الاستقرار الخطي

المعادلة التفاضلية $${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=xx^{2}}$$ للمعادلة حلان ثابتان (لا يعتمدان على الزمن): x  =  0 و x  =  1. ويكون تمثيلها الخطي عند x  =  0 على النحو التالي: ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x}$المؤثر الخطي هو A ₀  =  1. القيمة الذاتية الوحيدة هي${\displaystyle \lambda =1}$تنمو حلول هذه المعادلة بشكل أسي؛ النقطة الثابتة x  =  0 غير مستقرة خطيًا.

لاستنتاج التقريب الخطي عند x = 1 ، نكتب ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-rr^{2}}$حيث r = x − 1. وتكون المعادلة الخطية حينها${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=-r}$المؤثر الخطي هو A ₁ = −1 ، والقيمة الذاتية الوحيدة هي${\displaystyle \lambda =-1}$وبالتالي فإن هذه النقطة الثابتة مستقرة خطيًا.

معادلة شرودنغر غير الخطية$${\displaystyle i{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-|u|^{2k}u,}$$حيث u ( x , t ) ∈ C و k > 0 ، لها حلول موجية منفردة على الشكل التالي${\displaystyle \phi (x)e^{-i\omega t}}$[ ^{4 ]} لاستنتاج التقريب الخطي عند موجة منفردة، يُنظر إلى الحل بالشكل التالي ^:${\displaystyle u(x,t)=(\phi (x)+r(x,t))e^{-i\omega t}}$المعادلة الخطية على${\displaystyle r(x,t)}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}},}$$ أين$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&L_{0}\\-L_{1}&0\end{bmatrix}},}$$ مع$${\displaystyle L_{0}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-k\phi ^{2}-\omega }$$ و$${\displaystyle L_{1}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-(2k+1)\phi ^{2}-\omega }$$ المؤثرات التفاضلية . وفقًا لمعيار استقرار فاخيتوف-كولوكولوف ، ^{[ 5 ]} عندما يكون k > 2 ، يكون لطيف A قيم ذاتية نقطية موجبة، بحيث تكون المعادلة الخطية غير مستقرة خطيًا (أسيًا)؛ بالنسبة لـ 0 < k ≤ 2 ، يكون طيف A تخيليًا بحتًا، بحيث تكون الموجات الانفرادية المقابلة مستقرة خطيًا.

تجدر الإشارة إلى أن الاستقرار الخطي لا يعني بالضرورة الاستقرار؛ فعندما تكون قيمة k تساوي 2 ، تكون الموجات الانفرادية غير مستقرة. من ناحية أخرى، عندما تكون قيمة k بين 0 و2 ، تكون الموجات الانفرادية مستقرة خطيًا ومستقرة مداريًا . ^{[ 6 ]}