الكاردينال العادي

في نظرية المجموعات ، العدد الأصلي المنتظم هو عدد أصلي يساوي مجموعته النهائية . وبشكل أكثر تحديدًا، هذا يعني أن${\displaystyle \kappa }$يكون عددًا أصليًا منتظمًا إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة جزئية غير محدودة${\displaystyle C\subseteq \kappa }$له عددية${\displaystyle \kappa }$تُسمى الأعداد الأصلية غير المنتظمة والمرتبة ترتيبًا جيدًا، والتي لا تنتهي، بالأعداد الأصلية الشاذة . أما الأعداد الأصلية المنتهية، فلا تُسمى عادةً بالأعداد الأصلية المنتظمة أو الشاذة.

في ظل وجود بديهية الاختيار ، يمكن ترتيب أي عدد أصلي ترتيباً جيداً، وبالتالي فإن ما يلي متكافئ:

1. ${\displaystyle \kappa }$هو طائر كاردينال عادي.
2. لو${\displaystyle \kappa =\textstyle \sum _{i\in I}\lambda _{i}}$و${\displaystyle \lambda _{i}<\kappa }$للجميع${\displaystyle i}$، ثم${\displaystyle |I|\geq \kappa }$.
3. لو${\displaystyle S=\textstyle \bigcup _{i\in I}S_{i}}$وإذا${\displaystyle |I|<\kappa }$و${\displaystyle |S_{i}|<\kappa }$للجميع${\displaystyle i}$، ثم${\displaystyle |S|<\kappa }$أي أن كل اتحاد يضم أقل من${\displaystyle \kappa }$مجموعات أصغر من${\displaystyle \kappa }$أصغر من${\displaystyle \kappa }$.
4. الفئة​${\displaystyle \operatorname {Set} _{<\kappa }}$مجموعات ذات عدد عناصر أقل من${\displaystyle \kappa }$وجميع الدوال بينهما مغلقة تحت حدود مشتركة ذات عدد عناصر أقل من${\displaystyle \kappa }$.
5. ${\displaystyle \kappa }$هو عدد ترتيبي منتظم (انظر أدناه).

وبعبارة مبسطة، هذا يعني أن العدد الأصلي المنتظم هو العدد الذي لا يمكن تقسيمه إلى عدد قليل من الأجزاء الأصغر.

يصبح الوضع أكثر تعقيدًا بعض الشيء في السياقات التي قد لا ينطبق عليها مبدأ الاختيار ، إذ في هذه الحالة لا تكون جميع الأعداد الأصلية بالضرورة أعدادًا أصلية لمجموعات مرتبة ترتيبًا جيدًا. في هذه الحالة، لا ينطبق التكافؤ المذكور أعلاه إلا على الأعداد الأصلية القابلة للترتيب ترتيبًا جيدًا.

عدد ترتيبي لانهائي${\displaystyle \alpha }$يُعتبر عددًا ترتيبيًا منتظمًا إذا كان عددًا ترتيبيًا حديًا لا يُمثل حدًا لمجموعة من الأعداد الترتيبية الأصغر التي يكون نوع ترتيبها كمجموعة أقل من${\displaystyle \alpha }$العدد الترتيبي المنتظم هو دائمًا عدد ترتيبي ابتدائي ، على الرغم من أن بعض الأعداد الترتيبية الابتدائية ليست منتظمة، على سبيل المثال،${\displaystyle \أوميغا _{\أوميغا }}$(انظر المثال أدناه).

الأعداد الترتيبية الأقل من${\displaystyle \omega }$هي أعداد محدودة. دائمًا ما يكون للمتتالية المحدودة من الأعداد الترتيبية المحدودة قيمة عظمى محدودة، لذا${\displaystyle \omega }$لا يمكن أن يكون حدًا لأي تسلسل من نوع أقل من${\displaystyle \omega }$عناصرها أعداد ترتيبية أقل من${\displaystyle \omega }$وبالتالي فهو عدد ترتيبي منتظم.${\displaystyle \aleph _{0}}$( أليف-لا شيء ) هو عدد أصلي منتظم لأن ترتيبه الأولي،${\displaystyle \omega }$، منتظم. ويمكن أيضاً إثبات انتظامه بشكل مباشر، حيث أن المجموع الأصلي لعدد محدود من الأعداد الأصلية المحدودة هو نفسه عدد محدود.

${\displaystyle \omega +1}$هل العدد الترتيبي التالي أكبر من${\displaystyle \omega }$. إنه مفرد، لأنه ليس عددًا ترتيبيًا حديًا.${\displaystyle \أوميغا +\أوميغا }$هو الترتيب الحدي التالي بعد${\displaystyle \omega }$ويمكن كتابتها على أنها نهاية المتتالية${\displaystyle \omega }$،${\displaystyle \omega +1}$،${\displaystyle \omega +2}$،${\displaystyle \omega +3}$وهكذا. هذا التسلسل له نوع ترتيب${\displaystyle \omega }$، لذا${\displaystyle \أوميغا +\أوميغا }$هي نهاية متتالية من النوع الأقل من${\displaystyle \أوميغا +\أوميغا }$عناصرها أعداد ترتيبية أقل من${\displaystyle \أوميغا +\أوميغا }$لذلك فهو مفرد.

${\displaystyle \aleph _{1}}$هل العدد الأصلي التالي أكبر من${\displaystyle \aleph _{0}}$لذا فإن الكرادلة أقل من${\displaystyle \aleph _{1}}$هي مجموعات قابلة للعد (منتهية أو قابلة للعد). وبافتراض بديهية الاختيار، فإن اتحاد مجموعة قابلة للعد من مجموعات قابلة للعد هو نفسه مجموعة قابلة للعد.${\displaystyle \aleph _{1}}$لا يمكن كتابتها كمجموع مجموعة قابلة للعد من الأعداد الأصلية القابلة للعد، وهي منتظمة.

${\displaystyle \aleph _{\أوميغا }}$هو العدد الأصلي التالي بعد المتتالية${\displaystyle \aleph _{0}}$،${\displaystyle \aleph _{1}}$،${\displaystyle \aleph _{2}}$،${\displaystyle \aleph _{3}}$وهكذا. ترتيبها الأولي${\displaystyle \أوميغا _{\أوميغا }}$هي نهاية المتتالية${\displaystyle \omega }$،${\displaystyle \omega _{1}}$،${\displaystyle \omega _{2}}$،${\displaystyle \omega _{3}}$وهكذا، وهو ما له نوع الطلب${\displaystyle \omega }$، لذا${\displaystyle \أوميغا _{\أوميغا }}$مفرد، وكذلك${\displaystyle \aleph _{\أوميغا }}$بافتراض صحة بديهية الاختيار،${\displaystyle \aleph _{\أوميغا }}$هو أول عدد أصلي لانهائي مفرد (أول عدد ترتيبي لانهائي مفرد هو${\displaystyle \omega +1}$وأول عدد ترتيبي نهائي لانهائي يكون شاذًا هو${\displaystyle \أوميغا +\أوميغا }$يتطلب إثبات وجود الأعداد الأصلية الشاذة بديهية الاستبدال ، وفي الواقع، يتطلب إثبات وجودها${\displaystyle \aleph _{\أوميغا }}$إن نظرية زيرميلو للمجموعات هي ما دفع فرانكل إلى افتراض هذه البديهية. ^{[ 1 ]}

تُعرف الأعداد الأصلية غير المعدودة (الضعيفة) ذات النهايات المنتظمة أيضًا بالأعداد الأصلية (الضعيفة) غير القابلة للوصول . لا يمكن إثبات وجودها ضمن نظرية ZFC، مع أن وجودها لا يتعارض معها. يُعتبر وجودها أحيانًا بديهية إضافية. الأعداد الأصلية غير القابلة للوصول هي بالضرورة نقاط ثابتة لدالة أليف ، مع أن ليس كل النقاط الثابتة منتظمة. على سبيل المثال، النقطة الثابتة الأولى هي نهاية...${\displaystyle \omega }$-تسلسل${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{\omega },\aleph _{\omega _{\omega }},...}$وبالتالي فهو مفرد.

إذا تحققت بديهية الاختيار ، فإن كل عدد أصلي لاحق يكون منتظمًا. وبالتالي، يمكن التحقق من انتظام أو تفرد معظم أعداد أليف اعتمادًا على ما إذا كان العدد الأصلي عددًا أصليًا لاحقًا أو عددًا أصليًا نهائيًا. لا يمكن إثبات أن بعض الأعداد الأصلية تساوي أي عدد أليف معين، على سبيل المثال عدد أصلي المتصل ، الذي قد تكون قيمته في ZFC أي عدد أصلي غير معدود ذي نهاية مشتركة غير معدودة (انظر نظرية إيستون ). تفترض فرضية المتصل أن عدد أصلي المتصل يساوي${\displaystyle \aleph _{1}}$، وهو أمر طبيعي بافتراض الاختيار.

بدون بديهية الاختيار، ستكون هناك أعداد أصلية غير قابلة للترتيب الجيد. علاوة على ذلك، لا يمكن تعريف المجموع الأصلي لأي مجموعة. لذلك، لا يمكن تسمية الأعداد الألفية فقط بالأعداد الأصلية المنتظمة أو الشاذة. إضافة إلى ذلك، ليس بالضرورة أن يكون العدد الألفي اللاحق منتظمًا. على سبيل المثال، ليس بالضرورة أن يكون اتحاد مجموعة قابلة للعد من مجموعات قابلة للعد قابلاً للعد. يتوافق هذا مع نظرية ZF.${\displaystyle \omega _{1}}$ليكن حدًا لمتتالية قابلة للعد من الأعداد الترتيبية القابلة للعد، وكذلك مجموعة الأعداد الحقيقية، وليكن اتحادًا قابلًا للعد من مجموعات قابلة للعد. علاوة على ذلك، يتوافق مع نظرية ZF عند عدم تضمين AC أن كل ألف أكبر من${\displaystyle \aleph _{0}}$مفرد (وهي نتيجة أثبتها موتي جيتيك ).

لو${\displaystyle \kappa }$هو عدد ترتيبي محدود،${\displaystyle \kappa }$يكون منتظمًا إذا وفقط إذا كانت مجموعة${\displaystyle \alpha <\kappa }$تلك هي النقاط الحرجة لـ${\displaystyle \Sigma _{1}}$- التضمينات الأولية${\displaystyle j}$مع${\displaystyle j(\alpha )=\kappa }$هو نادٍ في${\displaystyle \kappa }$[ ^{2 ]​}

للكرادلة${\displaystyle \kappa <\theta }$لنفترض أن التضمين الأولي${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$تضمين صغير إذا${\displaystyle M}$فعل متعدٍ و${\displaystyle j({\textrm {crit}}(j))=\kappa }$. كاردينال${\displaystyle \kappa }$يكون غير معدود ومنتظم إذا وفقط إذا كان هناك${\displaystyle \alpha >\kappa }$بحيث يكون لكل${\displaystyle \theta >\alpha }$يوجد تضمين صغير${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$[ ^{3 ] النتيجة 2.2}

• كاردينال لا يمكن الوصول إليه

• هربرت ب. إندرتون ، عناصر نظرية المجموعات ، رقم ISBN 0-12-238440-7
• كينيث كونين ، نظرية المجموعات: مقدمة في براهين الاستقلال ، رقم ISBN 0-444-85401-0