الوظيفة التوافقية

الدوال التوافقية قابلة للتفاضل بلا حدود في المجموعات المفتوحة. في الواقع، الدوال التوافقية دوال تحليلية حقيقية .

تحقق الدوال التوافقية مبدأ القيمة القصوى التالي : إذا${\displaystyle K}$⁠ هي مجموعة جزئية مضغوطة غير فارغة من ⁠${\displaystyle U}$ثم​​${\displaystyle f}$يقتصر على​${\displaystyle K}$تبلغ قيمتها القصوى والدنيا على حدود​${\displaystyle K}$إذا​​${\displaystyle U}$متصل ، وهذا يعني أن${\displaystyle f}$لا يمكن أن تحتوي على قيم عظمى أو صغرى محلية، باستثناء الحالة الاستثنائية التي${\displaystyle f}$ثابت .ويمكن إظهار خصائص مماثلة للدوال التوافقية الفرعية .

إذا​${\displaystyle B(x,r)}$هي كرةذات مركز​${\displaystyle x}$ونصف القطر​${\displaystyle r}$والتي تقع بالكامل ضمن المجموعة المفتوحة${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ثم القيمة​${\displaystyle u(x)}$دالة توافقية${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} }$يتم تحديد مركز الكرة من خلال القيمة المتوسطة لـ${\displaystyle u}$على سطح الكرة؛ هذه القيمة المتوسطة تساوي أيضًا القيمة المتوسطة لـ${\displaystyle u}$في باطن الكرة. بعبارة أخرى ،$${\displaystyle u(x)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}u\,d\sigma ={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV}$$ أين​${\displaystyle \omega _{n}}$يمثل حجم كرة الوحدة في${\displaystyle n}$الأبعاد و​${\displaystyle \sigma }$هو​​${\displaystyle (n-1)}$قياس السطح ذو الأبعاد.

وعلى العكس من ذلك، فإن جميع الدوال القابلة للتكامل محليًا والتي تحقق خاصية القيمة المتوسطة (للحجم) تكون قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية وتوافقية.

فيما يتعلق بالالتفافات ، إذا $${\displaystyle \chi _{r}:={\frac {1}{|B(0,r)|}}\chi _{B(0,r)}={\frac {n}{\omega _{n}r^{n}}}\chi _{B(0,r)}}$$ يرمز إلى الدالة المميزة للكرة ذات نصف القطر ⁠${\displaystyle r}$حول نقطة الأصل، مُعَيَّرة بحيث${\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{r}\,dx=1}$، الدالة​${\displaystyle u}$⁠ توافقي على ⁠$أوميغا$إذا وفقط إذا $${\displaystyle u(x)=u*\chi _{r}(x)}$$ للجميع​${\displaystyle x}$و​​${\displaystyle r}$بحيث​​${\displaystyle B(x,r)\subset \Omega }$⁠ .

ملخص البرهان. يتبع برهان خاصية القيمة المتوسطة للدوال التوافقية وعكسها مباشرةً ملاحظة أن المعادلة غير المتجانسة، لأي${\displaystyle 0<s<r}$⁠$${\displaystyle \Delta w=\chi _{r}-\chi _{s}}$$ يُقر بوجود حل صريح وسهل${\displaystyle w_{r,s}}$من فئة​${\displaystyle C_{1,1}}$مع دعم مضغوط في${\displaystyle B(0,r)}$وبالتالي ، إذا${\displaystyle u}$⁠ متناغم في ⁠${\displaystyle \Omega }$⁠$${\displaystyle 0=\Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u*\chi _{r}-u*\chi _{s}}$$يحتوي على المجموعة${\displaystyle \Omega _{r}}$من بين جميع النقاط${\displaystyle x}$في​​${\displaystyle \Omega }$مع​​${\displaystyle \operatorname {dist} (x,\partial \Omega )>r}$⁠

منذ​${\displaystyle u}$متصلة في​${\displaystyle \Omega }$،​${\displaystyle u*\chi _{s}}$يتقارب إلى${\displaystyle u}$كما​​${\displaystyle s\to 0}$إظهار خاصية القيمة المتوسطة لـ${\displaystyle u}$في​​${\displaystyle \Omega }$. على العكس من ذلك، إذا ⁠${\displaystyle u}$أي​${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{1}}$الدالة التي تحقق خاصية القيمة المتوسطة في${\displaystyle \Omega }$أي​ $${\displaystyle u*\chi _{r}=u*\chi _{s}}$$ يحتفظ في${\displaystyle \Omega _{r}}$للجميع​​${\displaystyle 0<s<r}$ثم ، التكرار${\displaystyle m}$⁠ مضروبًا في عملية الالتفاف مع ⁠${\displaystyle \xi _{r}}$يمتلك المرء :$${\displaystyle u=u*\chi _{r}=u*\chi _{r}*\cdots *\chi _{r}\,,\qquad x\in \Omega _{mr},}$$ بحيث​${\displaystyle u}$هو​${\displaystyle C^{m-1}(\Omega _{mr})}$لأن​${\displaystyle m}$الالتفاف المتكرر ذو الطيات من${\displaystyle \xi _{r}}$من فئة${\displaystyle C^{m-1}}$بدعم ​${\displaystyle B(0,mr)}$منذ​​${\displaystyle r}$و​​${\displaystyle m}$هي اختيارية ،${\displaystyle u}$هو​${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$أيضًا. علاوة على ذلك، $${\displaystyle \Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u*\chi _{r}-u*\chi _{s}=0}$$ للجميع​${\displaystyle 0<s<r}$بحيث​​${\displaystyle \Delta u=0}$في​​${\displaystyle \Omega }$⁠ من خلال النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل، مما يثبت التكافؤ بين التوافقية وخاصية القيمة المتوسطة.

يمكن تعميم بيان خاصية القيمة المتوسطة على النحو التالي: إذا ⁠${\displaystyle h}$⁠ هي أي دالة متناظرة كرويًا مدعومة في ⁠${\displaystyle B(x,r)}$بحيث​​${\displaystyle \textstyle \int h=1}$ثم​​${\displaystyle u(x)=h*u(x)}$بمعنى آخر ، يمكننا حساب المتوسط ​​المرجح لـ${\displaystyle u}$حوالي نقطة والتعافي${\displaystyle u(x)}$. على وجه الخصوص، من خلال أخذ ⁠${\displaystyle h}$أن تكون​${\displaystyle C^{\infty }}$باستخدام الدالة ، يمكننا استعادة قيمة${\displaystyle u}$في أي وقت حتى لو كنا نعرف فقط كيف${\displaystyle u}$يعمل كتوزيع. انظر إلى ليمّة ويل .

يترك $${\displaystyle V\subset {\overline {V}}\subset \Omega }$$ لتكن مجموعة متصلة في مجال محدود${\displaystyle \Omega }$ثم لكل دالة توافقية غير سالبة${\displaystyle u}$متباينة هارناك​$${\displaystyle \sup _{V}u\leq C\inf _{V}u}$$ ينطبق ذلك على بعض الثوابت${\displaystyle C}$هذا يعتمد فقط على${\displaystyle V}$و​​${\displaystyle \Omega }$⁠ .

ينطبق مبدأ إزالة النقاط الشاذة التالي على الدوال التوافقية. إذا${\displaystyle f}$هي دالة توافقية معرفة على مجموعة جزئية مفتوحة منقطة${\displaystyle \Omega \smallsetminus \{x_{0}\}}$من​${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، وهو أقل تفرداً في${\displaystyle x_{0}}$من الحل الأساسي ( لـ${\displaystyle n>2}$) ، أي $${\displaystyle f(x)=o\left(\vert x-x_{0}\vert ^{2-n}\right),\qquad {\text{as }}x\to x_{0},}$$ ثم​${\displaystyle f}$يمتد إلى دالة توافقية على${\displaystyle \Omega }$( قارن بنظرية ريمان للدوال ذات المتغير المركب).

نظرية : إذا${\displaystyle f}$هي دالة توافقية معرفة على كامل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ الذي يكون محدودًا من الأعلى أو محدودًا من الأسفل، ثم ⁠${\displaystyle f}$ثابت .

(قارن بنظرية ليوفيل للدوال ذات المتغير المركب ).

قدم إدوارد نيلسون برهانًا قصيرًا بشكل خاص لهذه النظرية لحالة الدوال المحدودة، ^{[ 2 ]} باستخدام خاصية القيمة المتوسطة المذكورة أعلاه:

بفرض وجود نقطتين، اختر كرتين مركزهما هاتان النقطتان ولهما نفس نصف القطر. إذا كان نصف القطر كبيرًا بما يكفي ، فإن الكرتين ستتطابقان باستثناء جزء صغير جدًا من حجمهما.${\displaystyle f}$بما أن الدالة محدودة، فإن متوسطاتها على الكرتين متقاربة بشكل تعسفي، وبالتالي${\displaystyle f}$يأخذ نفس القيمة عند أي نقطتين.

يمكن تكييف البرهان مع الحالة التي تكون فيها الدالة التوافقية${\displaystyle f}$⁠ محدود من الأعلى أو الأسفل فقط. بإضافة ثابت وربما الضرب في ⁠${\displaystyle -1}$، يمكننا أن نفترض أن${\displaystyle f}$إذا كانت غير سالبة ، فإن لأي نقطتين${\displaystyle x}$و​​${\displaystyle y}$، وأي عدد موجب${\displaystyle R}$، نترك​${\displaystyle r=R+d(x,y)}$ثم ننظر في الكرات${\displaystyle B_{R}(x)}$و​​${\displaystyle B_{r}(y)}$حيث أن الكرة الأولى، بحسب متباينة المثلث، تقع داخل الكرة الثانية.

بفضل خاصية المتوسط ​​ورتابة التكامل، لدينا $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\operatorname {vol} (B_{R})}}\int _{B_{R}(x)}f(z)\,dz\leq {\frac {1}{\operatorname {vol} (B_{R})}}\int _{B_{r}(y)}f(z)\,dz.}$$ (لاحظ أنه منذ ⁠${\displaystyle \operatorname {vol} B_{R}(x)}$مستقل عن​${\displaystyle x}$نشير إليه ببساطة بـ${\displaystyle \operatorname {vol} (B_{R})}$في التعبير الأخير ، يمكننا الضرب والقسمة على${\displaystyle \operatorname {vol} (B_{r})}$واستخدم خاصية المتوسط ​​مرة أخرى، لتحصل على $${\displaystyle f(x)\leq {\frac {\operatorname {vol} (B_{r})}{\operatorname {vol} (B_{R})}}f(y).}$$ لكن كما${\displaystyle R\rightarrow \infty }$الكمية​ $${\displaystyle {\frac {\operatorname {vol} (B_{r})}{\operatorname {vol} (B_{R})}}={\frac {\left(R+d(x,y)\right)^{n}}{R^{n}}}}$$يميل إلى${\displaystyle 1}$وبالتالي ،​${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$وينطبق الأمر نفسه على أدوار${\displaystyle x}$و​​${\displaystyle y}$معكوسًا يُظهر أن${\displaystyle f(y)\leq f(x)}$، بحيث​${\displaystyle f(x)=f(y)}$⁠ .

ويستند برهان آخر إلى حقيقة أنه عند إعطاء حركة براونية${\displaystyle B_{t}}$في​​${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، بحيث​${\displaystyle B_{0}=x_{0}}$لدينا​${\displaystyle E[f(B_{t})]=f(x_{0})}$للجميع​${\displaystyle t\geq 0}$بعبارة أخرى ، ينص على أن الدالة التوافقية تُعرّف مارتينجال للحركة البراونية. ثمتُختتم البرهنة بحجة اقتران احتمالية . ^{[ 3 ]}

تكون الدالة (أو، بشكل أعم، التوزيع ) توافقية ضعيفة إذا كانت تحقق معادلة لابلاس $${\displaystyle \Delta f=0\,}$$ بمعنى ضعيف (أو، بصورة مكافئة، بمعنى التوزيعات). تتطابق الدالة التوافقية الضعيفة تقريبًا في كل مكان مع الدالة التوافقية القوية، وهي على وجه الخصوص سلسة. التوزيع التوافقي الضعيف هو تحديدًا التوزيع المرتبط بالدالة التوافقية القوية، وبالتالي فهو سلس أيضًا. هذه هي مبرهنة فايل .

توجد صيغ ضعيفة أخرى لمعادلة لابلاس غالباً ما تكون مفيدة. إحداها مبدأ ديريشليه ، الذي يمثل الدوال التوافقية في فضاء سوبوليف .${\displaystyle H^{1}(}$باعتبارها القيم الدنيالتكامل طاقة ديريشليه$${\displaystyle J(u):=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx}$$ فيما يتعلق بالاختلافات المحلية، أي جميع الوظائف${\displaystyle u\in H^{1}(\Omega )}$بحيث${\displaystyle J(u)\leq J(u+v)}$يسري على الجميع${\displaystyle v\in C_{\text{c}}^{\infty }(\Omega )}$أو ما يعادل ذلك ، بالنسبة للجميع${\displaystyle v\in H_{0}^{1}(\Omega )}$⁠ .

يمكن تعريف الدوال التوافقية على أي مشعب ريماني باستخدام مؤثر لابلاس-بيلترامي .${\displaystyle \Delta }$في هذا السياق ، تُسمى الدالة توافقية إذا $${\displaystyle \Delta f=0.}$$ تنتقل العديد من خصائص الدوال التوافقية على نطاقات في الفضاء الإقليدي إلى هذا الإطار الأكثر عمومية، بما في ذلك نظرية القيمة المتوسطة (على الكرات الجيوديسية )، ومبدأ القيمة القصوى، ومتباينة هارناك. وباستثناء نظرية القيمة المتوسطة، تُعد هذه النتائج استنتاجات مباشرة للنتائج المقابلة للمعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية الخطية العامة من الرتبة الثانية.

أ​${\displaystyle C^{2}}$دالة تحقق​${\displaystyle \Delta f\geq 0}$يُطلق على هذه الدالة اسم الدالة التوافقية الفرعية. يضمن هذا الشرط تحقق مبدأ القيمة القصوى، على الرغم من أن خصائص أخرى للدوال التوافقية قد لا تتحقق. وبشكل أعم، تكون الدالة توافقية فرعية إذا وفقط إذا كان رسمها البياني، داخل أي كرة في مجالها، يقع أسفل رسم الدالة التوافقية التي تُجري استيفاءً لقيمها الحدية على تلك الكرة.

يُعدّ دراسة الأشكال التوافقية على مشعبات ريمانية أحد تعميمات دراسة الدوال التوافقية ، وهي مرتبطة بدراسة علم التماثل . كما يُمكن تعريف دوال توافقية متجهة القيم، أو خرائط توافقية لمشعبين ريمانيين، تُمثّل نقاطًا حرجة لدالة طاقة ديريشليه المعممة (يشمل ذلك الدوال التوافقية كحالة خاصة، وهي نتيجة تُعرف بمبدأ ديريشليه ). يظهر هذا النوع من الخرائط التوافقية في نظرية الأسطح الدنيا. على سبيل المثال، المنحنى، أي الخريطة من فترة في${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ إلى مشعب ريماني، هو خريطة توافقية إذا وفقط إذا كان جيوديسيًا .

إذا​${\displaystyle M}$و​​${\displaystyle N}$إذا كان لدينا مشعبان ريمانيان، فإن الخريطة التوافقية${\displaystyle u:M\to N}$تُعرَّف بأنها نقطة حرجة لطاقة ديريشليه $${\displaystyle D[u]={\frac {1}{2}}\int _{M}\left\|du\right\|^{2}\,d\operatorname {Vol} }$$ في أي${\displaystyle du:TM\to TN}$هو تفاضل ⁠${\displaystyle u}$والمعيار هو المعيار الناتج عن المقياس على${\displaystyle M}$وذلك في​${\displaystyle N}$على حزمة حاصل الضرب الموتري${\displaystyle T^{\ast }M\otimes u^{-1}TN}$⁠ .

تشمل الحالات الخاصة الهامة للخرائط التوافقية بين المتشعبات الأسطح الدنيا ، وهي تحديدًا غمر توافقي لسطح في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد. وبشكل أعم، فإن المتشعبات الفرعية الدنيا هي غمر توافقي لمتشعب في آخر. أما الإحداثيات التوافقية فهي تحويل توافقي من متشعب إلى مجموعة فرعية مفتوحة من فضاء إقليدي من نفس البعد.