الوظيفة الطبيعية

في نظرية المجموعات البديهية ، تُسمى الدالة f  : Ord → Ord دالة طبيعية (أو دالة طبيعية ) إذا كانت متصلة (بالنسبة لطوبولوجيا الترتيب ) ومتزايدة بشكل رتيب تمامًا . وهذا يكافئ الشرطين التاليين:

1. لكل عدد ترتيبي نهائي γ (أي أن γ ليس صفرًا ولا عددًا لاحقًا )، يكون الأمر أن f ( γ ) = sup { f ( ν )  : ν < γ } .
2. بالنسبة لجميع الأعداد الترتيبية α < β ، فإن f ( α ) < f ( β ) .

تُعطى الدالة الطبيعية البسيطة بالصيغة f ( α ) = 1 + α (انظر الحساب الترتيبي ). لكن f ( α ) = α + 1 ليست دالة طبيعية لأنها غير متصلة عند أي حد ترتيبي (على سبيل المثال،${\displaystyle f(\omega )=\omega +1\neq \omega =\sup\{f(n):n<\omega \}}$). إذا كانت β ترتيبًا ثابتًا، فإن الوظائف f ( α ) = β + α و f ( α ) = β × α (لـ β ≥ 1 ) و f ( α ) = β ^α ( لـ β ≥ 2 ) كلها طبيعية.

تُقدم أعداد أليف أمثلة أكثر أهمية للدوال الطبيعية${\displaystyle f(\alpha )=\aleph _{\alpha }}$والتي تربط الأعداد الترتيبية والأعداد الأصلية ، وبواسطة أعداد بيث${\displaystyle f(\alpha )=\beth _{\alpha }}$.

إذا كانت f دالة طبيعية، فإنه لأي عدد ترتيبي α ،

f ( α ) ≥ α . ^{[ 1 ]}

البرهان : إذا لم يكن الأمر كذلك، فاختر قيمة γ صغرى بحيث يكون f ( γ ) < γ . بما أن f دالة متزايدة بشكل رتيب تمامًا، فإن f ( f ( γ )) < f ( γ ) ، مما يناقض صغر قيمة γ .

علاوة على ذلك، لأي مجموعة غير فارغة S من الأعداد الترتيبية، لدينا

f (sup S ) = sup f ( S ) .

البرهان : ينتج "≥" من رتابة الدالة f وتعريف القيمة العليا . أما بالنسبة لـ " ≤ "، فلننظر في ثلاث حالات:

• إذا كان sup S = 0 ، فإن S = {0} و sup f ( S ) = f (0) = f (sup S ) ؛
• إذا كان sup S = ν + 1 تابعًا، فإن sup S موجود في S ، لذا فإن f (sup S ) موجود في f ( S ) ، أي f (sup S ) ≤ sup f ( S ) ؛
• إذا كانت sup S حدًا غير صفري، فإنه لأي ν < sup S يوجد s في S بحيث ν < s ، أي f ( ν ) < f ( s ) ≤ sup f ( S ) ، مما ينتج عنه f (sup S ) = sup { f (ν)  : ν < sup S } ≤ sup f ( S ) .

لكل دالة طبيعية f نقاط ثابتة كبيرة كيفما شاءت؛ راجع مبرهنة النقطة الثابتة للدوال الطبيعية للاطلاع على البرهان. يمكن إنشاء دالة طبيعية f ′  : Ord → Ord ، تُسمى مشتقة f ، بحيث تكون f ′ ( α ) هي النقطة الثابتة رقم α للدالة f . ^{[ 2 ]} للاطلاع على تسلسل الدوال الطبيعية، انظر دوال فيبلن .