نظرية التراص

تستلزم نظرية التراص النتيجة التالية، التي ذكرها أبراهام روبنسون في أطروحته عام 1949.

مبدأ روبنسون: ^{[ 5 ] [ 6 ]} إذا كانت جملة من الدرجة الأولى صحيحة في كل حقل ذي خاصية صفرية، فإنه يوجد ثابت${\displaystyle p}$بحيث تكون الجملة صحيحة لكل حقل ذي خاصية أكبر من${\displaystyle p.}$يمكن النظر إلى ذلك على النحو التالي: لنفترض${\displaystyle \varphi }$هي جملة صحيحة في كل حقل ذي خاصية صفر. ثم نفيها${\displaystyle \lnot \varphi ,}$بالإضافة إلى بديهيات المجال والتسلسل اللانهائي للجمل $${\displaystyle 1+1\neq 0,\;\;1+1+1\neq 0,\;\ldots }$$ غير قابل للإرضاء (لأنه لا يوجد حقل ذو خاصية 0 يكون فيه${\displaystyle \lnot \varphi }$ينطبق هذا، ويضمن التسلسل اللانهائي للجمل أن أي نموذج سيكون حقلاً ذا خاصية 0). لذلك، توجد مجموعة جزئية منتهية${\displaystyle A}$من هذه الجمل التي لا يمكن تحقيقها.${\displaystyle A}$يجب أن يحتوي على${\displaystyle \lnot \varphi }$لأنه بخلاف ذلك سيكون قابلاً للتنفيذ. لأن إضافة المزيد من الجمل إلى${\displaystyle A}$لا يغير ذلك من عدم إمكانية الإرضاء، ويمكننا أن نفترض أن${\displaystyle A}$يحتوي على بديهيات المجال، ولبعض${\displaystyle k,}$الأول${\displaystyle k}$جمل من الشكل${\displaystyle 1+1+\cdots +1\neq 0.}$يترك${\displaystyle B}$تحتوي على جميع جمل${\displaystyle A}$يستثني${\displaystyle \lnot \varphi .}$ثم أي حقل له خاصية أكبر من${\displaystyle k}$هو نموذج لـ${\displaystyle B,}$و${\displaystyle \lnot \varphi }$مع${\displaystyle B}$غير قابل للتنفيذ. هذا يعني أن${\displaystyle \varphi }$يجب أن ينطبق هذا على كل نموذج من${\displaystyle B,}$وهذا يعني بالضبط ذلك${\displaystyle \varphi }$ينطبق هذا في كل مجال من مجالات الخصائص التي تزيد عن${\displaystyle k.}$وبهذا يكتمل البرهان.

مبدأ ليفشيتز ، وهو أحد الأمثلة الأولى لمبدأ النقل ، يوسع هذه النتيجة. جملة من الدرجة الأولى${\displaystyle \varphi }$في لغة الحلقات ، يكون هذا صحيحًا في حقل مغلق جبريًا ما (أو بشكل مكافئ، في كل حقل ) ذي خاصية صفرية (مثل الأعداد المركبة على سبيل المثال) إذا وفقط إذا وُجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.${\displaystyle p}$والتي${\displaystyle \varphi }$صحيح في حقل مغلق جبريًا ذي خاصية${\displaystyle p,}$وفي هذه الحالة${\displaystyle \varphi }$صحيح في جميع الحقول المغلقة جبريًا ذات خاصية غير صفرية كبيرة بما فيه الكفاية${\displaystyle p.}$^{[ 5 ]} إحدى النتائج هي الحالة الخاصة التالية لنظريةأكس-غروتينديك: جميعكثيرات الحدودالعقديةالحقنية${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}}$هي دوال شاملة ^{[ 5 ]} (بل يمكن إثبات أن معكوسها سيكون أيضًا متعددة حدود). ^{[ 7 ]} في الواقع، تبقى نتيجة الشمولية صحيحة لأي متعددة حدود أحادية${\displaystyle F^{n}\to F^{n}}$أين${\displaystyle F}$هو حقل منتهٍ أو الإغلاق الجبري لمثل هذا الحقل. ^{[ 7 ]}

يُظهر تطبيقٌ ثانٍ لنظرية التراص أن أي نظرية تحتوي على نماذج محدودة كبيرة كيفما كانت، أو نموذج واحد لانهائي، تحتوي على نماذج ذات عدد عناصر كبير كيفما كانت (وهذه هي نظرية لوفنهايم-سكوليم الصاعدة ). فعلى سبيل المثال، توجد نماذج غير قياسية لحساب بيانو تحتوي على عدد لا يُحصى من "الأعداد الطبيعية". ولتحقيق ذلك، لنفترض${\displaystyle T}$لنكن النظرية الأولية ولندع${\displaystyle \kappa }$ليكن أي عدد أصلي . أضف إلى لغة${\displaystyle T}$رمز ثابت واحد لكل عنصر من عناصر${\displaystyle \kappa .}$ثم أضف إلى${\displaystyle T}$مجموعة من الجمل التي تنص على أن الأشياء التي يرمز إليها بأي رمزين ثابتين مختلفين من المجموعة الجديدة هي أشياء مختلفة (هذه مجموعة من${\displaystyle \kappa ^{2}}$الجمل). بما أن كل مجموعة جزئية منتهية من هذه النظرية الجديدة قابلة للتحقيق بواسطة نموذج منتهٍ كبير بما فيه الكفاية من${\displaystyle T,}$أو بأي نموذج لانهائي، فإن النظرية الموسعة بأكملها قابلة للإرضاء. لكن أي نموذج للنظرية الموسعة له عدد عناصر على الأقل${\displaystyle \kappa }$.

يتمثل التطبيق الثالث لنظرية التراص في بناء نماذج غير قياسية للأعداد الحقيقية، أي امتدادات متسقة لنظرية الأعداد الحقيقية التي تحتوي على أعداد "متناهية الصغر". ولتوضيح ذلك، لنفترض${\displaystyle \Sigma }$لنفترض أن هذه بديهية من الدرجة الأولى لنظرية الأعداد الحقيقية. لننظر في النظرية التي تم الحصول عليها بإضافة رمز ثابت جديد.${\displaystyle \varepsilon }$إلى اللغة والمجاورة لـ${\displaystyle \Sigma }$البديهية${\displaystyle \varepsilon >0}$والمسلمات${\displaystyle \varepsilon <{\tfrac {1}{n}}}$لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle n.}$ من الواضح أن الأعداد الحقيقية القياسية${\displaystyle \mathbb {R} }$تُعدّ نموذجًا لكل مجموعة جزئية منتهية من هذه البديهيات، لأن الأعداد الحقيقية تُحقق كل شيء في${\displaystyle \Sigma }$وباختيار مناسب لـ${\displaystyle \varepsilon ,}$يمكن جعلها تحقق أي مجموعة جزئية محدودة من البديهيات المتعلقة بـ${\displaystyle \varepsilon .}$ بحسب نظرية التراص، يوجد نموذج${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$ذلك يرضي${\displaystyle \Sigma }$ويحتوي أيضًا على عنصر متناهي الصغر${\displaystyle \varepsilon .}$

حجة مماثلة، هذه المرة مقترنة بالمسلمات${\displaystyle \omega >0,\;\omega >1,\ldots ,}$إلخ، يُظهر أن وجود أعداد ذات مقادير لانهائية لا يمكن استبعاده بأي بديهية.${\displaystyle \Sigma }$من الأعداد الحقيقية. ^{[ 8 ]}

يمكن إثبات أن الأعداد الحقيقية الفائقة${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$تحقيق مبدأ النقل : ^{[ 9 ]} جملة من الدرجة الأولى صحيحة لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$إذا وفقط إذا كان ذلك صحيحًا بالنسبة لـ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} .}$