مجموعة نوادي

في الرياضيات ، وخاصة في المنطق الرياضي ونظرية المجموعات ، تُعرف مجموعة النادي بأنها مجموعة جزئية من عدد ترتيبي حدي ، وهي مجموعة مغلقة تحت طوبولوجيا الترتيب ، وغير محدودة (انظر أدناه) بالنسبة إلى العدد الترتيبي الحدي. وكلمة " نادي" هي اختصار لعبارة "مغلقة وغير محدودة".

رسميًا، إذا${\displaystyle \kappa }$إذا كان ترتيبًا حديًا، فإنه مجموعة${\displaystyle C\subseteq \kappa }$مغلق في​${\displaystyle \kappa }$إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle \alpha <\kappa ,}$لو${\displaystyle \sup(C\cap \alpha )=\alpha \neq 0,}$ثم${\displaystyle \alpha \in C.}$ وبالتالي، إذا كانت نهاية متتالية ما من${\displaystyle C}$أقل من${\displaystyle \kappa ,}$ثم يكون الحد أيضًا في${\displaystyle C.}$

لو${\displaystyle \kappa }$هو عدد ترتيبي حدي و${\displaystyle C\subseteq \kappa }$ثم${\displaystyle C}$غير محدود في${\displaystyle \kappa }$إن كان ذلك لأي سبب${\displaystyle \alpha <\kappa ,}$هناك بعض${\displaystyle \beta \in C}$بحيث${\displaystyle \alpha <\beta .}$

إذا كانت المجموعة مغلقة وغير محدودة، فإنها تُسمى مجموعة النادي .

تعتبر الفئات المغلقة المناسبة للأعداد الترتيبية ذات أهمية أيضًا (كل فئة مناسبة من الأعداد الترتيبية غير محدودة في فئة جميع الأعداد الترتيبية).

مجموعة جميع الأعداد الترتيبية الحدية القابلة للعد هي مجموعة نادي بالنسبة لأول عدد ترتيبي غير قابل للعد ؛ لكنها ليست مجموعة نادي بالنسبة لأي عدد ترتيبي حدي أعلى، لأنها ليست مغلقة ولا غير محدودة.${\displaystyle \kappa }$إذا كان عددًا ترتيبيًا أوليًا غير قابل للعد ، فإن مجموعة جميع الأعداد الترتيبية الحدية${\displaystyle \alpha <\kappa }$مغلق غير محدود في${\displaystyle \kappa .}$ في الواقع، مجموعة النادي ليست سوى مدى الدالة الطبيعية (أي المتزايدة والمستمرة).

وبشكل أعم، إذا${\displaystyle X}$هي مجموعة غير فارغة و${\displaystyle \lambda }$إذا كان عددًا أصليًا ، فـ${\displaystyle C\subseteq [X]^{\lambda }}$(مجموعة المجموعات الجزئية من${\displaystyle X}$من حيث العددية${\displaystyle \lambda }$) نادي إذا كان كل اتحاد لمجموعة جزئية من${\displaystyle C}$هو في${\displaystyle C}$وكل مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$عدد العناصر أقل من${\displaystyle \lambda }$يحتوي على عنصر ما من${\displaystyle C}$(انظر المجموعة الثابتة ).

يترك${\displaystyle \kappa \,}$ليكن عددًا ترتيبيًا حديًا من نوع النهاية المشتركة غير المعدودة${\displaystyle \lambda .}$بالنسبة للبعض${\displaystyle \alpha <\lambda \,}$، يترك${\displaystyle \langle C_{\xi }:\xi <\alpha \rangle \,}$لتكن متتالية من المجموعات الفرعية المغلقة غير المحدودة من${\displaystyle \kappa \,.}$ثم${\displaystyle \textstyle \bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,}$وهي أيضًا مجموعة مغلقة غير محدودة. ولإثبات ذلك، يمكن ملاحظة أن تقاطع المجموعات المغلقة يكون دائمًا مغلقًا، لذا يكفي أن نُثبت أن هذا التقاطع غير محدود. لذا، ثبّت أي${\displaystyle \beta _{0}<\kappa \,,}$ولكل${\displaystyle n<\omega }$اختر من كل${\displaystyle C_{\xi }\,}$عنصر${\displaystyle \beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}\,,}$وهذا ممكن لأن كل عنصر غير محدود. بما أن هذه مجموعة من أقل من${\displaystyle \lambda \,}$الأعداد الترتيبية، جميعها أقل من${\displaystyle \kappa \,,}$يجب أن يكون الحد الأعلى الأدنى لها أقل من${\displaystyle \kappa \,,}$لذا يمكننا تسميته${\displaystyle \beta _{n+1}\,.}$تُنتج هذه العملية تسلسلًا قابلًا للعد${\displaystyle \beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\ldots \,.}$يجب أن تكون نهاية هذه المتتالية في الواقع هي نهاية المتتالية${\displaystyle \beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\ldots \,,}$وبما أن كل${\displaystyle C_{\xi }\,}$مغلق و${\displaystyle \lambda \,}$إذا كان العدد غير قابل للعد، فيجب أن يكون هذا الحد في كل${\displaystyle C_{\xi }\,,}$وبالتالي فإن هذا الحد هو عنصر من عناصر التقاطع الذي يقع أعلاه${\displaystyle \beta _{0},}$مما يدل على أن التقاطع غير محدود.

ومن هذا يتضح أنه إذا${\displaystyle \kappa \,}$إذا كان طائرًا أصليًا ، فـ

${\displaystyle \{S\subseteq \kappa$ يوجد C ⊆ S بحيث يكون C مغلقًا وغير محدود في κ

هو ليس مديرًا${\displaystyle \kappa }$- قم بإجراء عملية تصفية مناسبة على الجهاز${\displaystyle \kappa }$أي على مجموعة الأوراق المرتبة${\displaystyle (\wp (\kappa ),\subseteq )}$.

لو${\displaystyle \kappa \,}$إذا كان عدداً أصلياً منتظماً، فإن مجموعات النادي تكون مغلقة أيضاً تحت التقاطع القطري .

في الواقع، إذا${\displaystyle \kappa \,}$منتظم و${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$هل يوجد أي فلتر قيد التشغيل؟${\displaystyle \kappa \,,}$مغلق تحت التقاطع القطري، ويحتوي على جميع المجموعات من الشكل${\displaystyle \{\xi <\kappa$ :\xi \geq \alpha \}\,} لـ${\displaystyle \alpha <\kappa \,,}$ثم${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$يجب أن يشمل جميع مجموعات الأندية.

• بدلة النادي
• المرشح (الرياضيات) - مجموعة فرعية خاصة من مجموعة مرتبة جزئيًا 
• المرشحات في علم الطوبولوجيا
• المجموعة الثابتة – مفهوم نظري للمجموعات