المؤثر الإهليلجي

في نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية ، تُعدّ المؤثرات الإهليلجية مؤثرات تفاضلية تُعمّم مؤثر لابلاس . وتُعرَّف هذه المؤثرات بشرط أن تكون معاملات المشتقات من أعلى رتبة موجبة، مما يستلزم الخاصية الأساسية المتمثلة في أن الرمز الرئيسي قابل للعكس، أو بصورة مكافئة، أنه لا توجد اتجاهات مميزة حقيقية .

تُعدّ المؤثرات الإهليلجية نموذجية لنظرية الكمون ، وتظهر بكثرة في علم الكهرباء الساكنة وميكانيكا الأوساط المتصلة . ويعني الانتظام الإهليلجي أن حلولها تميل إلى أن تكون دوالًا سلسة (إذا كانت معاملات المؤثر سلسة). وعمومًا، فإن حلول الحالة المستقرة للمعادلات القطعية والقطع المكافئ تُحل المعادلات الإهليلجية.

يترك${\displaystyle L}$ليكن مؤثر تفاضلي خطي من الرتبة m على مجال$أوميغا$في R ⁿ معطى بواسطة $${\displaystyle Lu=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\جزئي ^{\alpha }u}$$ أين${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$يشير إلى فهرس متعدد ، و${\displaystyle \partial ^{\alpha }u=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{n}^{\alpha _{n}}u}$ يرمز إلى المشتق الجزئي من الرتبة${\displaystyle \alpha _{i}}$في${\displaystyle x_{i}}$.

ثم${\displaystyle L}$يُطلق عليها اسم القطع الناقص إذا كان لكل x في$أوميغا$وكل قيمة غير صفرية${\displaystyle \xi }$في R ⁿ ، $${\displaystyle \sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }\neq 0,}$$ أين${\displaystyle \xi ^{\alpha}=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}}$.

في العديد من التطبيقات، لا يكون هذا الشرط قويًا بما فيه الكفاية، وبدلاً من ذلك يمكن فرض شرط الإهليلجية المنتظمة للمؤثرات من الرتبة m  = 2 k : $${\displaystyle (-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }>C|\xi |^{2k},}$$ حيث C ثابت موجب. لاحظ أن الإهليلجية تعتمد فقط على الحدود ذات الرتبة الأعلى. ^{[ 1 ]}

عامل غير خطي $${\displaystyle L(u)=F\left(x,u,\left(\partial ^{\alpha }u\right)_{|\alpha |\leq m}\right)}$$ يكون إهليلجيًا إذا كان تخطيطه الخطي كذلك؛ أي أن توسيع تايلور من الدرجة الأولى بالنسبة إلى u ومشتقاته حول أي نقطة هو عامل إهليلجي.

المثال 1

معكوس لابلاس في R ^d يُعطى بواسطة$${\displaystyle -\Delta u=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}^{2}u}$$هو مؤثر إهليلجي منتظم. يظهر مؤثر لابلاس بكثرة في علم الكهرباء الساكنة. إذا كانت ρ هي كثافة الشحنة داخل منطقة Ω ذات سماحية خطية ε، فيجب أن يحقق الجهد الكهربائي Φ المعادلة التالية:$${\displaystyle -\Delta \Phi ={\frac {\rho }{\varepsilon }}.}$$وينتج هذا مباشرة من المعادلة الأولى لماكسويل ، وقانون جاوس ، وتعريف الجهد على النحو التالي:${\displaystyle -\nabla \Phi ={\boldsymbol {E}}\,.}$

المثال 2 ^{[ 2 ]}

بفرض دالة ذات قيم مصفوفية A ( x ) موجبة التحديد بشكل منتظم لكل x ، ولها مكونات a ^_ij ، فإن المؤثر$${\displaystyle لو=-\جزئي _{i}\left(a^{ij}(x)\جزئي _{j}u\right)+b^{j}(x)\جزئي _{j}u+cu}$$هو إهليلجي. هذه هي الصيغة الأكثر عمومية لمؤثر تفاضلي إهليلجي خطي من الرتبة الثانية ذي شكل تباعد. يُستنتج مؤثر لابلاس بأخذ A = I. وتظهر هذه المؤثرات أيضًا في علم الكهرباء الساكنة في الأوساط المستقطبة.

المثال 3

بالنسبة لـ p عدد غير سالب، فإن لابلاس-p هو مؤثر إهليلجي غير خطي معرف بواسطة$${\displaystyle L(u)=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}\left(|\nabla u|^{p-2}\partial _{i}u\right).}$$يظهر مؤثر غير خطي مماثل في ميكانيكا الأنهار الجليدية . ويُعطى موتر إجهاد كوشي للجليد، وفقًا لقانون تدفق غلين ، بالصيغة التالية:$${\displaystyle \tau _{ij}=B\left(\sum _{k,l=1}^{3}\left(\partial _{l}u_{k}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{3}}}\cdot {\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}u_{i}+\partial _{i}u_{j}\right)}$$بالنسبة لثابت ما B ، فإن سرعة صفيحة جليدية في حالة مستقرة ستحل النظام الإهليلجي غير الخطي.$${\displaystyle \sum _{j=1}^{3}\partial _{j}\tau _{ij}+\rho g_{i}-\partial _{i}p=Q,}$$حيث ρ هي كثافة الجليد، و g هو متجه التسارع الجاذبي، و p هو الضغط و Q هو مصطلح القوة.

ليكن L مؤثرًا إهليلجيًا من الرتبة 2k بمعاملات لها مشتقات متصلة من الرتبة 2k. تتمثل مسألة ديريشليه لـ L في إيجاد دالة u ، بمعلومية دالة f وبعض القيم الحدية المناسبة، بحيث يكون Lu = f ، وبحيث يكون لـ u القيم الحدية المناسبة والمشتقات العمودية. تنص نظرية الوجود للمؤثرات الإهليلجية، باستخدام متباينة غاردينغ ، ومبرهنة لاكس-ميلغرام ، وبديل فريدهولم ، على الشرط الكافي لوجود حل ضعيف u في فضاء سوبوليف Hk ^.

على سبيل المثال، بالنسبة لمؤثر إهليلجي من الدرجة الثانية كما في المثال 2 ،

• يوجد عدد γ>0 بحيث أنه لكل μ>γ ، كل${\displaystyle f\in L^{2}(U)}$يوجد حل فريد${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(U)}$مسألة القيمة الحدية${\displaystyle Lu+\mu u=f{\text{ in }}U,u=0{\text{ on }}\partial U}$، وهو ما يستند إلى نظرية لاكس-ميلجرام .
• إما (أ) لأي${\displaystyle f\in L^{2}(U)}$،${\displaystyle Lu=f{\text{ in }}U,u=0{\text{ on }}\partial U}$(1) له حل وحيد، أو (ب)${\displaystyle Lu=0{\text{ in }}U,u=0{\text{ on }}\partial U}$يوجد حل${\displaystyle u\not \equiv 0}$، والتي تعتمد على خاصية المؤثرات المدمجة وبديل فريدهولم .

هذا الوضع غير مرضٍ في نهاية المطاف، حيث قد لا يكون للحل الضعيف u مشتقات كافية لكي يكون التعبير Lu محددًا جيدًا بالمعنى الكلاسيكي.

تضمن نظرية الانتظام الإهليلجي أنه إذا كانت الدالة f قابلة للتكامل التربيعي، فإن الدالة u ستمتلك في الواقع 2k مشتقة ضعيفة قابلة للتكامل التربيعي. وعلى وجه الخصوص، إذا كانت f قابلة للتفاضل عددًا لا نهائيًا من المرات، فإن u كذلك .

بالنسبة لـ L كما في المثال 2 ،

• الانتظام الداخلي : إذا كان m عددًا طبيعيًا،${\displaystyle a^{ij},b^{j},c\in C^{m+1}(U),f\in H^{m}(U)}$(2) ،${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(U)}$إذا كان حلاً ضعيفاً للمعادلة (1)، فإنه لأي مجموعة مفتوحة V في U ذات إغلاق مضغوط،${\displaystyle \|u\|_{H^{m+2}(V)}\leq C(\|f\|_{H^{m}(U)}+\|u\|_{L^{2}(U)})}$(3)، حيث تعتمد C على U و V و L و m في حد ذاتها${\displaystyle u\in H_{loc}^{m+2}(U)}$، وهو ما ينطبق أيضًا إذا كانت m لانهائية وفقًا لنظرية تضمين سوبوليف .
• انتظام الحدود : (2) بالإضافة إلى الافتراض بأن${\displaystyle \partial U}$يكون${\displaystyle C^{m+2}}$يشير ذلك إلى أن (3) لا يزال صحيحًا بعد استبدال V بـ U، أي${\displaystyle u\in H^{m+2}(U)}$وهذا ينطبق أيضاً إذا كانت قيمة m لا نهائية.

يُطلق على أي مؤثر تفاضلي يُظهر هذه الخاصية اسم مؤثر ناقص الإهليلجية ؛ وبالتالي، فإن كل مؤثر إهليلجي هو مؤثر ناقص الإهليلجية. وتعني هذه الخاصية أيضًا أن كل حل أساسي لمؤثر إهليلجي قابل للتفاضل إلى ما لا نهاية في أي جوار لا يحتوي على الصفر.

كتطبيق، لنفترض دالة${\displaystyle f}$تحقق معادلات كوشي-ريمان . وبما أن معادلات كوشي-ريمان تشكل مؤثرًا إهليلجيًا، فإنه يترتب على ذلك أن${\displaystyle f}$سلس.

بالنسبة لـ L كما في المثال 2 على U ، وهي مجال مفتوح ذو ^حدود C1 ، فإنه يوجد عدد γ > 0 بحيث أنه لكل μ > γ ،${\displaystyle L+\mu I:H_{0}^{1}(U)\rightarrow H_{0}^{1}(U)}$يفي بافتراضات مبرهنة لاكس-ميلجرام .

• قابلية الانعكاس: لكل μ > γ ،${\displaystyle L+\mu I:L^{2}(U)\rightarrow L^{2}(U)}$يقبل معكوسًا مضغوطًا .
• القيم الذاتية والمتجهات الذاتية : إذا كانت المصفوفة A متناظرة، وكانت قيم b ^و c تساوي صفرًا، فإن: (1) القيم الذاتية للمصفوفة L حقيقية، موجبة، قابلة للعد، وغير محدودة ^. (2) يوجد أساس متعامد للمصفوفة L² (U) مكون من المتجهات الذاتية للمصفوفة L. (انظر نظرية الطيف ).
• يُولّد شبه زمرة على L ² (U) : − L يُولّد شبه زمرة${\displaystyle \{S(t);t\geq 0\}}$من المؤثرات الخطية المحدودة على L ² (U) st${\displaystyle {\frac {d}{dt}}S(t)u_{0}=-LS(t)u_{0},\|S(t)\|\leq e^{\gamma t}}$في معيار L ² (U)، لكل${\displaystyle u_{0}\in L^{2}(U)}$، بحسب نظرية هيل-يوسيدا .

يترك${\displaystyle D}$ليكن مؤثرًا تفاضليًا (ربما غير خطي) بين حزم متجهة من نفس الرتبة ذات جداءات داخلية ليفية. خذ رمزه الرئيسي${\displaystyle \sigma _{\xi }(D)}$فيما يتعلق بصيغة واحدة${\displaystyle \xi }$(باختصار، ما نقوم به هو استبدال المشتقات المتغيرة من أعلى رتبة بحقول متجهة وتقييمها مقابل الشكل الواحد)${\displaystyle \xi }$.)

نقول${\displaystyle D}$يكون إهليلجيًا ضعيفًا إذا${\displaystyle \sigma _{\xi }(D)}$هو تماثل خطي لكل قيمة غير صفرية${\displaystyle \xi }$.

نقول${\displaystyle D}$تكون القطعية إهليلجية قوية (بشكل منتظم) إذا كان لبعض الثوابت${\displaystyle c>0}$، $${\displaystyle ||\sigma _{\xi }(D)(v)||\geq c\|v\|}$$

للجميع${\displaystyle \|\xi \|=1}$وكل شيء${\displaystyle v}$.

يُعرّف مصطلح "الإهليلجية" في الجزء السابق من المقال بأنه " إهليلجية قوية" . لاحظ أن${\displaystyle \xi }$هي حقول متجهة مشتركة أو أشكال تفاضلية من الدرجة الأولى، ولكن${\displaystyle v}$هي عناصر حزمة المتجهات التي${\displaystyle D}$أعمال.

يُعدّ لابلاس (أو معكوسه، حسب الاصطلاح) المثال الأمثل للمؤثر الإهليلجي (بقوة) . ليس من الصعب أن نرى ذلك.${\displaystyle D}$يجب أن يكون من رتبة زوجية حتى يكون الاستقطاب الإهليلجي القوي خيارًا متاحًا. وإلا، فما عليك سوى إدخال كليهما.${\displaystyle \xi }$ونفيه. من جهة أخرى، يمكن تربيع مؤثر إهليلجي ضعيف من الرتبة الأولى، مثل مؤثر ديراك، ليصبح مؤثرًا إهليلجيًا قويًا، مثل مؤثر لابلاس. تركيب المؤثرات الإهليلجية الضعيفة هو مؤثر إهليلجي ضعيف.

مع ذلك، فإنّ خاصية القطع الناقص الضعيف كافية لتطبيق بديل فريدهولم ، وتقديرات شاودر ، ونظرية مؤشر أتياس-سينجر . من جهة أخرى، نحتاج إلى خاصية القطع الناقص القوية لتطبيق مبدأ القيمة القصوى ، ولضمان أن تكون القيم الذاتية منفصلة، ​​وأن تكون نقطة نهايتها الوحيدة هي اللانهاية.

• مساحة سوبوليف
• عامل القطع الناقص
• معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية
• معادلة تفاضلية جزئية زائدية
• معادلة تفاضلية جزئية مكافئة
• مبدأ هوبف الأقصى
• المعقد الإهليلجي
• معادلة الموجة فوق الزائدية
• المؤثر شبه الإهليلجي
• معضلة ويل

• إيفانز، إل سي (2010) [1998]، المعادلات التفاضلية الجزئية ، دراسات عليا في الرياضيات ، المجلد  19 (الطبعة الثانية  )، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-4974-3MR 2597943​ مراجعة: راوخ، ج. (2000). "المعادلات التفاضلية الجزئية، بقلم إل سي إيفانز" (ملف PDF) . مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية . 37 (3): 363-367 . doi : 10.1090/s0273-0979-00-00868-5 .
• جيلبارج، د.؛ Trudinger، NS (1983) [1977]، المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية من الدرجة الثانية ، Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften، vol.  224 (  الطبعة الثانية)، برلين، نيويورك: Springer-Verlag، ISBN 978-3-540-13025-3، MR 0737190 
• شوبين، ماجستير (2001) [1994]، "المؤثر الإهليلجي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS

• المعادلات الإهليلجية الخطية في EqWorld: عالم المعادلات الرياضية.
• المعادلات الإهليلجية غير الخطية في EqWorld: عالم المعادلات الرياضية.