دالة ذات قيم حقيقية

في الرياضيات، الدالة الحقيقية هي دالة تكون قيمها أعدادًا حقيقية . بعبارة أخرى، هي دالة تُسند عددًا حقيقيًا لكل عنصر من عناصر مجالها .

تُعدّ الدوال الحقيقية لمتغير حقيقي (وتُسمى عادةً بالدوال الحقيقية ) والدوال الحقيقية لعدة متغيرات حقيقية الموضوع الرئيسي لدراسة حساب التفاضل والتكامل، وبشكل أعم، التحليل الحقيقي . وعلى وجه الخصوص، تتكون العديد من فضاءات الدوال من دوال حقيقية.

يترك${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$لتكن مجموعة جميع الدوال من مجموعة X إلى الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$. لأن${\displaystyle \mathbb {R} }$هو حقل ،${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$يمكن تحويلها إلى فضاء متجهي وجبر تبديلي على الأعداد الحقيقية باستخدام العمليات التالية:

• ${\displaystyle f+g:x\mapsto f(x)+g(x)}$– جمع المتجهات
• ${\displaystyle \mathbf {0} :x\mapsto 0}$– الهوية الإضافية
• ${\displaystyle cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in \mathbb {R} }$– الضرب القياسي
• ${\displaystyle fg:x\mapsto f(x)g(x)}$– الضرب النقطي

تمتد هذه العمليات إلى الدوال الجزئية من X إلى${\displaystyle \mathbb {R} ,}$مع القيد القائل بأن الدوال الجزئية f + g و f g معرفة فقط إذا كان لمجالات f و g تقاطع غير فارغ؛ في هذه الحالة، يكون مجالها هو تقاطع مجالات f و g .

أيضًا، بما أن${\displaystyle \mathbb {R} }$إذا كانت مجموعة مرتبة، فهناك ترتيب جزئي

• ${\displaystyle \ f\leq g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leq g(x),}$

على${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} }),}$مما يجعل${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$حلقة مرتبة جزئياً .

يُعدّ جبر سيجما لمجموعات بوريل بنيةً مهمةً في الأعداد الحقيقية. إذا كان للمجموعة X جبر سيجما خاص بها، وكانت هناك دالة f بحيث تنتمي الصورة العكسية f⁻¹ ( B ) لأي مجموعة بوريل B إلى جبر سيجما هذا، فإن f تُسمى قابلة للقياس . كما تُشكّل الدوال القابلة للقياس فضاءً متجهيًا وجبرًا، كما هو موضح أعلاه في ^قسم البنية  الجبرية .

علاوة على ذلك، يمكن لمجموعة (عائلة) من الدوال الحقيقية على X أن تُعرّف جبر سيجما على X مُوَلَّدًا بواسطة جميع الصور العكسية لجميع مجموعات بوريل (أو للفترات فقط، فالأمر ليس مهمًا). هذه هي الطريقة التي تنشأ بها جبر سيجما في نظرية الاحتمالات ( لكولموغوروف ) ، حيث تكون الدوال الحقيقية على فضاء العينة Ω متغيرات عشوائية حقيقية .

تشكل الأعداد الحقيقية فضاءً طوبولوجيًا وفضاءً متريًا كاملًا . وتُعدّ الدوال الحقيقية المتصلة (مما يعني أن X فضاء طوبولوجي) مهمة في نظريات الفضاءات الطوبولوجية والفضاءات المترية . وتنص نظرية القيمة القصوى على أنه لأي دالة حقيقية متصلة على فضاء متراص، توجد قيمتها العظمى والصغرى المطلقتان .

يُعرَّف مفهوم الفضاء المتري بدالة حقيقية القيمة لمتغيرين، وهي الدالة المترية ، وهي دالة متصلة. ويكتسب فضاء الدوال المتصلة على فضاء هاوسدورف متراص أهمية خاصة. كما يمكن اعتبار المتتابعات المتقاربة دوالًا حقيقية القيمة متصلة على فضاء طوبولوجي خاص.

تشكل الدوال المتصلة أيضًا فضاءً متجهيًا وجبرًا كما هو موضح أعلاه في §  البنية الجبرية ، وهي فئة فرعية من الدوال القابلة للقياس لأن أي فضاء طوبولوجي يحتوي على جبر σ الناتج عن المجموعات المفتوحة (أو المغلقة).

تُستخدم الأعداد الحقيقية كمجال مقابل لتعريف الدوال الملساء. يمكن أن يكون مجال الدالة الملساء الحقيقية هو فضاء الإحداثيات الحقيقي (الذي ينتج عنه دالة متعددة المتغيرات حقيقية )، أو فضاء متجهي طوبولوجي ، ^{[ 1 ]} أو مجموعة جزئية مفتوحة منه، أو مشعب أملس .

تُعد فضاءات الدوال الملساء أيضًا فضاءات متجهة وجبرًا كما هو موضح أعلاه في §  البنية الجبرية وهي فضاءات فرعية من فضاء الدوال المتصلة .

القياس على مجموعة هو دالة حقيقية غير سالبة على جبر سيجما للمجموعات الجزئية. ^{[ 2 ]} تُعرَّف فضاءات Lp على المجموعات ذات القياس من الدوال الحقيقية القابلة للقياس المذكورة آنفًا ، على الرغم من أنها في الواقع فضاءات خارج القسمة . بتعبير أدق، بينما تُعرِّف دالة تُحقق شرطًا مناسبًا للجمع عنصرًا من فضاء Lp، في الاتجاه المعاكس لأي f ∈ Lp( X ) ^و x ∈ X ^{ليس عنصرًا} ذريًا ، تكون قيمة f ( x ) غير مُعرَّفة . مع ذلك ، لا تزال فضاءات ^Lp الحقيقية تحتفظ ببعض البنية الموصوفة أعلاه في § البنية الجبرية . كل فضاء من فضاءات Lp ^هو فضاء متجه وله ترتيب جزئي، ويوجد ضرب نقطي لـ "الدوال" يُغيِّر p ، أي 

${\displaystyle \cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leq \alpha ,\beta \leq 1,\quad \alpha +\beta \leq 1.}$

على سبيل المثال، فإن حاصل الضرب النقطي لدالتين من النوع L2 ^ينتمي إلى ^L1 .

تشمل السياقات الأخرى التي تستخدم فيها الدوال ذات القيم الحقيقية وخصائصها الخاصة الدوال الرتيبة (على المجموعات المرتبة )، والدوال المحدبة (على الفضاءات المتجهة والفضاءات الأفينية )، والدوال التوافقية وشبه التوافقية (على مشعبات ريمان )، والدوال التحليلية (عادةً لمتغير حقيقي واحد أو أكثر)، والدوال الجبرية (على المتنوعات الجبرية الحقيقية )، ومتعددات الحدود (لمتغير حقيقي واحد أو أكثر).

• التحليل الحقيقي
• المعادلات التفاضلية الجزئية — مستخدم رئيسي للدوال ذات القيم الحقيقية
• المعيار (الرياضيات)
• كمية قياسية (رياضيات)

• أبوستول، توم م. (1974). التحليل الرياضي (  الطبعة الثانية). أديسون-ويسلي. ISBN 978-0-201-00288-1.
• جيرالد فولاند ، التحليل الحقيقي: التقنيات الحديثة وتطبيقاتها، الطبعة الثانية، جون وايلي وأولاده، 1999، رقم ISBN 0-471-31716-0.
• رودين، والتر (1976). مبادئ التحليل الرياضي (  الطبعة الثالثة). نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-054235-8.

وايسشتاين، إريك دبليو. "الدالة الحقيقية" . عالم الرياضيات .