زوج مطلوب

اقترح نوربرت وينر أول تعريف نظري للمجموعات للزوج المرتب في عام 1914: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \left(a,b\right):=\left\{\left\{\left\{a\right\},\,\emptyset \right\},\,\left\{\left\{b\right\}\right\}\right\}.}$$ لاحظ أن هذا التعريف مكّن من تعريف أنواع كتاب "برينسيبيا ماثيماتيكا" على أنها مجموعات. وقد اعتبر كتاب "برينسيبيا ماثيماتيكا" الأنواع، وبالتالي العلاقات ذات جميع الرتب ، عناصر أولية .

استخدم وينر {{ b }} بدلاً من { b } لجعل التعريف متوافقًا مع نظرية الأنواع حيث يجب أن تكون جميع العناصر في فئة ما من نفس "النوع". مع وجود b متداخلة داخل مجموعة إضافية، يكون نوعها مساويًا لـ${\displaystyle \{\{a\},\emptyset \}}$'s.

في نفس الوقت تقريبًا الذي قدم فيه وينر (1914)، اقترح فيليكس هاوسدورف تعريفه: $${\displaystyle (a,b):=\left\{\{a,1\},\{b,2\}\right\}}$$ "حيث 1 و 2 هما كائنان متميزان يختلفان عن a و b." ^{[ 8 ]}

في عام 1921، قدم كازيميرز كوراتوفسكي التعريف المقبول الآن ^{[ 9 ] [ 10 ]} للزوج المرتب ( أ ، ب ): $${\displaystyle (a,\ b)_{K}\;:=\ \{\{a\},\ \{a,\ b\}\}.}$$ عندما تكون الإحداثيات الأولى والثانية متطابقة، يصبح التعريف كما يلي: $${\displaystyle (x,\ x)_{K}=\{\{x\},\{x,\ x\}\}=\{\{x\},\ \{x\}\}=\{\{x\}\}}$$

بفرض وجود زوج مرتب p ، يمكن صياغة الخاصية " x هو الإحداثي الأول لـ p " على النحو التالي:$${\displaystyle \forall Y\in p:x\in Y.}$$يمكن صياغة الخاصية " x هو الإحداثي الثاني لـ p " على النحو التالي:$${\displaystyle (\exists Y\in p:x\in Y)\land (\forall Y_{1},Y_{2}\in p:(x\in Y_{1}\land x\in Y_{2})\rightarrow Y_{1}=Y_{2}).}$$ في حالة تطابق الإحداثيات اليسرى واليمنى، يكون الاقتران الأيمن${\displaystyle (\forall Y_{1},Y_{2}\in p:(x\in Y_{1}\land x\in Y_{2})\rightarrow Y_{1}=Y_{2})}$هذا صحيح بشكل بديهي، لأن${\displaystyle Y_{1}=Y_{2}}$هذا هو الحال.

لو${\displaystyle p=(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$ثم:

${\displaystyle \bigcap p=\bigcap {\bigg \{}\{x\},\{x,y\}{\bigg \}}=\{x\}\cap \{x,y\}=\{x\},}$

${\displaystyle \bigcup p=\bigcup {\bigg \{}\{x\},\{x,y\}{\bigg \}}=\{x\}\cup \{x,y\}=\{x,y\}.}$

هذه هي الطريقة التي يمكننا بها استخراج الإحداثي الأول من زوج (باستخدام ترميز العملية المتكررة للتقاطع والاتحاد العشوائيين ): $${\displaystyle \pi _{1}(p)=\bigcup \bigcap p=\bigcup \{x\}=x.}$$

هكذا يمكن استخراج الإحداثي الثاني: $${\displaystyle \pi _{2}(p)=\bigcup \left\{\left.a\in \bigcup p\,\right|\,\bigcup p\neq \bigcap p\rightarrow a\notin \bigcap p\right\}=\bigcup \left\{\left.a\in \{x,y\}\,\right|\,\{x,y\}\neq \{x\}\rightarrow a\notin \{x\}\right\}=\bigcup \{y\}=y.}$$

(لو${\displaystyle x\neq y}$ثم المجموعة${\displaystyle \{y\}}$ويمكن الحصول عليها ببساطة أكبر:${\displaystyle \{y\}=\{\left.a\in \{x,y\}\,\right|\,a\notin \{x\}\}}$لكن الصيغة السابقة تأخذ في الاعتبار أيضًا الحالة التي يكون فيها${\displaystyle x=y}$.)

لاحظ أن${\displaystyle \pi _{1}}$و${\displaystyle \pi _{2}}$هي دوال معممة ، بمعنى أن مجالاتها ومجالاتها المقابلة هي فئات مناسبة .

استخدم روسر (1953) ^{[ 14 ]} تعريفًا للزوج المرتب منسوبًا إلى كوين، والذي يتطلب تعريفًا مسبقًا للأعداد الطبيعية . ليكن${\displaystyle \mathbb {N} }$ليكن مجموعة الأعداد الطبيعية، ولنُعرّف أولاً $${\displaystyle \sigma (x):={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\notin \mathbb {N} ,\\x+1,&{\text{if }}x\in \mathbb {N} .\end{cases}}}$$ الوظيفة${\displaystyle \sigma }$يزيد وسيطه إذا كان عددًا طبيعيًا، ويتركه كما هو في غير ذلك؛ ولا يظهر العدد 0 في نطاق${\displaystyle \sigma }$. مثل${\displaystyle x\setminus \mathbb {N} }$هي مجموعة عناصر${\displaystyle x}$ليس في${\displaystyle \mathbb {N} }$استمر في $${\displaystyle \varphi (x):=\sigma [x]=\{\sigma (\alpha )\mid \alpha \in x\}=(x\setminus \mathbb {N} )\cup \{n+1:n\in (x\cap \mathbb {N} )\}.}$$ هذه هي الصورة المجمعة لمجموعة${\displaystyle x}$تحت${\displaystyle \sigma }$، ويرمز إليه أحيانًا بـ${\displaystyle \sigma ''x}$كذلك. تطبيق الوظيفة${\displaystyle \varphi }$إضافة عدد إلى مجموعة x ببساطة يزيد كل عدد طبيعي فيها. على وجه الخصوص،${\displaystyle \varphi (x)}$لا تحتوي أبدًا على الرقم 0، لذلك بالنسبة لأي مجموعتين x و y ، $${\displaystyle \varphi (x)\neq \{0\}\cup \varphi (y).}$$ علاوة على ذلك، حدد $${\displaystyle \psi (x):=\sigma [x]\cup \{0\}=\varphi (x)\cup \{0\}.}$$ وبهذا،${\displaystyle \psi (x)}$يحتوي دائمًا على الرقم 0.

وأخيرًا، عرّف الزوج المرتب ( أ ، ب ) على أنه الاتحاد المنفصل $${\displaystyle (A,B):=\varphi [A]\cup \psi [B]=\{\varphi (a):a\in A\}\cup \{\varphi (b)\cup \{0\}:b\in B\}.}$$ (وهو${\displaystyle \varphi ''A\cup \psi ''B}$(بالتدوين البديل).

استخراج جميع عناصر الزوج التي لا تحتوي على الصفر والتراجع عن العملية.${\displaystyle \varphi }$ينتج A. وبالمثل، يمكن استعادة B من عناصر الزوج التي تحتوي على 0. ^{[ 15 ]}

على سبيل المثال، الزوج${\displaystyle (\{\{a,0\},\{b,c,1\}\},\{\{d,2\},\{e,f,3\}\})}$يتم ترميزها على النحو التالي${\displaystyle \{\{a,1\},\{b,c,2\},\{d,3,0\},\{e,f,4,0\}\}}$متاح${\displaystyle a,b,c,d,e,f\notin \mathbb {N} }$.

في نظرية الأنواع وفروعها، مثل نظرية المجموعات البديهية NF ، يكون لزوج كوين-روسر نفس نوع إسقاطاته، ولذا يُطلق عليه اسم زوج مرتب "على مستوى النوع". ومن ثم، يتميز هذا التعريف بميزة تمكين دالة ، مُعرَّفة كمجموعة من الأزواج المرتبة، من أن يكون نوعها أعلى بمقدار 1 فقط من نوع وسيطاتها. لا يصح هذا التعريف إلا إذا كانت مجموعة الأعداد الطبيعية لانهائية. وهذا هو الحال في NF ، ولكنه ليس كذلك في نظرية الأنواع أو في NFU . وقد بيّن ج. باركلي روسر أن وجود مثل هذا الزوج المرتب على مستوى النوع (أو حتى زوج مرتب "يرفع النوع بمقدار 1") يستلزم بديهية اللانهاية . للاطلاع على مناقشة مستفيضة للزوج المرتب في سياق نظريات مجموعات كوين، انظر هولمز (1998). ^{[ 16 ]}

في المراحل المبكرة من تطور نظرية المجموعات، قبل اكتشاف المفارقات، اتبع كانتور فريجه من خلال تعريف الزوج المرتب من مجموعتين على أنه فئة جميع العلاقات التي تربط بين هاتين المجموعتين، بافتراض أن مفهوم العلاقة بدائي: ^{[ 17 ]}$${\displaystyle (x,y)=\{R:xRy\}.}$$

هذا التعريف غير مقبول في معظم نظريات المجموعات الرسمية الحديثة، وهو مشابه من الناحية المنهجية لتعريف عدد عناصر المجموعة بأنه فئة جميع المجموعات المتساوية في القوة مع المجموعة المعطاة. ^{[ 18 ]}

تُتيح نظرية مورس-كيلي للمجموعات استخدامًا حرًا للفئات الفعلية . ^{[ 19 ]} عرّف مورس الزوج المرتب بحيث يمكن أن تكون إسقاطاته فئات فعلية بالإضافة إلى المجموعات. (لا يسمح تعريف كوراتوفسكي بذلك). عرّف مورس أولًا الأزواج المرتبة التي تكون إسقاطاتها مجموعات على طريقة كوراتوفسكي. ثم أعاد تعريف الزوج .$${\displaystyle (x,y)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))}$$ حيث تكون الضربات الديكارتية المكونة عبارة عن أزواج من مجموعات كوراتوفسكي، وحيث $${\displaystyle s(x)=\{\emptyset \}\cup \{\{t\}\mid t\in x\}}$$

يُتيح هذا إمكانية وجود أزواج تكون إسقاطاتها فئاتٍ حقيقية. كما يسمح تعريف كوين-روسر المذكور أعلاه بالفئات الحقيقية كإسقاطات. وبالمثل، يُعرَّف الثلاثي على أنه ثلاثي مُرتب كما يلي: $${\displaystyle (x,y,z)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))\cup (\{2\}\times s(z))}$$

استخدام مجموعة العناصر المفردة${\displaystyle s(x)}$يسمح إدخال مجموعة فارغة في المجموعة المرتبة (tuples) بأن تتمتع بخاصية التفرد، أي إذا كان a عبارة عن مجموعة مرتبة من الرتبة n و b عبارة عن مجموعة مرتبة من الرتبة m، وكان a = b، فإن n = m . أما الثلاثيات المرتبة، التي تُعرَّف على أنها أزواج مرتبة، فلا تتمتع بهذه الخاصية بالنسبة للأزواج المرتبة.