الترتيب غير المتكرر

في الرياضيات، وخاصة نظرية المجموعات ، فإن الأعداد الترتيبية غير المتكررة هي أعداد ترتيبية كبيرة قابلة للعد أكبر من جميع الأعداد الترتيبية المتكررة ، وبالتالي لا يمكن التعبير عنها باستخدام رموز الأعداد الترتيبية المتكررة .

أصغر عدد ترتيبي غير متكرر هو عدد تشيرش-كلين الترتيبي ،${\displaystyle \omega _{1}^{\mathsf {CK}}}$سميت هذه المجموعة باسم ألونسو تشيرش وإس سي كلين ؛ ونوع ترتيبها هو مجموعة جميع الأعداد الترتيبية المتكررة . ولأن العدد التالي لأي عدد ترتيبي متكرر هو عدد ترتيبي متكرر، فإن عدد تشيرش-كلين الترتيبي هو عدد ترتيبي حدي . وهو أيضًا أصغر عدد ترتيبي ليس حسابيًا فائقًا ، وأصغر عدد ترتيبي مقبول بعد${\displaystyle \omega }$(ترتيبي)${\displaystyle \alpha }$يُطلق عليه اسم مقبول إذا${\displaystyle L_{\alpha }\models {\mathsf {KP}}}$.) ال${\displaystyle \omega _{1}^{\mathsf {CK}}}$- مجموعات فرعية متكررة من${\displaystyle \omega }$هم بالضبط${\displaystyle \Delta _{1}^{1}}$مجموعات فرعية من${\displaystyle \omega }$[ ^{1 ]​}

الترميز${\displaystyle \omega _{1}^{\mathsf {CK}}}$يشير إلى${\displaystyle \omega _{1}}$، وهو أول عدد ترتيبي غير قابل للعد ، والذي يمثل مجموعة جميع الأعداد الترتيبية القابلة للعد، على غرار كون عدد تشيرش-كلين الترتيبي هو مجموعة جميع الأعداد الترتيبية المتكررة. تستخدم بعض المصادر القديمة${\displaystyle \omega _{1}}$للدلالة على الترتيب التشرشي-كلين. ^{[ 2 ]}

لمجموعة${\displaystyle x\subseteq \mathbb {N} }$، المجموعة هي${\displaystyle x}$- قابلة للحساب إذا كانت قابلة للحساب من آلة تورينج باستخدام أوراكل يستعلم${\displaystyle x}$الترتيب النسبي لتشرش-كلين${\displaystyle \أوميغا _{1}^{x}}$هو الحد الأعلى لأنواع الترتيب لـ${\displaystyle x}$العلاقات القابلة للحساب. تنص نظرية فريدمان-جنسن-ساكس على أنه لكل عدد ترتيبي مقبول قابل للعد${\displaystyle \alpha }$توجد مجموعة${\displaystyle x}$بحيث${\displaystyle \alpha =\omega _{1}^{x}}$[ ^{3 ]​}

${\displaystyle \omega _{\omega }^{\mathsf {CK}}}$يُعدّ هذا، الذي عرّفه ستيفن ج. سيمبسون لأول مرة ، امتدادًا لترتيب تشيرش-كلين. وهو أصغر حدّ للترتيبات المقبولة، ومع ذلك فإن هذا الترتيب غير مقبول. أو بعبارة أخرى، هو أصغر${\displaystyle \alpha }$بحيث${\displaystyle L_{\alpha }\cap {\mathsf {P}}(\omega )}$هو نموذج لـ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$الفهم . ^{[ 1 ]}

ال${\displaystyle \alpha }$يُشار أحيانًا إلى العدد الترتيبي المقبول بالرمز .${\displaystyle \tau _{\alpha }}$[ ^{4 ] [ 5 ]​}

تُعدّ الأعداد الترتيبية [X]، التي يُمثّل [X] فيها عادةً خاصية عددية كبيرة ، أنواعًا من الأعداد الترتيبية غير التكرارية. ^{[ 6 ]} وقد أطلق راثجن على هذه الأعداد الترتيبية اسم "النظائر التكرارية الكبيرة" لـ X، ^{[ 7 ]} إلا أن استخدام مصطلح "تكراري كبير" هنا لا ينبغي الخلط بينه وبين مفهوم كون العدد الترتيبي تكراريًا.

ترتيبي${\displaystyle \alpha }$يُطلق عليه اسم "غير قابل للوصول بشكل متكرر" إذا كان مقبولاً وحدوداً للمقبولين. أو بدلاً من ذلك،${\displaystyle \alpha }$لا يمكن الوصول إليها بشكل متكرر إذا وفقط إذا${\displaystyle \alpha }$هو${\displaystyle \alpha }$الترتيب المسموح به، ^{[ 5 ]} أو إذا وفقط إذا${\displaystyle L_{\alpha }\models {\mathsf {KPi}}}$، وهو امتداد لنظرية مجموعات كريپكي-بلاتيك ينص على أن كل مجموعة موجودة في نموذج من نظرية مجموعات كريپكي-بلاتيك. بشرط أن${\displaystyle L_{\alpha }\vDash {\textrm {V=HC}}}$("كل مجموعة قابلة للعد وراثيًا ")${\displaystyle \alpha }$لا يمكن الوصول إليها بشكل متكرر إذا وفقط إذا${\displaystyle L_{\alpha }\cap {\mathsf {P}}(\omega )}$هو نموذج لـ${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$الفهم . ^{[ 8 ]}

ترتيبي${\displaystyle \alpha }$يُطلق عليه اسم "غير قابل للوصول بشكل متكرر" إذا كان غير قابل للوصول بشكل متكرر وكان حدًا للعناصر غير القابلة للوصول بشكل متكرر، أو حيث${\displaystyle \alpha }$هو${\displaystyle \alpha }$th غير قابل للوصول بشكل متكرر. ومثل "العدد الأصلي شديد عدم إمكانية الوصول"، يختلف المؤلفون المختلفون حول هذا المصطلح.

ترتيبي${\displaystyle \alpha }$يُطلق عليه اسم Mahlo بشكل متكرر إذا كان مقبولاً ولأي${\displaystyle \alpha }$- دالة تكرارية${\displaystyle f:\alpha \rightarrow \alpha }$يوجد أمر مقبول${\displaystyle \beta <\alpha }$بحيث${\displaystyle \left\{f(\gamma )\mid \gamma \in \beta \right\}\subseteq \beta }$(إنه،${\displaystyle \beta }$مغلق بموجب${\displaystyle f}$). ^{[ 2 ]} انعكاسًا لتسلسل مراتب ماهلونيس ،${\displaystyle \alpha }$يتم بشكل متكرر${\displaystyle \gamma }$-ماهلو لترتيب${\displaystyle \gamma }$إذا كان ذلك مقبولاً ولأي غرض${\displaystyle \alpha }$- دالة تكرارية${\displaystyle f:\alpha \rightarrow \alpha }$يوجد ترتيب مقبول${\displaystyle \beta <\alpha }$بحيث${\displaystyle \beta }$مغلق بموجب${\displaystyle f}$، و${\displaystyle \beta }$يتم بشكل متكرر${\displaystyle \delta }$ماهلو للجميع${\displaystyle \delta <\gamma }$[ ^{6 ]​}

ترتيبي${\displaystyle \alpha }$يُطلق عليها اسم " مضغوطة بشكل ضعيف متكرر" إذا كانت${\displaystyle \Pi _{3}}$-انعكاسية، أو بصورة مكافئة، ^{[ 2 ]} مقبولة من الدرجة 2. تتمتع هذه الأعداد الترتيبية بخصائص ماهلونيس تكرارية قوية، إذا كانت α ${\displaystyle \Pi _{3}}$ثم يعكس ذلك${\displaystyle \alpha }$يتم بشكل متكرر${\displaystyle \alpha }$-ماهلو. ^{[ 6 ]}

ترتيبي${\displaystyle \alpha }$يكون مستقراً إذا${\displaystyle L_{\alpha }}$هو${\displaystyle \Sigma _{1}}$- البنية الفرعية الأولية لـ${\displaystyle L}$، المشار إليه${\displaystyle L_{\alpha }\preceq _{1}L}$[ ^{9 ]} هذه بعض أكبر الأعداد الترتيبية غير المتكررة المسماة التي تظهر في سياق نظرية النماذج، على سبيل المثال أكبر ^من${\displaystyle \min\{\alpha :L_{\alpha }\models T\}}$لأي نظرية قابلة للحساب والتحديد البديهي${\displaystyle T}$[ ^{10 ] الاقتراح 0.7} . هناك العديد من حالات إضعاف الأعداد الترتيبية المستقرة ^{: [ 1 ]}

• عدد ترتيبي قابل للعد${\displaystyle \alpha }$يُطلق عليه اسم${\displaystyle (+1)}$-مستقر إذا${\displaystyle L_{\alpha }\preceq _{1}L_{\alpha +1}}$.
  • الأصغر${\displaystyle (+1)}$يكون العدد الترتيبي المستقر أكبر بكثير من أصغر عدد ترتيبي مضغوط ضعيفًا بشكل متكرر: لقد ثبت أن أصغر${\displaystyle (+1)}$-الترتيب المستقر هو${\displaystyle \Pi _{n}}$-انعكاس لجميع القيم المحدودة${\displaystyle n}$[ ^{2 ]​}
  • بشكل عام، العدد الترتيبي المعدود${\displaystyle \alpha }$يُطلق عليه اسم${\displaystyle (+\beta )}$-مستقر إذا${\displaystyle L_{\alpha }\preceq _{1}L_{\alpha +\beta }}$.
• عدد ترتيبي قابل للعد${\displaystyle \alpha }$يُطلق عليه اسم${\displaystyle (^{+})}$-مستقر إذا${\displaystyle L_{\alpha }\preceq _{1}L_{\alpha ^{+}}}$، أين${\displaystyle \alpha ^{+}}$هو أصغر عدد ترتيبي مقبول${\displaystyle >\alpha }$الأصغر${\displaystyle (^{+})}$- الترتيب المستقر أكبر بكثير من أصغرها${\displaystyle (+1)}$-مستقر أو الأصغر${\displaystyle (+\beta )}$مستقر لأي ثابت${\displaystyle \beta }$.
• عدد ترتيبي قابل للعد${\displaystyle \alpha }$يُطلق عليه اسم${\displaystyle (^{++})}$-مستقر إذا${\displaystyle L_{\alpha }\preceq _{1}L_{\alpha ^{++}}}$، أين${\displaystyle \alpha ^{+}}$و${\displaystyle \alpha ^{++}}$هما أصغر عددين ترتيبيين مقبولين${\displaystyle >\alpha }$الأصغر${\displaystyle (^{++})}$- الترتيب المستقر أكبر من أصغر${\displaystyle \سيجما _{1}^{1}}$-انعكاسي.
• عدد ترتيبي قابل للعد${\displaystyle \alpha }$يُطلق عليه اسم مستقر بشكل لا يمكن الوصول إليه إذا وفقط إذا${\displaystyle L_{\alpha }\preceq _{1}L_{\beta }}$، أين${\displaystyle \beta }$هو أصغر عدد ترتيبي غير قابل للوصول إليه بشكل متكرر${\displaystyle >\alpha }$أصغر عدد ترتيبي غير مستقر يصعب الوصول إليه يكون أكبر من أصغر عدد ترتيبي مستقر يصعب الوصول إليه.${\displaystyle (^{++})}$-مستقر.
• عدد ترتيبي قابل للعد${\displaystyle \alpha }$يُطلق عليه اسم Mahlo-stable إذا وفقط إذا${\displaystyle L_{\alpha }\preceq _{1}L_{\beta }}$، أين${\displaystyle \beta }$هو أصغر ترتيب ماهلو متكرر${\displaystyle >\alpha }$أصغر عدد ترتيبي مستقر وفقًا لماهلو أكبر من أصغر عدد ترتيبي مستقر بشكل غير قابل للوصول.
• عدد ترتيبي قابل للعد${\displaystyle \alpha }$يُطلق عليه اسم مزدوج${\displaystyle (+1)}$-مستقر إذا${\displaystyle L_{\alpha }\preceq _{1}L_{\beta }\preceq _{1}L_{\beta +1}}$الأصغر ضعف${\displaystyle (+1)}$العدد الترتيبي المستقر أكبر من أصغر عدد ترتيبي مستقر من نوع ماهلو.

وتشمل الأعداد الترتيبية غير المتكررة الأكبر حجماً ما يلي: ^{[ 1 ]}

• الترتيب الأدنى${\displaystyle \alpha }$بحيث${\displaystyle L_{\alpha }\preceq _{1}L_{\beta }}$أين${\displaystyle \beta }$هو أصغر عدد ترتيبي غير قابل للإسقاط.
• ترتيبي${\displaystyle \alpha }$غير قابل للإسقاط إذا${\displaystyle \alpha }$هو حد لـ${\displaystyle \alpha }$- الأعداد الترتيبية المستقرة، أو؛ إذا كانت المجموعة${\displaystyle X=\left\{\beta <\alpha \mid L_{\beta }\preceq _{1}L_{\alpha }\right\}}$غير محدود في${\displaystyle \alpha }$.
• الترتيب الترتيبي للتحليل المتفرع، والذي يُكتب غالبًا على النحو التالي:${\displaystyle \beta _{0}}$هذا هو الأصغر${\displaystyle \beta }$بحيث${\displaystyle L_{\beta }\cap {\mathsf {P}}(\omega )}$هو نموذج للفهم من الدرجة الثانية ، أو${\displaystyle L_{\beta }\models {\mathsf {ZFC^{-}}}}$، وهو${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$بدون بديهية مجموعة القوى .
• الترتيب الأدنى${\displaystyle \alpha }$بحيث${\displaystyle L_{\alpha }\models {\mathsf {KP}}+{\text{'}}\omega _{1}{\text{ exists'}}}$وقد تم توصيف هذا الترتيب بواسطة توشياسو أراي. ^{[ 11 ]}
• الترتيب الأدنى${\displaystyle \alpha }$بحيث${\displaystyle L_{\alpha }\models {\mathsf {ZFC^{-}}}+{\text{'}}\omega _{1}{\text{ exists'}}}$.
• الترتيب الأقل استقراراً.