وظيفة VeBLen

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعدّ دوال فيبلن تسلسلاً هرمياً للدوال العادية ( دوال متصلة ومتزايدة تماماً من الأعداد الترتيبية إلى الأعداد الترتيبية) ، وقد قدّمها أوزوالد فيبلن في كتابه (1908) . إذا كانت φ₀ دالة عادية، فإنّ φα ، لأي عدد ترتيبي غير صفري α ، هي الدالة التي تُحصي النقاط الثابتة المشتركة لـ φβ عندما β < α . جميع هذه الدوال عادية.

التسلسل الهرمي فيبلين

في الحالة الخاصة عندما تكون φ₀ ( α ) = ωα ، تُعرف هذه المجموعة من الدوال باسم التسلسل الهرمي لفبلين . الدالة φ₁ هي نفسها الدالة ε : φ₁ ( α ) = εα . [ 1 ] إذاα<β،{\displaystyle \alpha <\beta \,,}ثمφα(φβ(γ))=φβ(γ){\displaystyle \varphi _{\alpha }(\varphi _{\beta }(\gamma ))=\varphi _{\beta }(\gamma )}[ 2 ] من هذا ، ومن حقيقة أن φ β متزايدة تمامًا، نحصل على الترتيب التالي:φα(β)<φγ(دلتا){\displaystyle \varphi _{\alpha }(\beta )<\varphi _{\gamma }(\delta )}إذا وفقط إذا كان أحد (α=γ{\displaystyle \alpha =\gamma }وβ<دلتا{\displaystyle \beta <\delta }) أو (α<γ{\displaystyle \alpha <\gamma }وβ<φγ(دلتا){\displaystyle \beta <\varphi _{\gamma }(\delta )}) أو (α>γ{\displaystyle \alpha >\gamma }وφα(β)<دلتا{\displaystyle \varphi _{\alpha }(\beta )<\delta }). [ 2 ]

التسلسلات الأساسية لتسلسل فيبلين الهرمي

المتتالية الأساسية لعدد ترتيبي ذي نهاية مشتركة ω هي متتالية ω متزايدة تمامًا ومميزة، يكون العدد الترتيبي هو نهايتها. إذا توفرت لدينا متتاليات أساسية لـ α وجميع الأعداد الترتيبية ذات النهايات الأصغر، فيمكننا إنشاء تقابل بنائي صريح بين ω و α (أي تقابل لا يعتمد على بديهية الاختيار ). سنصف هنا المتتاليات الأساسية لتسلسل فيبلن الهرمي للأعداد الترتيبية. سيُشار إلى صورة n تحت المتتالية الأساسية لـ α بالرمز α [ n ].

أحد أشكال صيغة كانتور الطبيعية المستخدمة في سياق التسلسل الهرمي لفيبلن هو: يمكن كتابة كل عدد ترتيبي غير صفري α بشكل فريد على النحو التالي:α=φβ1(γ1)+φβ2(γ2)+⋯+φβك(γك){\displaystyle \alpha =\varphi _{\beta _{1}}(\gamma _{1})+\varphi _{\beta _{2}}(\gamma _{2})+\cdots +\varphi _{\beta _{k}}(\gamma _{k})}، حيث k > 0 عدد طبيعي وكل حد بعد الحد الأول أصغر من أو يساوي الحد السابق،φβم(γم)≥φβم+1(γم+1)،{\displaystyle \varphi _{\beta _{m}}(\gamma _{m})\geq \varphi _{\beta _{m+1}}(\gamma _{m+1})\,,}وكلγم<φβم(γم).{\displaystyle \gamma _{m}<\varphi _{\beta _{m}}(\gamma _{m}).}إذا أمكن توفير متتالية أساسية للحد الأخير، فيمكن استبدال هذا الحد بتلك المتتالية للحصول علىα[ن]=φβ1(γ1)+⋯+φβك-1(γك-1)+(φβك(γك)[ن]).{\displaystyle \alpha [n]=\varphi _{\beta _{1}}(\gamma _{1})+\cdots +\varphi _{\beta _{k-1}}(\gamma _{k-1})+(\varphi _{\beta _{k}}(\gamma _{k})[n])\,.}

لأي قيمة لـ β ، إذا كانت γ نهاية معγ<φβ(γ)،{\displaystyle \gamma <\varphi _{\beta }(\gamma )\,,}ثم دعφβ(γ)[ن]=φβ(γ[ن]).{\displaystyle \varphi _{\beta}(\gamma )[n]=\varphi _{\beta }(\gamma [n])\,.}

لا يمكن توفير مثل هذا التسلسل لـφ0(0){\displaystyle \varphi _{0}(0)}= ω 0 = 1 لأنه ليس له نهاية مشتركة ω.

لφ0(γ+1)=ωγ+1=ωγ⋅ω،{\displaystyle \varphi _{0}(\gamma +1)=\أوميغا ^{\gamma +1}=\أوميغا ^{\gamma }\cdot \أوميغا \,,}نحن نختارφ0(γ+1)[ن]=φ0(γ)⋅ن=ωγ⋅ن.{\displaystyle \varphi _{0}(\gamma +1)[n]=\varphi _{0}(\gamma )\cdot n=\omega ^{\gamma }\cdot n\,.}

لφβ+1(0)،{\displaystyle \varphi _{\beta +1}(0)\,,}نحن نستخدمφβ+1(0)[0]=0{\displaystyle \varphi _{\beta +1}(0)[0]=0}وφβ+1(0)[ن+1]=φβ(φβ+1(0)[ن])،{\displaystyle \varphi _{\beta +1}(0)[n+1]=\varphi _{\beta }(\varphi _{\beta +1}(0)[n])\,,}أي 0،φβ(0){\displaystyle \varphi _{\beta }(0)}،φβ(φβ(0)){\displaystyle \varphi _{\beta }(\varphi _{\beta }(0))}، إلخ..

لφβ+1(γ+1){\displaystyle \varphi _{\beta +1}(\gamma +1)}، نحن نستخدمφβ+1(γ+1)[0]=φβ+1(γ)+1{\displaystyle \varphi _{\beta +1}(\gamma +1)[0]=\varphi _{\beta +1}(\gamma )+1}وφβ+1(γ+1)[ن+1]=φβ(φβ+1(γ+1)[ن]).{\displaystyle \varphi _{\beta +1}(\gamma +1)[n+1]=\varphi _{\beta }(\varphi _{\beta +1}(\gamma +1)[n])\,.}

والآن لنفترض أن β هي نهاية:

لوβ<φβ(0){\displaystyle \beta <\varphi _{\beta }(0)}ثم دعφβ(0)[ن]=φβ[ن](0).{\displaystyle \varphi _{\beta }(0)[n]=\varphi _{\beta [n]}(0)\,.}

لφβ(γ+1){\displaystyle \varphi _{\beta }(\gamma +1)}، يستخدمφβ(γ+1)[ن]=φβ[ن](φβ(γ)+1).{\displaystyle \varphi _{\beta }(\gamma +1)[n]=\varphi _{\beta [n]}(\varphi _{\beta }(\gamma )+1)\,.}

وإلا، فلا يمكن وصف العدد الترتيبي بدلالة أعداد ترتيبية أصغر باستخدامφ{\displaystyle \varphi }وهذا المخطط لا ينطبق عليه.

دالة Γ​

الدالة Γ تعدّد الأعداد الترتيبية α بحيث يكون φ α (0) = α . Γ 0 هو العدد الترتيبي فيفرمان-شوت ، أي أنه أصغر α بحيث يكون φ α (0) = α .

بالنسبة لـ Γ 0 ، يمكن اختيار متتالية أساسية لتكونΓ0[0]=0{\displaystyle \Gamma _{0}[0]=0}وΓ0[ن+1]=φΓ0[ن](0).{\displaystyle \Gamma _{0}[n+1]=\varphi _{\Gamma _{0}[n]}(0)\,.}

لـ Γ β +1 ، ليكنΓβ+1[0]=Γβ+1{\displaystyle \Gamma _{\beta +1}[0]=\Gamma _{\beta }+1}وΓβ+1[ن+1]=φΓβ+1[ن](0).{\displaystyle \Gamma _{\beta +1}[n+1]=\varphi _{\Gamma _{\beta +1}[n]}(0)\,.}

لـ Γ β حيثβ<Γβ{\displaystyle \beta <\Gamma _{\beta }}هذا حد، دعΓβ[ن]=Γβ[ن].{\displaystyle \Gamma _{\beta }[n]=\Gamma _{\beta [n]}\,.}

التعميمات

عدد محدود من المتغيرات

لبناء دالة فيبلن ذات عدد محدود من الوسائط (دالة فيبلن المحدودة)، دع الدالة الثنائيةφ(α،γ){\displaystyle \varphi (\alpha ,\gamma )}يكونφα(γ){\displaystyle \varphi _{\alpha }(\gamma )}كما هو موضح أعلاه.

يتركz{\displaystyle z}أن تكون سلسلة فارغة أو سلسلة تتكون من صفر واحد أو أكثر مفصولة بفواصل0،0،...،0{\displaystyle 0,0,...,0}وs{\displaystyle s}أن تكون سلسلة فارغة أو سلسلة تتكون من عدد ترتيبي واحد أو أكثر مفصولة بفواصلα1،α2،...،αن{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}}معα1>0{\displaystyle \alpha _{1}>0}الدالة الثنائيةφ(β،γ){\displaystyle \varphi (\beta ,\gamma )}يمكن كتابتها على النحو التاليφ(s،β،z،γ){\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )}حيث كلاهماs{\displaystyle s}وz{\displaystyle z}هي سلاسل نصية فارغة. تُعرَّف دوال فيبلن النهائية على النحو التالي:

  • φ(γ)=ωγ{\displaystyle \varphi (\gamma )=\omega ^{\gamma }}
  • φ(z،s،γ)=φ(s،γ){\displaystyle \varphi (z,s,\gamma )=\varphi (s,\gamma )}
  • لوβ>0{\displaystyle \beta >0}، ثمφ(s،β،z،γ){\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )}يشير إلى(1+γ){\displaystyle (1+\gamma )}النقطة الثابتة المشتركة رقم n للدوالξ↦φ(s،دلتا،ξ،z){\displaystyle \xi \mapsto \varphi (s,\delta ,\xi ,z)}لكلدلتا<β{\displaystyle \delta <\beta }

على سبيل المثال،φ(1،0،γ){\displaystyle \varphi (1,0,\gamma )}هو(1+γ){\displaystyle (1+\gamma )}النقطة الثابتة رقم -th للدوالξ↦φ(ξ،0){\displaystyle \xi \mapsto \varphi (\xi ,0)}، أيΓγ{\displaystyle \Gamma _{\gamma }}؛ ثمφ(1،1،γ){\displaystyle \varphi (1,1,\gamma )}يُحصي النقاط الثابتة لتلك الدالة، أي لـξ↦Γξ{\displaystyle \xi \mapsto \Gamma _{\xi }}الوظيفة؛ وφ(2،0،γ){\displaystyle \varphi (2,0,\gamma )}يسرد النقاط الثابتة لجميعξ↦φ(1،ξ،0){\displaystyle \xi \mapsto \varphi (1,\xi ,0)}كل حالة من حالات دوال فيبلن المعممة تكون متصلة في المتغير الأخير غير الصفري (أي، إذا تم تغيير متغير واحد وتم الحفاظ على جميع المتغيرات اللاحقة مساوية للصفر باستمرار).

حدودφ(1،0،...،0){\displaystyle \varphi (1,0,...,0)}حيث يتراوح عدد الأصفار على ω، يُعرف أحيانًا باسم الترتيب "الصغير" لفيبلن .

كل عدد ترتيبي غير صفريα{\displaystyle \alpha }يمكن كتابة عدد أقل من العدد الترتيبي الصغير لفيبلن (SVO) بشكل فريد في الشكل الطبيعي لدالة فيبلن النهائية:

α=φ(s1)+φ(s2)+⋯+φ(sك){\displaystyle \alpha =\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +\varphi (s_{k})}

أين

  • ك{\displaystyle k}هو عدد صحيح موجب
  • φ(s1)≥φ(s2)≥⋯≥φ(sك){\displaystyle \varphi (s_{1})\geq \varphi (s_{2})\geq \cdots \geq \varphi (s_{k})}
  • sم{\displaystyle s_{m}}هي سلسلة تتكون من عدد ترتيبي واحد أو أكثر مفصولة بفواصلαم،1،αم،2،...،αم،نم{\displaystyle \alpha _{m,1},\alpha _{m,2},...,\alpha _{m,n_{m}}}أينαم،1>0{\displaystyle \alpha _{m,1}>0}وكلαم،أنا<φ(sم){\displaystyle \alpha _{m,i}<\varphi (s_{m})}

المتتابعات الأساسية للأعداد الترتيبية الحدية لدالة فيبلن المنتهية

بالنسبة للأعداد الترتيبية الحديةα<SVيا{\displaystyle \alpha <SVO}، مكتوبة بالشكل الطبيعي لدالة فيبلن المنتهية:

  • (φ(s1)+φ(s2)+⋯+φ(sك))[ن]=φ(s1)+φ(s2)+⋯+φ(sك)[ن]{\displaystyle (\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +\varphi (s_{k}))[n]=\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +\varphi (s_{k})[n]}،
  • φ(γ)[ن]={نلوγ=1φ(γ-1)⋅نلوγهو ترتيب لاحقφ(γ[ن])لوγهو ترتيب حدي{\displaystyle \varphi (\gamma )[n]=\left\{{\begin{array}{lcr}n\quad {\text{if}}\quad \gamma =1\\\varphi (\gamma -1)\cdot n\quad {\text{if}}\quad \gamma \quad {\text{is a successor ordinal}}\\\varphi (\gamma [n])\quad {\text{if}}\quad \gamma \quad {\text{is a limit ordinal}}\\\end{array}}\right.}،
  • φ(s،β،z،γ)[0]=0{\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )[0]=0}وφ(s،β،z،γ)[ن+1]=φ(s،β-1،φ(s،β،z،γ)[ن]،z){\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n+1]=\varphi (s,\beta -1,\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n],z)}لوγ=0{\displaystyle \gamma =0}وβ{\displaystyle \beta }هو ترتيب لاحق ،
  • φ(s،β،z،γ)[0]=φ(s،β،z،γ-1)+1{\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )[0]=\varphi (s,\beta ,z,\gamma -1)+1}وφ(s،β،z،γ)[ن+1]=φ(s،β-1،φ(s،β،z،γ)[ن]،z){\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n+1]=\varphi (s,\beta -1,\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n],z)}لوγ{\displaystyle \gamma }وβ{\displaystyle \beta }هي أعداد ترتيبية لاحقة،
  • φ(s،β،z،γ)[ن]=φ(s،β،z،γ[ن]){\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n]=\varphi (s,\beta ,z,\gamma [n])}لوγ{\displaystyle \gamma }هو عدد ترتيبي محدود،
  • φ(s،β،z،γ)[ن]=φ(s،β[ن]،z،γ){\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n]=\varphi (s,\beta [n],z,\gamma )}لوγ=0{\displaystyle \gamma =0}وβ{\displaystyle \beta }هو عدد ترتيبي محدود،
  • φ(s،β،z،γ)[ن]=φ(s،β[ن]،φ(s،β،z،γ-1)+1،z){\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n]=\varphi (s,\beta [n],\varphi (s,\beta ,z,\gamma -1)+1,z)}لوγ{\displaystyle \gamma }هو ترتيب لاحق وβ{\displaystyle \beta }هو عدد ترتيبي حدي.

عدد لا نهائي من المتغيرات

بشكلٍ أعم، بيّن فيبلين أنه يمكن تعريف الدالة φ حتى بالنسبة لتسلسلٍ متسامٍ من الأعداد الترتيبية α β ، بشرط أن تكون جميعها أصفارًا باستثناء عددٍ محدود. لاحظ أنه إذا تم اختيار تسلسلٍ كهذا من الأعداد الترتيبية من بين الأعداد الأقل من عددٍ أصلي منتظم غير قابل للعد κ، فإنه يمكن ترميز التسلسل كعددٍ ترتيبي واحد أقل من κ ( رفع الأعداد الترتيبية إلى أس). إذن، نحن نُعرّف دالة φ من κ إلى κ.

يمكن إعطاء التعريف على النحو التالي: ليكن α سلسلة متلاشية من الأعداد الترتيبية (أي دالة ترتيبية ذات دعم محدود) تنتهي بالصفر (أي بحيث α 0 =0)، وليكن α [γ@0] يرمز إلى نفس الدالة حيث تم استبدال الصفر الأخير بـ γ. ثم يتم تعريف γ↦φ( α [γ@0]) على أنها الدالة التي تحصي النقاط الثابتة المشتركة لجميع الدوال ξ↦φ( β ) حيث تتراوح β على جميع المتتاليات التي يتم الحصول عليها عن طريق تقليل أصغر قيمة غير صفرية لـ α واستبدال بعض القيم ذات الفهرس الأصغر بالقيمة غير المحددة ξ (أي، β = α [ζ@ι 0 ,ξ@ι] مما يعني أنه بالنسبة لأصغر فهرس ι 0 بحيث تكون α ι 0 غير صفرية، فقد تم استبدال الأخيرة بقيمة ζ < α ι 0 ، وأنه بالنسبة لبعض الفهرس الأصغر ι < ι 0 ، فقد تم استبدال القيمة α ι =0 بـ ξ).

على سبيل المثال، إذا كانت α = (1@ ω ) تشير إلى المتتالية المتسامية ذات القيمة 1 عند ω و 0 في كل مكان آخر، فإن φ(1@ω) هي أصغر نقطة ثابتة لجميع الدوال ξ↦φ(ξ,0,...,0) ذات عدد محدود من الأصفار النهائية (وهي أيضًا نهاية φ(1,0,...,0) ذات عدد محدود من الأصفار، الترتيب الصغير لفبلين).

أصغر عدد ترتيبي α بحيث يكون α أكبر من φ عند تطبيقه على أي دالة ذات دعم في α (أي التي لا يمكن الوصول إليها "من الأسفل" باستخدام دالة فيبلن ذات عدد لا نهائي من المتغيرات) يُعرف أحيانًا باسم عدد فيبلن "الكبير" أو عدد فيبلن "العظيم". [ 3 ]

مبسط

فيما يلي نسخة مبسطة من دالة فيبلن المتسامية:

نُعدِّل هذا لاستخدام الدوال (ذات الدعم المحدود) من فئة جميع الأعداد الترتيبية إلى نفسها كمدخلات. يمكن ترميز هذه الدوال بواسطة مجموعة (بدلاً من فئة محددة) كما يلي:

  • المجموعة هي مجموعة منتهية (ربما فارغة) من الأزواج المرتبة من الأعداد الترتيبية؛
  • لا يظهر أي عدد ترتيبي أكثر من مرة كأول عنصر في مثل هذا الزوج المرتب ، أي أن الدالة المشفرة ذات قيمة واحدة؛
  • لا يكون العدد الترتيبي في الموضع الثاني في الزوج المرتب صفرًا أبدًا، أي أن القيمة الصفرية تشير إلى عدم وجود زوج مرتب؛
  • عند استخدام المجموعة كدالة، تتم مقارنة الترتيب المدخل بالأعضاء الأولى من الأزواج المرتبة، إذا تطابق مع واحد، فسيتم إرجاع العضو الثاني كقيمة؛ وإلا فإن القيمة تكون صفرًا.

باستخدام s و t لمثل هذه المجموعات و α و β و γ و δ للأعداد الترتيبية، تكون التعريفات كالتالي:

s<ت⟺s(α)<ت(α) أين α=الأعلى{0،β:s(β)≠ت(β)}{\displaystyle s<t\iff s(\alpha )<t(\alpha ){\text{ where }}\alpha =\max\{0,\beta :s(\beta )\neq t(\beta )\}}؛
دϕ(s)=الأعلى{0،α،β:⟨α،β⟩∈s}{\displaystyle D_{\phi }(s)=\max\{0,\alpha ,\beta :\langle \alpha ,\beta \rangle \in s\}} ;
ϕ(s)=معلومات{γ:دϕ(s)≤γ∧0<γ∧∀دلتا<γ(دلتا+دلتا<γ)∧∀ت<s(دϕ(ت)<γ⟹ϕ(ت)<γ)}{\displaystyle \phi (s)=\inf \,\{\gamma :D_{\phi }(s)\leq \gamma \land 0<\gamma \land \forall \delta <\gamma (\delta +\delta <\gamma )\land \forall t<s(D_{\phi }(t)<\gamma \implies \phi (t)<\gamma )\}}لاحظ أن γ هي قوة لـ ω .

تبدأ الرموز في هذا النظام بالدالة الصفرية 0، وتستخدم دالة الجمع الثنائية + لدمج قوى ω التي تأتي من تطبيق دالة فيبلن المتسامية φ على هذه الدوال المشفرة بالمجموعات.

1=ω0=ϕ({}){\displaystyle 1=\omega ^{0}=\phi (\{\})}؛
2=1+1{\displaystyle 2=1+1}؛
ω=ω1=ϕ({⟨0،1⟩}){\displaystyle \omega =\omega ^{1}=\phi (\{\langle 0,1\rangle \})}؛
ω2=ϕ({⟨0،2⟩}){\displaystyle \omega ^{2}=\phi (\{\langle 0,2\rangle \})}؛
ϵ0=ϕ({⟨1،1⟩})=ϕ({⟨0،ϵ0⟩}){\displaystyle \epsilon _{0}=\phi (\{\langle 1,1\rangle \})=\phi (\{\langle 0,\epsilon _{0}\rangle \})}نقطة ثابتة؛
ϵ1=ϕ({⟨1،1⟩،⟨0،1⟩}){\displaystyle \epsilon _{1}=\phi (\{\langle 1,1\rangle ,\langle 0,1\rangle \})}؛
Γ0=ϕ({⟨2،1⟩}){\displaystyle \Gamma _{0}=\phi (\{\langle 2,1\rangle \})}؛
Γ1=ϕ({⟨2،1⟩،⟨0،1⟩}){\displaystyle \Gamma _{1}=\phi (\{\langle 2,1\rangle ,\langle 0,1\rangle \})}؛
SVيا=ϕ({⟨ω،1⟩})=ϕ({⟨0،SVيا⟩}){\displaystyle SVO=\phi (\{\langle \omega ,1\rangle \})=\phi (\{\langle 0,SVO\rangle \})}العدد الترتيبي الصغير فيبلن هو عدد إبسيلون؛
SVيا⋅2=SVيا+SVيا{\displaystyle SVO\cdot 2=SVO+SVO}؛
SVيا2=ϕ({⟨0،SVيا⋅2⟩}){\displaystyle SVO^{2}=\phi (\{\langle 0,SVO\cdot 2\rangle \})}.

إلخ.

كم مرة يمكن أن تأخذ φ قيمة معينة؟ القيم دائماً ما تكون قوى لـ ω .

ω0=1=ϕ({})؛0<α⟹ωα=ϕ({⟨0،α⟩}){\displaystyle \omega ^{0}=1=\phi (\{\});0<\alpha \implies \omega ^{\alpha }=\phi (\{\langle 0,\alpha \rangle \})}.

إذن، قوى ω هي قيم لـ φ مرة واحدة على الأقل. أعداد إبسيلون هي نقاط ثابتة من ذلك، لذا فهي قيم لـ φ مرتين على الأقل. بعض الأعداد الترتيبية لها قيم لـ φ بشكل لا نهائي. على سبيل المثال، Ω هي قيمة لـ φ عدد لا يُحصى من المرات.

دϕ(s)<ϕ(s)∧s<ت⟹ϕ(ت)≠ϕ(s){\displaystyle D_{\phi }(s)<\phi (s)\land s<t\implies \phi (t)\neq \phi (s)}.

إذا كان D φ < φ ، فهذه هي المرة الأخيرة التي يمكن أن تأخذ فيها φ تلك القيمة. لذا، فإن D φ = φ هو المعيار للأعداد الترتيبية التي تتكرر قيمها أكثر من مرة. أما D φ > φ فلا يحدث أبدًا.

∄s(دϕ(s)<Ω=ϕ(s)){\displaystyle \not \exists s(D_{\phi }(s)<\Omega =\phi (s))}

وهناك العديد من الأعداد الترتيبية الأخرى التي ينطبق عليها ذلك. جميعها حدود قوية للغاية.

الشكل المُفضّل لـ s لإنتاج قيمة φ ( s ) هو الشكل الذي يكون فيه Dφ( s ) < φ ( s ) . تنص نظرية الترتيب على ما يلي:

دϕ(s)<ϕ(s)∧دϕ(ت)<ϕ(ت)⟹(ϕ(ت)<ϕ(s)⟺(ت<s∧دϕ(ت)<ϕ(s))∨(s<ت∧ϕ(ت)≤دϕ(s))){\displaystyle D_{\phi }(s)<\phi (s)\land D_{\phi }(t)<\phi (t)\implies (\phi (t)<\phi (s)\iff (t<s\land D_{\phi }(t)<\phi (s))\lor (s<t\land \phi (t)\leq D_{\phi }(s)))}؛
ت<s⟹((دϕ(ت)<ϕ(s)⟹ϕ(ت)<ϕ(s))∧(دϕ(ت)=ϕ(s)⟹ϕ(ت)=ϕ(s))∧(دϕ(ت)>ϕ(s)⟹ϕ(ت)>ϕ(s))){\displaystyle t<s\implies ((D_{\phi }(t)<\phi (s)\implies \phi (t)<\phi (s))\land (D_{\phi }(t)=\phi (s)\implies \phi (t)=\phi (s))\land (D_{\phi }(t)>\phi (s)\implies \phi (t)>\phi (s)))}؛
0<ϕ(s){\displaystyle 0<\phi (s)}؛
α+β<ϕ(s)⟺α<ϕ(s)∧β<ϕ(s){\displaystyle \alpha +\beta <\phi (s)\iff \alpha <\phi (s)\land \beta <\phi (s)}.

إذا كان α عددًا ترتيبيًا ليس له شكل مفضل، فإن:

دϕ(s)<α⟹ϕ(s)<α{\displaystyle D_{\phi }(s)<\alpha \implies \phi (s)<\alpha }؛
ϕ({⟨α،1⟩})=α{\displaystyle \phi (\{\langle \alpha ,1\rangle \})=\alpha }؛
{⟨α،1⟩}<s⟹α<ϕ(s){\displaystyle \{\langle \alpha ,1\rangle \}<s\implies \alpha <\phi (s)}؛
دϕ(s)<α∧γ<مين{α،β:⟨β،دلتا⟩∈s}⟹ϕ(s∪{⟨γ،α⟩})=α{\displaystyle D_{\phi }(s)<\alpha \land \gamma <\min\{\alpha ,\beta :\langle \beta ,\delta \rangle \in s\}\ضمني \phi (s\cup \{\langle \gamma ,\alpha \rangle \})=\alpha } ;
ت≠{}∧الأعلى{0،β:⟨β،دلتا⟩∈ت}<γ<مين{γ+1،β:⟨β،دلتا⟩∈s}⟹α<ϕ(s∪{⟨γ،α⟩}∪ت){\displaystyle t\neq \{\}\land \max\{0,\beta :\langle \beta ,\delta \rangle \in t\<\gamma <\min\{\gamma +1,\beta  :\langle \beta ,\delta \rangle \in s\}\implies \alpha <\phi (s\cup \{\langle \gamma ,\alpha \rangle \}\cup t)} ;

يعتمد ترتيب أعداد إبسيلون التي لا تملك شكلاً مفضلاً على كيفية تحديدها. ولتوضيح ذلك، لنفترض أن npα هو تعداد لأعداد إبسيلون التي لا تملك شكلاً مفضلاً. ولنُعرّف أيضاً التعقيد X للأعداد الترتيبية الأقل من npω كما يلي:

X(0)=0{\displaystyle X(0)=0}
β<ϕ(s)⋅ω∧دϕ(s)<ϕ(s)⟹X(ϕ(s)+β)=X(β)+Σ{X(μ)+X(ν):⟨μ،ν⟩∈s}+1{\displaystyle \beta <\phi (s)\cdot \omega \land D_{\phi }(s)<\phi (s)\implies X(\phi (s)+\beta )=X(\beta )+\Sigma \{X(\mu )+X(\nu ):\langle \mu ,\nu \rangle \in s\}+1}
ن<ω∧β<نصن⋅ω⟹X(نصن+β)=X(β)+ن+2.{\displaystyle n<\omega \land \beta <np_{n}\cdot \omega \implies X(np_{n}+\beta )=X(\beta )+n+2.}

التعقيد هو عدد طبيعي (محدود) متى ما تم تعريفه. ولكل عدد طبيعي k، يوجد عدد محدود فقط من الأعداد الترتيبية α التي تأخذ عندها X( α ) القيمة k أو أقل.

المتتابعات الأساسية لدالة فيبلن المتسامية

المتتالية الأساسية للصفر هي المتتالية الفارغة. المتتالية الأساسية لعدد ترتيبي لاحق هي ( α + 1)[0] = α . بالنسبة للأعداد الترتيبية ذات النهاية المشتركة ≥ ω المكتوبة بالصيغة الطبيعية بطول k > 1 و k < ω ، فإن المتتالية الأساسية هي:

(φ(s1)+φ(s2)+⋯+φ(sك))[α]=φ(s1)+φ(s2)+⋯+(φ(sك)[α]).{\displaystyle (\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +\varphi (s_{k}))\,[\alpha ]=\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +(\varphi (s_{k})\,[\alpha ]).}

إذا كان لـ φ ( s ) شكل مفضل وكان أقل من np ω ، أي أنه يجب أن يكون أكبر من D φ ( s )  :

∃ت<s(دϕ(ت)<دϕ(s)∧دϕ(s)≤ϕ(ت))∨دϕ(s)=0∨∃دلتا<دϕ(s)(دϕ(s)≤دلتا+دلتا)،{\displaystyle \exists t<s\,(D_{\phi }(t)<D_{\phi }(s)\land D_{\phi }(s)\leq \phi (t))\lor D_{\phi }(s)=0\lor \exists \delta <D_{\phi }(s)\,(D_{\phi }(s)\leq \delta +\delta ),}

عندئذٍ يمكننا تعريف المتتالية الأساسية لـ φ ( s ) بواسطة ( φ ( s )) [ n ] = ρ n حيث:

ρ0=دϕ(s){\displaystyle \rho _{0}=D_{\phi }(s)}
ρن+1=رشفة{μ:∃ت<s(μ=ϕ(ت)∧دϕ(ت)≤ρن∧X(ϕ(ت))≤ن)∨μ=1∨μ=ρن+ρن}{\displaystyle \rho _{n+1}=\sup\{\mu يوجد t<sub>s</sub>(μ = φ(t) ≤ Dφ(t) ≤ ρ<sub>n</sub> ≤ X(φ(t)) ≤ n) ≤ μ = 1 ≤ μ = ρ<sub>n</sub> + ρ<sub>n</sub> و
ρω=رشفة{ρن:ن<ω}.{\displaystyle \rho _{\omega }=\sup\{\rho _{n}:n<\omega \}.}

سنُبين أن φ ( s ) = ρω . لاحظ أولًا أن هذه المتتالية متزايدة تمامًا لأن

(ρن=0<1≤ρن+1)∨(0<ρن=ρن+0<ρن+ρن≤ρن+1).{\displaystyle (\rho _{n}=0<1\leq \rho _{n+1})\lor (0<\rho _{n}=\rho _{n}+0<\rho _{n}+\rho _{n}\leq \rho _{n+1}).}

هكذا

دϕ(s)=ρ0<ρω.{\displaystyle D_{\phi }(s)=\rho _{0}<\rho _{\omega }.}
دلتا<ρω⟹∃ن<ω(دلتا<ρن){\displaystyle \delta <\rho _{\omega }\implies \exists n<\omega (\delta <\rho _{n})}
دلتا<ρω⟹∃ن<ω(دلتا+دلتا<ρن+1){\displaystyle \delta <\rho _{\omega }\implies \exists n<\omega (\delta +\delta <\rho _{n+1})}
دلتا<ρω⟹دلتا+دلتا<ρω{\displaystyle \delta <\rho _{\omega }\implies \delta +\delta <\rho _{\omega }}
ت<s∧دϕ(ت)<ρω⟹∃ن<ω(ت<s∧دϕ(ت)<ρن∧X(ϕ(ت))≤ن){\displaystyle t<s\land D_{\phi }(t)<\rho _{\omega }\implies \exists n<\omega (t<s\land D_{\phi }(t)<\rho _{n}\land X(\phi (t))\leq n)}
ت<s∧دϕ(ت)<ρω⟹∃ن<ω(ϕ(ت)≤ρن+1){\displaystyle t<s\land D_{\phi }(t)<\rho _{\omega }\implies \exists n<\omega (\phi (t)\leq \rho _{n+1})}
ت<s∧دϕ(ت)<ρω⟹ϕ(ت)<ρω{\displaystyle t<s\land D_{\phi }(t)<\rho _{\omega }\implies \phi (t)<\rho _{\omega }}
ϕ(s)≤ρω.{\displaystyle \phi (s)\leq \rho _{\omega }.}

على الجانب الآخر،

ρ0=دϕ(s)≤ϕ(s){\displaystyle \rho _{0}=D_{\phi }(s)\leq \phi (s)}

لكن φ ( s ) ≠ 0 أو 1 أو 2، لأن لها نهاية مشتركة ≥ ω، و φ ( s ) ≠ Dφ ( s ) لأن لها شكلاً مفضلاً. وبالتالي

ρ0<ϕ(s).{\displaystyle \rho _{0}<\phi (s).}

والآن، دعونا نستخدم الاستقراء الرياضي مع الفرضية الاستقرائية ρ n < φ ( s )  : لنفترض

ρن<ϕ(s)،{\displaystyle \rho _{n}<\phi (s),}ثم
ρن+ρن<ϕ(s){\displaystyle \rho _{n}+\rho _{n}<\phi (s)}لأن φ ( s ) هي قوة لـ ω
1<ϕ(s){\displaystyle 1<\phi (s)}
ت<s∧دϕ(ت)≤ρن<ϕ(s)∧ρن+1=ϕ(ت)⟹ρن+1<ϕ(s){\displaystyle t<s\land D_{\phi }(t)\leq \rho _{n}<\phi (s)\land \rho _{n+1}=\phi (t)\implies \rho _{n+1}<\phi (s)}

هكذا

ن<ω⟹ρن<ϕ(s){\displaystyle n<\omega \implies \rho _{n}<\phi (s)}
ρω≤ϕ(s).{\displaystyle \rho _{\omega }\leq \phi (s).}

وإلا، فإن φ ( s ) تفتقر إلى شكل مفضل ويمكننا تحديد ما يلي:

ρα=رشفة{μ:μ=0∨∃β<α∃ت<s(μ=ρβ+ϕ(ت)∧(دϕ(ت)≤ρβ<ϕ(s)))}{\displaystyle \rho _{\alpha }=\sup\{\mu :\mu =0\lor \exists \beta <\alpha \exists t<s(\mu =\rho _{\beta }+\phi (t)\land (D_{\phi }(t)\leq \rho _{\beta }<\phi (s)))\}}

عن طريق الاستدعاء الذاتي المتسامي. قد يكون هذا التسلسل أطول من ω ، لكن هذا أمر لا مفر منه لأن دوال فيبلن لا تستطيع استيعاب بعض الطرق الأكثر تعقيدًا لتكوين التسلسلات النهائية المشتركة. أي أن هذه الأعداد الترتيبية تشمل (وقد لا يمكن تمييزها عن) أعدادًا ترتيبية منتظمة غير قابلة للعد لا تمتلك تسلسلات أساسية بطول ω .

توسعات إضافية

في دراسة ماسمان وكوون (2023) ، تم توسيع دالة فيبلن لتشمل نظامًا تقنيًا يُعرف باسم فيبلن البُعدي . في هذا النظام، يمكن استخدام نقاط ثابتة أو أرقام صفوف، مما يعني أن تعابير مثل φ (1@(1,0)) صالحة (لتمثيل الترتيب الكبير في فيبلن)، ويتم تمثيلها بصريًا كمصفوفات متعددة الأبعاد. وقد ثبت أن جميع الترتيبات الأدنى من ترتيب باخمان-هوارد يمكن تمثيلها في هذا النظام، وأن تمثيلات جميع الترتيبات الأدنى من ترتيب فيبلن الكبير متطابقة من الناحية الجمالية مع النظام الأصلي.

قيم

تأخذ الدالة عدة قيم بارزة:

مراجع

الاقتباسات

  1. ↑ ستيفن ج. سيمبسون ، الأنظمة الفرعية للحساب من الدرجة الثانية (2009، ص 387)
  2. 1 2 م. راثجن، تدوينات ترتيبية مبنية على عدد ماهلو ضعيف ، (1990، ص 251). تاريخ الوصول: 16 أغسطس 2022.
  3. ↑ م. راثجين، " فن التحليل الترتيبي " (2006)، نُشر في وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات 2006.
  4. ↑ ن. ديرشوفيتز، م. أوكادا، تقنيات نظرية البرهان لنظرية إعادة كتابة المصطلحات (1988). ص 105
  5. ↑ أفغاد، جيريمي (23 مايو 2001). "تحليل ترتيبي لنظرية المجموعات المقبولة باستخدام الاستدعاء الذاتي على الرموز الترتيبية" (ملف PDF) . مجلة المنطق الرياضي . 2 : 91-112. doi : 10.1142/s0219061302000126 .
  6. ^ د. مادور، “ حديقة حيوانات الترتيبية ” (2017). تم الوصول إليه في 02 نوفمبر 2022.
  7. ↑ رانزي، فلوريان؛ ستراهم، توماس (2019). "نظام أنواع مرن للترتيب الصغير فيبلن" (ملف PDF) . أرشيف المنطق الرياضي . 58 ( 5-6 ): 711-751 . doi : 10.1007/s00153-019-00658-x . S2CID 253675808 .