دالة صفة

وظيفة
x ↦ f  ( x )
تاريخ مفهوم الوظيفة
أنواع حسب النطاق والنطاق المشترك
س → 𝔹 𝔹 → X 𝔹 ن → س س → ℤ ℤ → س س → ℝ ℝ → س ℝ ن → س س → ℂ ℂ → س ℂ ن → س
الفئات/الخصائص
ثابت هوية خطي متعدد الحدود عاقِل جبري تحليلي سلس مستمر قابلة للقياس حقنة صفة ثنائي الاتجاه
الإنشاءات
تقييد تعبير λ معكوس
التعميمات
العلاقة ( علاقة ثنائية ) مجموعة القيم متعدد القيم جزئي ضمني فضاء أعلى مرتبة الشكلية المُستخدِم
قائمة الوظائف المحددة
ف ت هـ

في الرياضيات ، الدالة الشاملة (المعروفة أيضًا باسم الدالة الشاملة أو الدالة على /ˈɒn.tuː/ ) هي دالة f بحيث يوجد لكل عنصر y من المجال التكميلي للدالة عنصر واحد على الأقل x في مجال الدالة بحيث f ( x ) = y . بعبارة أخرى، بالنسبة للدالة f : X →  Y ، فإن المجال التكميلي Y هو صورة مجال الدالة X. ^{[1] [2]} ليس من الضروري أن تكون x فريدة ؛ يمكن للدالة f تعيين عنصر واحد أو أكثر من X لنفس عنصر Y.

تم تقديم مصطلح surjective والمصطلحين المرتبطين به injective و bijective بواسطة Nicolas Bourbaki ، ^{[3] [4]} وهي مجموعة من علماء الرياضيات الفرنسيين في القرن العشرين بشكل أساسي ، والذين كتبوا تحت هذا الاسم المستعار سلسلة من الكتب تقدم عرضًا للرياضيات المتقدمة الحديثة، بدءًا من عام 1935. تعني الكلمة الفرنسية sur فوق أو فوق ، وترتبط بحقيقة أن صورة مجال الدالة الفوقية تغطي مجال الدالة المشترك بالكامل.

أي دالة تحث على فرضية فرضية من خلال تقييد مجالها المشترك بصورة مجالها. كل دالة فرضية لها معكوس أيمن بافتراض بديهية الاختيار ، وكل دالة لها معكوس أيمن هي بالضرورة فرضية فرضية. تركيب الدوال الفرضية هو فرضية فرضية دائمًا. يمكن تحليل أي دالة إلى فرضية فرضية وحقن.

الدالة الفوقية هي دالة تكون صورتها مساوية لمجالها المقابل . وعلى نحو مكافئ، تكون الدالة ذات المجال والمجال المقابل دالة فوقية إذا كان لكل في يوجد واحد على الأقل في مع . ^[1] يتم الإشارة إلى الفوقيات أحيانًا بسهم ذي رأسين متجهًا إلى اليمين ( U+ 21A0 ↠ سهم ذي رأسين متجهًا إلى اليمين )، ^[5] كما في . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)=y}$ ${\displaystyle f\colon X\twoheadrightarrow Y}$

رمزيا،

إذا ، فيقال أنها شمولية إذا${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \forall y\in Y,\,\exists x\in X,\;\;f(x)=y}$. ^{[2] [6]}

• بالنسبة لأي مجموعة X ، فإن دالة الهوية id _X على X هي دالة مطلقة.
• الدالة f  : Z → {0, 1} المعرفة بواسطة f ( n ) = n mod 2 (أي أن الأعداد الصحيحة الزوجية يتم تعيينها إلى 0 والأعداد الصحيحة الفردية إلى 1) هي دالة شاملة.
• الدالة f  : R → R المعرفة بواسطة f ( x ) = 2 x + 1 هي دالة تامة (وحتى دالة ثنائية )، لأنه بالنسبة لكل عدد حقيقي y ، لدينا x بحيث f ( x ) = y : مثل هذا x المناسب هو ( y − 1)/2.
• الدالة f  : R → R المحددة بواسطة f ( x ) = x ³ − 3 x دالة شمولية، لأن الصورة الأولية لأي عدد حقيقي y هي مجموعة حل معادلة كثيرة الحدود المكعبة x ³ − 3 x − y = 0، وكل كثيرة حدود مكعبة ذات معاملات حقيقية لها على الأقل جذر حقيقي واحد. ومع ذلك، فإن هذه الدالة ليست دالة شمولية (وبالتالي ليست دالة شمولية )، حيث أن الصورة الأولية لـ y = 2 على سبيل المثال هي { x = −1, x = 2}. (في الواقع، تحتوي الصورة الأولية لهذه الدالة لكل y و −2 ≤ y ≤ 2 على أكثر من عنصر واحد.)
• الدالة g  : R → R المعرفة بواسطة g ( x ) = x ² ليست دالة مطلقة ، لأنه لا يوجد عدد حقيقي x بحيث x ² = −1 . ومع ذلك، فإن الدالة g  : R → R _≥0 المعرفة بواسطة g ( x ) = x ² (مع المجال المشترك المقيد) هي دالة مطلقة، لأنه بالنسبة لكل y في المجال المشترك الحقيقي غير السالب Y ، يوجد على الأقل x واحد في المجال الحقيقي X بحيث x ² = y .
• دالة اللوغاريتم الطبيعي ln : (0, +∞) → R هي دالة شمولية وثنائية زوجية (تنتقل من مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة إلى مجموعة كل الأعداد الحقيقية). ومعكوسها، الدالة الأسية ، إذا تم تعريفها بمجموعة الأعداد الحقيقية كمجال ومجال مشترك، فهي ليست شمولية (حيث إن نطاقها هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة).
• لا يكون الأس المصفوفي شاملًا عندما يُنظر إليه كخريطة من فضاء جميع المصفوفات n × n إلى نفسه. ومع ذلك، يتم تعريفه عادةً كخريطة من فضاء جميع المصفوفات n × n إلى المجموعة الخطية العامة من الدرجة n (أي مجموعة جميع المصفوفات القابلة للعكس n × n ). بموجب هذا التعريف، يكون الأس المصفوفي شاملًا للمصفوفات المركبة، على الرغم من أنه لا يزال غير شامل للمصفوفات الحقيقية.
• الإسقاط من حاصل الضرب الديكارتي A × B إلى أحد عوامله هو إسقاط فوقي، ما لم يكن العامل الآخر فارغًا .
• في لعبة فيديو ثلاثية الأبعاد، يتم عرض المتجهات على شاشة مسطحة ثنائية الأبعاد عن طريق وظيفة surjective.

تكون الدالة ثنائية التقابل إذا وفقط إذا كانت ثنائية التقابل وثنائية التقابل .

إذا تم تحديد دالة (كما هو الحال غالبًا) من خلال رسمها البياني ، فإن الضمائر المتعدية ليست خاصية للدالة نفسها، بل هي خاصية للتعيين . [ ^7] وهذا هو، الدالة مع مجالها المشترك. وعلى عكس الضمائر المتعدية، لا يمكن قراءة الضمائر المتعدية من رسم الدالة وحدها.

يُقال إن الدالة g  : Y → X هي معكوس يمين للدالة f  : X → Y إذا كانت f ( g ( y )) = y لكل y في Y ( يمكن التراجع عن g بواسطة f ). بعبارة أخرى، تكون g معكوس يمين لـ f إذا كان التركيب f o g لـ g و f بهذا الترتيب هو دالة الهوية على المجال Y لـ g . لا يلزم أن تكون الدالة g معكوسًا كاملاً لـ f لأن التركيب في الترتيب الآخر، g o f ، قد لا يكون دالة الهوية على المجال X لـ f . بعبارة أخرى، يمكن لـ f التراجع عن g أو " عكسها " ، ولكن لا يمكن بالضرورة عكسها بواسطة f.

كل دالة لها معكوس أيمن هي بالضرورة دالة فوقية. والافتراض القائل بأن كل دالة فوقية لها معكوس أيمن يعادل بديهية الاختيار .

إذا كانت f  : X → Y هي معادلة مطلقة و B هي مجموعة جزئية من Y ، فإن f ( f ⁻¹ ( B )) = B. وبالتالي، يمكن استرداد B من صورتها الأولية f ⁻¹ ( B ) .

على سبيل المثال، في الرسم التوضيحي الأول في المعرض، توجد دالة g بحيث تكون g ( C ) = 4. توجد أيضًا دالة f بحيث تكون f (4) = C. لا يهم أن g ليست فريدة (سوف تعمل أيضًا إذا كانت g ( C ) تساوي 3)؛ ما يهم فقط هو أن f "تعكس" g .

تكون الدالة f  : X → Y دالة شاملة إذا وفقط إذا كانت قابلة للإلغاء لليمين : ^[8] مع أي دالة g ، h  : Y → Z ، كلما كانت g o f = h o f ، فإن g = h . تمت صياغة هذه الخاصية من حيث الدوال وتكوينها ويمكن تعميمها على المفهوم الأكثر عمومية لصيغ الفئة وتكوينها . تسمى صيغ الإلغاء لليمين بالصيغ المتشابهة . على وجه التحديد، الدوال الشاملة هي بالتحديد الصيغ المتشابهة في فئة المجموعات . تشتق البادئة epi من حرف الجر اليوناني ἐπί الذي يعني فوق ، على ، على .

أي شكل له معكوس أيمن هو شكل متماثل، ولكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام. يسمى المعكوس الأيمن g لشكل f قسمًا من f . يسمى الشكل الذي له معكوس أيمن شكل متماثل منقسم .

يمكن رؤية أي دالة ذات مجال X ومجال Y كعلاقة ثنائية فريدة من نوعها على اليسار واليمين بين X و Y من خلال تحديدها برسم الدالة الخاص بها . تكون الدالة الشاملة ذات المجال X والمجال Y علاقة ثنائية فريدة من نوعها على اليمين وإجمالي يسار وإجمالي يمين .

عدد عناصر مجال الدالة الشاملة أكبر من أو يساوي عدد عناصر مجالها المشترك: إذا كانت f  : X → Y دالة شاملة، فإن X تحتوي على عدد من العناصر يساوي على الأقل عدد عناصر Y ، بمعنى الأعداد الأساسية . (يستند الدليل إلى بديهية الاختيار لإظهار وجود دالة g  : Y → X تحقق f ( g ( y )) = y لجميع y في Y. من السهل ملاحظة أن g دالة تكاملية، وبالتالي فإن التعريف الرسمي لـ | Y | ≤ | X | يتحقق .)

على وجه التحديد، إذا كان كل من X و Y منتهيين بنفس عدد العناصر، فإن f  : X → Y تكون حامضية إذا وفقط إذا كانت f حامضية .

بالنظر إلى مجموعتين X و Y ، يتم استخدام الصيغة X ≤ ^* Y للقول بأن X إما فارغة أو أن هناك إسقاطًا من Y إلى X. باستخدام بديهية الاختيار، يمكن للمرء أن يُظهر أن X ≤ ^* Y و Y ≤ ^* X معًا يعنيان أن | Y | = | X |، وهو أحد أشكال نظرية شرودر-برنشتاين .

إن تركيب الدوال الفوقية يكون دائمًا فوقيًا: إذا كانت كل من f و g فوقية، وكان المجال المشترك لـ g مساويًا لمجال f ، فإن f o g تكون فوقية. وعلى العكس من ذلك، إذا كانت f o g فوقية، فإن f تكون فوقية (ولكن g ، الدالة المطبقة أولاً، لا يلزم أن تكون كذلك). تعمم هذه الخصائص من الفوقية في فئة المجموعات إلى أي تماثلات في أي فئة .

يمكن تحليل أي دالة إلى إسقاط فوقي وحقن : لأي دالة h  : X → Z يوجد إسقاط فوقي f  : X → Y وحقن g  : Y → Z بحيث يكون h = g o f . لرؤية ذلك، عرّف Y على أنها مجموعة الصور الأولية h ⁻¹ ( z ) حيث z في h ( X ) . هذه الصور الأولية منفصلة وتقسم X. ثم تحمل f كل x إلى عنصر Y الذي يحتويه، وتحمل g كل عنصر من Y إلى النقطة في Z التي يرسل إليها h نقاطه. ثم تكون f إسقاطية لأنها خريطة إسقاط، وتكون g حقنية بحكم التعريف.

أي دالة تحث على التطابق عن طريق تقييد مجالها المشترك بمداها. أي دالة تطابق تحث على تطابق ثنائي محدد على حاصل قسمة مجالها عن طريق انهيار جميع الحجج التي يتم تعيينها إلى صورة ثابتة معينة. بتعبير أدق، يمكن تحليل كل تطابق f  : A → B كعامل إسقاط يتبعه تطابق ثنائي على النحو التالي. دع A /~ تكون فئات التكافؤ لـ A بموجب علاقة التكافؤ التالية : x ~ y إذا وفقط إذا كانت f ( x ) = f ( y ). على نحو مكافئ، A /~ هي مجموعة جميع الصور الأولية بموجب f . دع P (~) : A → A /~ تكون خريطة الإسقاط التي ترسل كل x في A إلى فئة التكافؤ الخاصة بها [ x ] _~ ، ودع f _P  : A /~ → B تكون الدالة المحددة جيدًا المعطاة بواسطة f _P ([ x ] _~ ) = f ( x ). ثم f = f _P o P (~).

بالنظر إلى المجموعات الثابتة المحدودة A و B ، يمكننا تكوين مجموعة من الفرضيات A ↠ B. عددية هذه المجموعة هي أحد الجوانب الاثني عشر لطريقة روتا الاثني عشرية ، وتعطى بواسطة ، حيث يشير إلى عدد ستيرلنغ من النوع الثاني . ${\textstyle |B|!{\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}}}$${\textstyle {\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}}}$

• 
  التركيب الوصفي: لا يشترط أن تكون الوظيفة الأولى وصفية.
• 
  الدوال غير الفوقية في المستوى الديكارتي. على الرغم من أن بعض أجزاء الدالة تفوقية، حيث تحتوي العناصر y في Y على قيمة x في X بحيث y = f ( x )، إلا أن بعض الأجزاء ليست كذلك. على اليسار: يوجد y ₀ في Y ، ولكن لا يوجد x ₀ في X بحيث y ₀ = f ( x ₀ ). على اليمين: يوجد y ₁ و y ₂ و y ₃ في Y ، ولكن لا يوجد x ₁ و x ₂ و x ₃ في X بحيث y ₁ = f ( x ₁ ) و y ₂ = f ( x ₂ ) و y ₃ = f ( x ₃ ).
• 
  تفسير الدوال الشاملة في المستوى الديكارتي، المحدد بالتعيين f  : X → Y ، حيث y = f ( x )، X = مجال الدالة، Y = نطاق الدالة. يتم تعيين كل عنصر في النطاق من عنصر في المجال، بالقاعدة f . قد يكون هناك عدد من عناصر المجال التي يتم تعيينها إلى نفس عنصر النطاق. أي أن كل y في Y يتم تعيينه من عنصر x في X ، ويمكن لأكثر من x واحد أن يتم تعيينه إلى نفس y . اليسار: يظهر مجال واحد فقط مما يجعل f شاملة. اليمين: يظهر مجالين محتملين X ₁ و X _{2 .}

• الالتحام والحقن والالتحام
• الغلاف (الجبر)
• تغطية الخريطة
• تعداد
• حزمة الألياف
• مجموعة الفهرس
• القسم (نظرية الفئات)

• بورباكي، ن . (2004) [1968]. نظرية المجموعات. عناصر الرياضيات . المجلد 1. سبرينغر. doi :10.1007/978-3-642-59309-3. ISBN 978-3-540-22525-6. LCCN  2004110815.