجموعة واحدة أو أكثر من المجموعات الأساسية لانهائية.

في كتابه "برهان جديد على إمكانية الترتيب الجيد " الصادر عام ١٩٠٨ [ ١١ ] ، خصص إرنست زيرميلو قسمًا كاملاً بعنوان "ب. اعتراض على التعريف غير التنبؤي "، حيث جادل فيه ضد "بوانكاريه (١٩٠٦، ص  ٣٠٧) [الذي ينص على أن] التعريف يكون "تنبؤيًا" ومقبولًا منطقيًا فقط إذا استبعد جميع الأشياء التي تعتمد على المفهوم المُعرَّف، أي التي يمكن تحديدها من خلاله بأي شكل من الأشكال". [ ١٢ ] ويقدم زيرميلو مثالين على التعريفات غير التنبؤية : (١) مفهوم سلاسل ديديكيند، و(٢) "في التحليل، حيثما يُستخدم الحد الأقصى أو الأدنى لمجموعة أعداد "مكتملة" مُعرَّفة مسبقًا Z لاستنتاجات إضافية. يحدث هذا، على سبيل المثال، في برهان كوشي المعروف...". [ 13 ] ويختتم قسمه بالملاحظة التالية: "قد يعتمد التعريف على مفاهيم مكافئة للمفهوم المراد تعريفه؛ في الواقع، في كل تعريف، يكون كل من "المُعَرَّف" و "المُعَرَّف" مفهومين متكافئين، والالتزام الصارم بمطلب بوانكاريه سيجعل كل تعريف، وبالتالي كل العلوم، مستحيلاً". [ 14 ]

يظهر مثال زيرميلو عن الحد الأدنى والحد الأقصى لمجموعة أعداد "مكتملة" مُعرَّفة مسبقًا في كلين 1952: 42-42، حيث يستخدم كلين مثال الحد الأعلى الأدنى في مناقشته للتعريفات غير التنبؤية؛ إلا أن كلين لا يحل هذه المشكلة. في الفقرات التالية، يناقش محاولة فايل في كتابه " المتصل" ( Das Kontinuum ) الصادر عام 1918 للتخلص من التعريفات غير التنبؤية، وفشله في الإبقاء على "النظرية القائلة بأن أي مجموعة غير فارغة M من الأعداد الحقيقية التي لها حد أعلى لها حد أعلى أدنى (انظر أيضًا فايل 1919)". [ 15 ]

جادل رامزي بأن التعريفات "غير التنبؤية" قد تكون غير ضارة: فعلى سبيل المثال، يُعد تعريف "أطول شخص في الغرفة" تعريفًا غير تنبؤي، لأنه يعتمد على مجموعة من الأشياء التي ينتمي إليها، وهي مجموعة جميع الأشخاص في الغرفة. وفي الرياضيات، يُعد أصغر عدد في مجموعة مثالًا على التعريف غير التنبؤي، ويُعرَّف رسميًا على النحو التالي: y = min( X ) إذا وفقط إذا كان لكل عنصر x من عناصر X ، يكون y أصغر من أو يساوي x ، ويكون y عنصرًا في X.

يناقش بورغيس (2005) النظريات التنبؤية وغير التنبؤية بالتفصيل، في سياق منطق فريجه ، وحساب بيانو ، والحساب من الدرجة الثانية ، ونظرية المجموعات البديهية .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ كلين 1952:42–43
  2. ↑ سولومون فيفرمان، " التنبؤ " (2002)
  3. ↑ التواريخ مستمدة من كلين 1952:42
  4. ↑ تعليق فان هيجنورت قبل تعليق بورالي فورتي (1897) سؤال حول الأعداد العابرة للحدود في فان هيجينورت 1967:104؛ انظر أيضًا تعليقه قبل رسالة جورج كانتور (1899) إلى ديديكيند في فان هيجنورت 1967: 113
  5. ^ تعليق فان هيجنورت قبل رسالة برتراند راسل إلى فريجه في فان هيجنورت 1967:124
  6. ^ جوتلوب فريجه (1879) Begriffsschrift in van Heijenoort 1967:23
  7. ^ رسالة برتراند راسل إلى فريجه عام 1902 في فان هايجنورت 1967: 124-125
  8. ^ رسالة جوتلوب فريجه (1902) إلى راسل في فان هيجينورت 1967: 127
  9. ^ تعليق فان هايجنورت قبل رسالة برتراند راسل (1902)1967:124
  10. ↑ تعليق ويلارد ف. كواين قبل كتاب برتراند راسل عام 1908: المنطق الرياضي القائم على نظرية الأنواع
  11. ↑ زيرميلو 1908 .
  12. ↑ فان هيجينورت 1967:190
  13. ^ فان هيجينورت 1967: 190–191
  14. ↑ فان هيجينورت 1967:191
  15. ↑ كلين 1952:43

مراجع

  • فيزر، جيمس؛ داودن، برادلي (محرران)، "التعريفات التنبؤية وغير التنبؤية" ، موسوعة الإنترنت للفلسفة ، ISSN 2161-0002 ، OCLC 37741658  
  • مقال من موقع PlanetMath حول نظرية التنبؤ
  • جون بورغيس ، 2005. إصلاح فريجه . مطبعة جامعة برينستون.
  • سولومون فيفرمان ، 2005، " التنبؤية " في كتاب أكسفورد في فلسفة الرياضيات والمنطق . مطبعة جامعة أكسفورد: 590-624.
  • راسل، ب. (1907)، "حول بعض الصعوبات في نظرية الأعداد المتسامية وأنواع الترتيب" ، وقائع جمعية لندن الرياضية، المجلد 2-4 (1): 29-53 ، doi : 10.1112/plms/s2-4.1.29
  • ستيفن سي. كلين، 1952 (طبعة 1971)، مقدمة في ما وراء الرياضيات ، دار نشر نورث هولاند، أمستردام، نيويورك، رقم ISBN 0-7204-2103-9انظر على وجه الخصوص إلى فقرة ١١ بعنوان "المفارقات" (ص  ٣٦-٤٠) وفقرة ١٢ بعنوان "الاستنتاجات الأولى من المفارقات : التعريف غير التنبؤي" (ص  ٤٢). يذكر أن أمثلته الستة (الشهيرة) للمفارقات (التناقضات) هي جميعها أمثلة على التعريف غير التنبؤي، ويقول إن بوانكاريه (١٩٠٥-١٩٠٦، ١٩٠٨) وراسل (١٩٠٦، ١٩١٠) "أوضحا أن سبب المفارقات يكمن في هذه التعريفات غير التنبؤية" (ص  ٤٢)، ومع ذلك، "تحتوي أجزاء من الرياضيات التي نرغب في الاحتفاظ بها، وخاصة التحليل، على تعريفات غير تنبؤية أيضًا" (المرجع نفسه). حاول ويل في كتابه عام 1918 ("Das Kontinuum") استنباط أكبر قدر ممكن من التحليل دون استخدام تعريفات غير تنبؤية، "ولكن ليس النظرية القائلة بأن مجموعة M غير فارغة عشوائية من الأعداد الحقيقية التي لها حد أعلى لها حد أعلى أصغر (انظر أيضًا ويل 1919)" (ص  43).
  • هانز رايشنباخ، 1947، عناصر المنطق الرمزي ، منشورات دوفر، نيويورك، رقم ISBN 0-486-24004-5انظر إلى الفقرة 40 من كتابه "التناقضات ونظرية الأنواع" (صفحة  218 - حيث يُبيّن كيفية خلق التناقضات، بما في ذلك تعريف " غير قابل للتنبؤ " نفسه ("هل تعريف "غير قابل للتنبؤ" غير قابل للتنبؤ؟"). ويدّعي أنه يُقدّم طرقًا لإزالة "مفارقات النحو" ("المفارقات المنطقية") - باستخدام نظرية الأنواع - و"مفارقات الدلالة" - باستخدام اللغة الوصفية (نظريته "مستويات اللغة"). وينسب اقتراح هذا المفهوم إلى راسل، وبشكل أكثر تحديدًا إلى رامزي.
  • جان فان هيجينورت ، 1967، الطبعة الثالثة 1976، من فريجه إلى غودل: كتاب مرجعي في المنطق الرياضي، 1879-1931 ، مطبعة جامعة هارفارد، كامبريدج، ماساتشوستس، رقم ISBN 0-674-32449-8(غلاف ورقي)
  • Zermelo، E. (1908)، “Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung” ، Mathematische Annalen (في الألمانية)، 65 : 107– 128، دوى : 10.1007 / BF01450054 ، JFM 38.0096.02