دالة التوافقيات الفرعية

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 46 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تعتبر الدوال التوافقية الفرعية والتوافقية الفائقة فئات مهمة من الدوال المستخدمة على نطاق واسع في المعادلات التفاضلية الجزئية والتحليل المركب ونظرية الجهد .

بشكل بديهي، ترتبط الدوال شبه التوافقية بالدوال المحدبة لمتغير واحد كما يلي: إذا تقاطع منحنى دالة محدبة مع خط مستقيم عند نقطتين، فإن منحنى الدالة المحدبة يقع أسفل الخط الواصل بين هاتين النقطتين. وبالمثل، إذا لم تتجاوز قيم الدالة شبه التوافقية قيم الدالة التوافقية على حدود كرة ، فإن قيم الدالة شبه التوافقية لا تتجاوز قيم الدالة التوافقية داخل الكرة أيضًا .

يمكن تعريف الدوال التوافقية الفائقة بنفس الوصف، مع استبدال عبارة "لا أكبر" بعبارة "لا أصغر". أو بعبارة أخرى، الدالة التوافقية الفائقة هي ببساطة معكوس الدالة التوافقية الفرعية، ولهذا السبب يمكن نقل أي خاصية من خصائص الدوال التوافقية الفرعية بسهولة إلى الدوال التوافقية الفائقة.

التعريف الرسمي

بصورة رسمية، يمكن صياغة التعريف على النحو التالي. ليكنجي{\displaystyle G}لتكن مجموعة جزئية من الفضاء الإقليديRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}ودع φ:جي→R∪{-∞}{\displaystyle \varphi \colon G\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}} لتكن دالة شبه متصلة من الأعلى . إذن،φ{\displaystyle \varphi }يُطلق عليه اسم التوافقي الفرعي إذا كان لأي كرة مغلقةب(x،ر)¯{\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}من المركزx{\displaystyle x}ونصف القطرر{\displaystyle r}وارد فيجي{\displaystyle G}وكل دالة متصلة ذات قيم حقيقيةح{\displaystyle h}علىب(x،ر)¯{\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}هذا متناغم فيب(x،ر){\displaystyle B(x,r)}ويرضيφ(y)≤ح(y){\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}للجميعy{\displaystyle y}على الحدود∂ب(x،ر){\displaystyle \partial B(x,r)}لب(x،ر){\displaystyle B(x,r)}لديناφ(y)≤ح(y){\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}للجميعy∈ب(x،ر).{\displaystyle y\in B(x,r).}

لاحظ أنه وفقًا لما سبق، فإن الدالة التي تساوي −∞ هي دالة فرعية توافقية، لكن بعض المؤلفين يستبعدون هذه الدالة بحكم التعريف.

وظيفةu{\displaystyle u}يُطلق عليه اسم التوافقي الفائق إذا-u{\displaystyle -u}هو توافق فرعي.

ملكيات

  • تكون الدالة توافقية إذا وفقط إذا كانت توافقية فرعية وتوافقية فائقة.
  • لوϕ{\displaystyle \phi }C 2 ( قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر ) على مجموعة مفتوحةجي{\displaystyle G}فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}، ثمϕ{\displaystyle \phi }يكون التوافقي الفرعي إذا وفقط إذا كانΔϕ≥0{\displaystyle \Delta \phi \geq 0}علىجي{\displaystyle G}، أينΔ{\displaystyle \Delta }هو اللابلاسي .
  • لا يمكن بلوغ القيمة العظمى لدالة شبه توافقية داخل نطاقها إلا إذا كانت الدالة ثابتة، وهو ما يُعرف بمبدأ القيمة العظمى . مع ذلك، يمكن بلوغ القيمة الصغرى لدالة شبه توافقية داخل نطاقها.
  • تشكل الدوال التوافقية الفرعية مخروطًا محدبًا ، أي أن التركيبة الخطية للدوال التوافقية الفرعية ذات المعاملات الموجبة هي أيضًا توافقية فرعية.
  • القيمة العظمى عند نقطة ما لدالتين فرعيتين توافقيتين هي دالة فرعية توافقية. وإذا كانت القيمة العظمى عند نقطة ما لعدد قابل للعد من الدوال الفرعية التوافقية شبه متصلة من الأعلى، فإنها تكون أيضاً دالة فرعية توافقية.
  • نهاية متتالية متناقصة من الدوال التوافقية الفرعية هي دالة توافقية فرعية (أو تساوي تمامًا-∞{\displaystyle -\infty }).
  • لا تكون الدوال التوافقية الفرعية بالضرورة متصلة في الطوبولوجيا المعتادة، ومع ذلك يمكن إدخال الطوبولوجيا الدقيقة التي تجعلها متصلة.

أمثلة

لوو{\displaystyle f}هل هو تحليلي إذنسجل⁡|و|{\displaystyle \log |f|}هي دالة شبه توافقية. يمكن إنشاء المزيد من الأمثلة باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه، وذلك بأخذ القيم العظمى، والتركيبات المحدبة، والنهايات. في البعد 1، يمكن الحصول على جميع الدوال شبه التوافقية بهذه الطريقة.

نظرية تمثيل ريز

لوu{\displaystyle u}يكون توافقياً فرعياً في منطقةد{\displaystyle D}، في الفضاء الإقليدي ذي البعدن{\displaystyle n}،v{\displaystyle v}متناغم فيد{\displaystyle D}، وu≤v{\displaystyle u\leq v}، ثمv{\displaystyle v}يُطلق عليه اسم المقام التوافقي لـu{\displaystyle u}إذا وُجدت نغمة توافقية رئيسية، فإنه توجد نغمة توافقية رئيسية أصغر، و u(x)=v(x)-∫ددμ(y)|x-y|ن-2،ن≥3{\displaystyle u(x)=v(x)-\int _{D}{\frac {d\mu (y)}{|x-y|^{n-2}}},\quad n\geq 3} أثناء التواجد في البعد الثاني، u(x)=v(x)+∫دسجل⁡|x-y|دμ(y)،{\displaystyle u(x)=v(x)+\int _{D}\log |x-y|d\mu (y),} أينv{\displaystyle v}هو أصغر مقام توافقي رئيسي، وμ{\displaystyle \mu }هو مقياس بوريل فيد{\displaystyle D}يُطلق على هذا اسم نظرية تمثيل ريز .

الدوال التوافقية الفرعية في المستوى المركب

تُعد الدوال التوافقية الفرعية ذات أهمية خاصة في التحليل المركب ، حيث ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالدوال الهولومورفية .

يمكن إثبات أن الدالة الحقيقية المتصلةφ{\displaystyle \varphi }لمتغير مركب (أي لمتغيرين حقيقيين) معرف على مجموعةجي⊂ج{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }تكون شبه توافقية إذا وفقط إذا كان ذلك لأي قرص مغلقد(z،ر)⊂جي{\displaystyle D(z,r)\subset G}من المركزz{\displaystyle z}ونصف القطرر{\displaystyle r}يمتلك المرء φ(z)≤12π∫02πφ(z+رهـأناθ)دθ.{\displaystyle \varphi (z)\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\varphi (z+re^{i\theta })\,d\theta .}

بشكل بديهي، هذا يعني أن الدالة التوافقية الفرعية لا تتجاوز في أي نقطة متوسط ​​القيم في دائرة حول تلك النقطة، وهي حقيقة يمكن استخدامها لاستنتاج مبدأ الحد الأقصى .

لوو{\displaystyle f}إذا كانت دالة تامة الشكل، φ(z)=سجل⁡|و(z)|{\displaystyle \varphi (z)=\log \left|f(z)\right|} هي دالة شبه توافقية إذا حددنا قيمةφ(z){\displaystyle \varphi (z)}عند أصفارو{\displaystyle f}يكون-∞{\displaystyle -\infty }ويترتب على ذلك أن ψα(z)=|و(z)|α{\displaystyle \psi _{\alpha }(z)=\left|f(z)\right|^{\alpha }} يكون شبه توافقي لكل α  > 0. تلعب هذه الملاحظة دورًا في نظرية فضاءات هاردي ، وخاصة لدراسة H p عندما 0  < p  <  1.

في سياق المستوى المركب، يمكن تحقيق الصلة بالدوال المحدبة أيضًا من خلال حقيقة أن الدالة شبه التوافقيةو{\displaystyle f}على نطاقجي⊂ج{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }الذي يكون ثابتًا في الاتجاه التخيلي يكون محدبًا في الاتجاه الحقيقي والعكس صحيح.

النغمات التوافقية الكبرى للدوال التوافقية الفرعية

لوu{\displaystyle u}يكون توافقياً فرعياً في منطقةΩ{\displaystyle \Omega }في المستوى المركب، وح{\displaystyle h}متناغم على​Ω{\displaystyle \Omega }، ثمح{\displaystyle h}هو مقام توافقي رئيسي لـu{\displaystyle u}فيΩ{\displaystyle \Omega }لوu≤ح{\displaystyle u\leq h}فيΩ{\displaystyle \Omega }يمكن اعتبار هذا التفاوت شرطًا للنمو علىu{\displaystyle u}[ 1 ]​

الدوال التوافقية الفرعية في القرص الواحد. دالة القيمة القصوى الشعاعية

لتكن φ دالة شبه توافقية، متصلة، وغير سالبة في مجموعة جزئية مفتوحة Ω من المستوى المركب تحتوي على القرص المغلق D (0,  1). تُعرَّف الدالة القصوى الشعاعية للدالة φ (المقيدة بالقرص المغلق) على دائرة الوحدة كما يلي: (مφ)(هـأناθ)=رشفة0≤ر<1φ(رهـأناθ).{\displaystyle (M\varphi )(e^{i\theta })=\sup _{0\leq r<1}\varphi (re^{i\theta }).} إذا كانت P r ترمز إلى نواة بواسون ، فإنه يتبع من التوافقية الفرعية أن 0≤φ(رهـأناθ)≤12π∫02πPر(θ-ت)φ(هـأنات)دت،   ر<1.{\displaystyle 0\leq \varphi (re^{i\theta })\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}\left(\theta -t\right)\varphi \left(e^{it}\right)\,dt,\ \ \ r<1.} يمكن إثبات أن التكامل الأخير أقل من القيمة عند e iθ للدالة القصوى لهاردي-ليتلوود φ ∗ لتقييد φ على دائرة الوحدة T ، φ*(هـأناθ)=رشفة0<α≤π12α∫θ-αθ+αφ(هـأنات)دت،{\displaystyle \varphi ^{*}(e^{i\theta })=\sup _{0<\alpha \leq \pi }{\frac {1}{2\alpha }}\int _{\theta -\alpha }^{\theta +\alpha }\varphi \left(e^{it}\right)\,dt,} بحيث يكون 0  ≤ M φ ≤ φ ∗ . من المعروف أن مؤثر هاردي-ليتلوود محدود على L p ( T ) عندما 1 < p < ∞. ويترتب على ذلك أنه بالنسبة لثابت عالمي ما C ،     ‖مφ‖ل2(تي)2≤ج2∫02πφ(هـأناθ)2دθ.{\displaystyle \|M\varphi \|_{L^{2}(\mathbf {T} )}^{2}\leq C^{2}\,\int _{0}^{2\pi }\varphi (e^{i\theta })^{2}\,d\theta .}

إذا كانت f دالة تامة الشكل في Ω و 0  < p  < ∞، فإن المتباينة السابقة تنطبق على φ  = | f | p /2 . ويمكن استنتاج من هذه الحقائق أن أي دالة F في فضاء هاردي الكلاسيكي H p تحقق ∫02π(رشفة0≤ر<1|F(رهـأناθ)|)صدθ≤ج2رشفة0≤ر<1∫02π|F(رهـأناθ)|صدθ.{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left(\sup _{0\leq r<1}\left|F(re^{i\theta })\right|\right)^{p}\,d\theta \leq C^{2}\,\sup _{0\leq r<1}\int _{0}^{2\pi }\left|F(re^{i\theta })\right|^{p}\,d\theta .} بمزيد من العمل، يمكن إثبات أن F لها حدود شعاعية F ( e iθ ) في كل مكان تقريبًا على دائرة الوحدة، و (بحسب نظرية التقارب المسيطر ) أن F r ، المعرفة بواسطة F r ( e iθ )  = F ( r e iθ ) تميل إلى F في L p ( T ).

الدوال التوافقية الفرعية على مشعبات ريمان

يمكن تعريف الدوال شبه التوافقية على أي مشعب ريماني .

التعريف: ليكن M متعدد الشعب الريماني، وو:م→R{\displaystyle f:\;M\to \mathbb {R} }دالة شبه متصلة من الأعلى . افترض أنه لأي مجموعة جزئية مفتوحةيو⊂م{\displaystyle U\subset M}وأي دالة توافقية f 1 على U ، بحيثو1≥و{\displaystyle f_{1}\geq f}على حدود U ، المتباينةو1≥و{\displaystyle f_{1}\geq f}ينطبق على جميع U. عندئذٍ يُطلق على f اسم التوافقي الفرعي .

هذا التعريف مكافئ للتعريف المذكور أعلاه. كذلك، بالنسبة للدوال القابلة للتفاضل مرتين، فإن التوافقية الجزئية مكافئة للمتباينةΔو≥0{\displaystyle \Delta f\geq 0}، أينΔ{\displaystyle \Delta }هو اللابلاسي المعتاد . [ 2 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ روزنبلوم وروفنياك 1994 ، ص. 35.
  2. ↑ غرين، ر. إي .؛ وو، هـ. (1974). "تكاملات الدوال شبه التوافقية على مشعبات ذات انحناء غير سالب". Inventiones Mathematicae . 27 (4): 265–298 . Bibcode : 1974InMat..27..265G . doi : 10.1007/BF01425500 . S2CID 122233796 . ، MR 0382723 

المراجع

مراجع عامة

تتضمن هذه المقالة مواد من وظائف التوافقيات الفرعية والتوافقيات الفائقة على موقع PlanetMath ، المرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .