التخطيط الخطي

في الرياضيات ، يُعرف التخطيط الخطي ( أو التقريب الخطي ) بأنه إيجاد التقريب الخطي لدالة عند نقطة معينة. ويُمثل التقريب الخطي للدالة متسلسلة تايلور من الدرجة الأولى حول النقطة محل الاهتمام. في دراسة الأنظمة الديناميكية ، يُعد التخطيط الخطي طريقة لتقييم الاستقرار الموضعي لنقطة توازن في نظام من المعادلات التفاضلية غير الخطية أو الأنظمة الديناميكية المنفصلة . ^{[ 1 ]} تُستخدم هذه الطريقة في مجالات مثل الهندسة والفيزياء والاقتصاد وعلم البيئة .

تُعرف الدوال الخطية بأنها دوال خطية تُقارب الدالة الأصلية. وتُعدّ عملية التخطيط الخطي طريقة فعّالة لتقريب ناتج الدالة.${\displaystyle y=f(x)}$في أي وقت${\displaystyle x=a}$بناءً على قيمة وميل الدالة عند${\displaystyle x=b}$بافتراض أن${\displaystyle f(x)}$قابلة للتفاضل على فترة تحتوي على${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$وذلك${\displaystyle a}$قريب من${\displaystyle b}$.

لأي دالة معينة${\displaystyle y=f(x)}$،${\displaystyle f(x)}$يمكن تقريبها إذا كانت قريبة من نقطة قابلة للتفاضل معروفة. الشرط الأساسي هو أن${\displaystyle L_{a}(a)=f(a)}$، أين${\displaystyle L_{a}(x)}$هل هو التخطيط الخطي لـ${\displaystyle f(x)}$في${\displaystyle x=a}$إن صيغة الميل والنقطة للمعادلة تُشكل معادلة خط مستقيم، بمعلومية نقطة معينة .${\displaystyle (H,K)}$والمنحدر${\displaystyle M}$الصيغة العامة لهذه المعادلة هي:${\displaystyle yK=M(xH)}$.

باستخدام النقطة${\displaystyle (a,f(a))}$،${\displaystyle L_{a}(x)}$يصبح${\displaystyle y=f(a)+M(xa)}$بما أن الدوال القابلة للتفاضل خطية محليًا ، فإن أفضل ميل يمكن التعويض به هو ميل الخط المماس لـ${\displaystyle f(x)}$في${\displaystyle x=a}$.

بينما ينطبق مفهوم الخطية المحلية بشكل أكبر على النقاط القريبة بشكل تعسفي من${\displaystyle x=a}$، تلك القيم القريبة نسبيًا تعمل بشكل جيد نسبيًا للتقريبات الخطية. الميل${\displaystyle M}$ينبغي أن يكون، بدقة أكبر، ميل خط المماس عند${\displaystyle x=a}$.

يُظهر الرسم التخطيطي المرفق خط المماس لـ${\displaystyle f(x)}$في${\displaystyle x}$. في${\displaystyle f(x+h)}$، أين${\displaystyle h}$أي قيمة صغيرة موجبة أو سالبة،${\displaystyle f(x+h)}$وهي قريبة جدًا من قيمة خط المماس عند النقطة${\displaystyle (x+h,L(x+h))}$.

المعادلة النهائية لتخطيط دالة عند${\displaystyle x=a}$يكون: $${\displaystyle y=(f(a)+f'(a)(xa))}$$

ل${\displaystyle x=a}$،${\displaystyle f(a)=f(x)}$مشتق من​${\displaystyle f(x)}$يكون${\displaystyle f'(x)}$وميل${\displaystyle f(x)}$في${\displaystyle a}$يكون${\displaystyle f'(a)}$.

معادلة التخطيط الخطي للدالة${\displaystyle f(x,y)}$في نقطة${\displaystyle p(a,b)}$يكون:

${\displaystyle f(x,y)\approx f(a,b)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right|_{a,b}(xa)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right|_{a,b}(yb)}$

المعادلة العامة لتخطيط دالة متعددة المتغيرات${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$في نقطة${\displaystyle \mathbf {p} }$يكون:

${\displaystyle f({\mathbf {x} })\approx f({\mathbf {p} })+\left.{\nabla f}\right|_{\mathbf {p} }\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {p} })}$

أين${\displaystyle \mathbf {x} }$هو متجه المتغيرات،${\displaystyle {\nabla f}}$هو التدرج ، و${\displaystyle \mathbf {p} }$^{[ 2 ]} هي نقطة التخطيط الخطي ذات الأهمية.

تُتيح عملية التخطيط الخطي استخدام أدوات دراسة الأنظمة الخطية لتحليل سلوك دالة غير خطية بالقرب من نقطة معينة. ويُعرَّف التخطيط الخطي للدالة بأنه الحد من الدرجة الأولى في متسلسلة تايلور الخاصة بها حول النقطة محل الاهتمام. بالنسبة لنظام مُعرَّف بالمعادلة

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)}$،

يمكن كتابة النظام الخطي على النحو التالي

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\approx \mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)+D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )}$

أين${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$هي نقطة الاهتمام و${\displaystyle D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)}$هو${\displaystyle \mathbf {x} }$- جاكوبيان​${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)}$تم تقييمها في${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$.

• الاستقرار الخطي
• مصفوفة الصلابة المماسية
• مشتقات الاستقرار
• نظرية التخطيط الخطي
• تقريب تايلور
• المعادلة الوظيفية (دالة L)
• التقريب شبه الخطي