مجموعة غير متبلورة

في نظرية المجموعات ، المجموعة غير المتبلورة هي مجموعة لانهائية لا تمثل اتحادًا منفصلاً لمجموعتين جزئيتين لانهائيتين . ^{[ 1 ]}

لا يمكن أن توجد مجموعات غير متبلورة إذا افترضنا بديهية الاختيار . بنى فرانكل نموذج تبديل لنظرية زيرميلو-فرانكل مع الذرات، حيث تكون مجموعة الذرات مجموعة غير متبلورة. وهذا كافٍ لإثبات اتساق وجود مجموعة غير متبلورة مع نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات مع الذرات. ^{[ 2 ]} بعد العمل الأولي لكوهين حول الإجبار في عام 1963، تم الحصول على براهين على اتساق المجموعات غير المتبلورة مع نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات . ^{[ 3 ]}

كل مجموعة غير متبلورة هي مجموعة منتهية وفقًا لتصنيف ديديكيند ، أي أنها لا تملك تقابلًا مع أي مجموعة جزئية فعلية منها. ولتوضيح ذلك، لنفترض أن${\displaystyle S}$هي مجموعة لها تقابل${\displaystyle f}$إلى مجموعة جزئية فعلية. لكل عدد طبيعي${\displaystyle i\geq 0}$ يُعرِّف${\displaystyle S_{i}}$أن تكون مجموعة العناصر التي تنتمي إلى صورة${\displaystyle i}$تركيب f مع نفسها ولكن ليس مع صورتها${\displaystyle (i+1)}$تركيب مطوي. ثم كل${\displaystyle S_{i}}$هي غير فارغة، لذا فإن اتحاد المجموعات${\displaystyle S_{i}}$ستكون المجموعة ذات المؤشرات الزوجية مجموعة لانهائية يكون مكملها في${\displaystyle S}$وهي أيضاً لانهائية، مما يدل على أن${\displaystyle S}$لا يمكن أن تكون غير متبلورة. ومع ذلك، فإن العكس ليس صحيحًا بالضرورة: فمن المتسق وجود مجموعات لانهائية من نوع ديديكيند غير متبلورة. ^{[ 4 ]}

لا يمكن ترتيب أي مجموعة غير متبلورة ترتيبًا خطيًا . ^{[ 5 ] [ 6 ]} ولأن صورة المجموعة غير المتبلورة هي نفسها إما غير متبلورة أو منتهية، فإنه يترتب على ذلك أن كل دالة من مجموعة غير متبلورة إلى مجموعة مرتبة خطيًا لها صورة منتهية فقط.

المرشح المحدود على مجموعة غير متبلورة هو مرشح فائق . وذلك لأن متممة كل مجموعة جزئية لانهائية يجب ألا تكون لانهائية، لذا فإن كل مجموعة جزئية إما منتهية أو محدودة.

لو${\displaystyle \Pi }$إذا كان تقسيمًا لمجموعة غير متبلورة إلى مجموعات جزئية منتهية، فيجب أن يكون هناك عدد صحيح واحد فقط${\displaystyle n(\Pi )}$بحيث${\displaystyle \Pi }$يحتوي على عدد لا نهائي من المجموعات الفرعية ذات الحجم${\displaystyle n}$وذلك لأنه إذا تم استخدام كل حجم عددًا محدودًا من المرات، أو إذا تم استخدام أكثر من حجم واحد عددًا لا نهائيًا من المرات، فيمكن استخدام هذه المعلومات لتقليص حجم التقسيم وتقسيمه.${\displaystyle \Pi }$إلى مجموعتين جزئيتين لانهائيتين. إذا كانت المجموعة غير المتبلورة تتمتع بالخاصية الإضافية التي، لكل تجزئة${\displaystyle \Pi }$،${\displaystyle n(\Pi )=1}$عندئذٍ يُطلق عليه اسم غير متبلور تمامًا أو غير متبلور بقوة ، وإذا كان هناك حد أعلى محدود على${\displaystyle n(\Pi )}$عندئذٍ تُسمى المجموعة مجموعةً محدودةً غير متبلورة . ويتوافق مع نظرية ZF أن المجموعات غير المتبلورة موجودة وجميعها محدودة، أو أنها موجودة وجميعها غير محدودة. ^{[ 1 ]}