المؤثر التفاضلي

في الرياضيات ، يُعرَّف المؤثر التفاضلي بأنه مؤثر يُعرَّف كدالة لمؤثر التفاضل . ومن المفيد، من باب التوضيح، اعتبار التفاضل عملية مجردة تقبل دالة وتعيد دالة أخرى (على غرار الدوال ذات الرتبة العليا في علوم الحاسوب ).

تتناول هذه المقالة بشكل أساسي المؤثرات التفاضلية الخطية ، وهي النوع الأكثر شيوعًا. ومع ذلك، توجد أيضًا مؤثرات تفاضلية غير خطية، مثل مشتقة شوارتز .

بفرض عدد صحيح غير سالب m ، فإن الترتيب-${\displaystyle m}$المؤثر التفاضلي الخطي هو دالة${\displaystyle P}$من فضاء دالة${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إلى فضاء دالة آخر${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ويمكن كتابة ذلك على النحو التالي:

$${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,}$$ أين${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})}$هو فهرس متعدد للأعداد الصحيحة غير السالبة ،${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$ولكل${\displaystyle \alpha }$،${\displaystyle a_{\alpha }(x)}$هي دالة على مجال مفتوح في فضاء ذي أبعاد n . المؤثر${\displaystyle D^{\alpha }}$يُفسر على النحو التالي

$${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

وبالتالي بالنسبة للدالة${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{1}}$:

$${\displaystyle Pf=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

الترميز${\displaystyle D^{\alpha }}$هذا مبرر (أي مستقل عن ترتيب التفاضل) بسبب تناظر المشتقات الثانية .

كثير الحدود p الذي تم الحصول عليه عن طريق استبدال المشتقات الجزئية${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$حسب المتغيرات${\displaystyle \xi _{i}}$يُطلق على الرمز في P اسم الرمز الكلي لـ P ؛ أي أن الرمز الكلي لـ P أعلاه هو: $${\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$$ أين${\displaystyle \xi ^{\alpha}=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}.}$أعلى مكون متجانس للرمز، وهو:

${\displaystyle \sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$

يُطلق عليه الرمز الرئيسي لـ P. ^{[ 1 ]} بينما الرمز الكلي غير مُعرَّف جوهريًا، فإن الرمز الرئيسي مُعرَّف جوهريًا (أي أنه دالة على حزمة الظل التمام). ^{[ 2 ]}

بشكل أعم، ليكن E و F حزمتين متجهتين فوق مشعب X. عندئذٍ يكون المؤثر الخطي

${\displaystyle P:C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)}$

هو مؤثر تفاضلي من الرتبة${\displaystyle k}$إذا كان لدينا ، في الإحداثيات المحلية على X

${\displaystyle Pu(x)=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial x^{\alpha }}}+{\text{الحدود ذات الرتبة الأدنى}}}$

حيث، لكل مؤشر متعدد α،${\displaystyle P^{\alpha }(x):E\to F}$هي خريطة حزمية ، متناظرة على المؤشرات α.

تتحول معاملات الرتبة k للمتجه ^P كموتر متناظر

${\displaystyle \sigma _{P}:S^{k}(T^{*}X)\otimes E\to F}$

مجالها هو حاصل الضرب الموتري للقوة ^{المتناظرة} k للحزمة المماسية لـ X مع E ، ومجالها المقابل هو F. يُعرف هذا الموتر المتناظر بالرمز الرئيسي (أو ببساطة الرمز ) لـ P.

يسمح نظام الإحداثيات xᵢ بتبسيط محلي لحزمة الظل التمام بواسطة تفاضلات الإحداثيات d xᵢ ^، التي تحدد إحداثيات الألياف ξᵢ . _{وباستخدام} أساس من الإطارات eμ و fν _{للمجالين} E _و F على التوالي ، يتحلل المؤثر التفاضلي P إلى مركبات ^.

${\displaystyle (Pu)_{\nu }=\sum _{\mu }P_{\nu \mu }u_{\mu }}$

على كل مقطع u من E. هنا P _νμ هو المؤثر التفاضلي القياسي المعرف بواسطة

${\displaystyle P_{\nu \mu }=\sum _{\alpha }P_{\nu \mu }^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}.}$

وبهذا التبسيط، يمكن الآن كتابة الرمز الرئيسي

${\displaystyle (\sigma _{P}(\xi )u)_{\nu }=\sum _{|\alpha |=k}\sum _{\mu }P_{\nu \mu}^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }u_{\mu }.}$

في فضاء الظل التمام فوق نقطة ثابتة x من X ، الرمز${\displaystyle \sigma _{P}}$يُعرّف متعدد الحدود المتجانس من الدرجة k في${\displaystyle T_{x}^{*}X}$مع القيم في${\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{x},F_{x})}$.

يظهر المؤثر التفاضلي P ورمزه بشكل طبيعي في سياق تحويل فورييه كما يلي. ليكن ƒ دالة شوارتز . عندئذٍ، باستخدام تحويل فورييه العكسي،

${\displaystyle Pf(x)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {d}{2}}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{d}}e^{ix\cdot \xi }p(x,i\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

يُظهر هذا P كمضاعف فورييه . وتشمل فئة أكثر عمومية من الدوال p ( x ,ξ) التي تحقق شروط نمو متعددة الحدود على الأكثر في ξ والتي يكون فيها هذا التكامل حسن السلوك ، المؤثرات التفاضلية الزائفة .

• المؤثر التفاضلي${\displaystyle P}$تكون مصفوفة إهليلجية إذا كان رمزها قابلاً للعكس؛ أي لكل قيمة غير صفرية${\displaystyle \theta \in T^{*}X}$خريطة الحزمة${\displaystyle \sigma _{P}(\theta ,\dots ,\theta )}$قابلة للعكس. على مشعب مضغوط ، يتبع من نظرية القطع الناقص أن P هو مؤثر فريدهولم : له نواة ونواة مشتركة ذات أبعاد محدودة.
• في دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية القطعية والمكافئة ، تتوافق أصفار الرمز الرئيسي مع خصائص المعادلة التفاضلية الجزئية.
• في تطبيقات العلوم الفيزيائية، تلعب المؤثرات مثل مؤثر لابلاس دورًا رئيسيًا في وضع وحل المعادلات التفاضلية الجزئية .
• في الطوبولوجيا التفاضلية ، يكون للمشتق الخارجي ومشتق لي معنى جوهري.
• في الجبر المجرد ، يسمح مفهوم الاشتقاق بتعميم المؤثرات التفاضلية، دون الحاجة إلى استخدام حساب التفاضل والتكامل. وكثيراً ما تُستخدم هذه التعميمات في الهندسة الجبرية والجبر التبادلي . انظر أيضاً Jet (الرياضيات) .
• في تطوير الدوال التحليلية لمتغير مركب z = x + i y ، يُعتبر أحيانًا أن الدالة المركبة هي دالة لمتغيرين حقيقيين x و y . ويتم استخدام مشتقات ويرتينجر ، وهي مؤثرات تفاضلية جزئية.$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .}$$يُستخدم هذا النهج أيضًا لدراسة وظائف العديد من المتغيرات المعقدة ووظائف متغير حركي .
• المؤثر التفاضلي دل ، ويُسمى أيضًا نابلا ، هو مؤثر تفاضلي متجهي مهم . يظهر بكثرة في الفيزياء ، كما في الصيغة التفاضلية لمعادلات ماكسويل . في الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد ، يُعرَّف دل على النحو التالي:

$${\displaystyle \nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}.}$$

يحدد Del التدرج ، ويستخدم لحساب الدوران والتباعد واللابلاس للأجسام المختلفة .

• مؤثر تفاضلي كيرالي . انظر الآن

تُنسب الخطوة المفاهيمية لكتابة عامل تفاضلي كشيء قائم بذاته إلى لويس فرانسوا أنطوان أربوغاست في عام 1800. ^{[ 3 ]}

أكثر العمليات التفاضلية شيوعًا هي عملية الاشتقاق . ومن الرموز الشائعة لحساب المشتقة الأولى بالنسبة للمتغير x ما يلي:

${\displaystyle {d \over dx}}$،${\displaystyle D}$،${\displaystyle D_{x},}$و${\displaystyle \partial _{x}}$.

عند حساب المشتقات من الرتبة n ، يمكن كتابة المؤثر على النحو التالي:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}}$،${\displaystyle D^{n}}$،${\displaystyle D_{x}^{n}}$، أو${\displaystyle \partial _{x}^{n}}$.

يُعطى مشتق الدالة f بالنسبة للمتغير x أحيانًا على أحد الشكلين التاليين:

${\displaystyle [f(x)]'}$

${\displaystyle f'(x).}$

يُنسب استخدام وإنشاء رمز D إلى أوليفر هيفسايد ، الذي درس المؤثرات التفاضلية من الشكل

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}$

في دراسته للمعادلات التفاضلية .

يُعدّ مؤثر لابلاس أحد أكثر المؤثرات التفاضلية شيوعًا ، وهو مُعرّف بواسطة

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.}$

عامل تفاضلي آخر هو عامل Θ، أو عامل ثيتا ، المعرف بواسطة ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \Theta =z{d \over dz}.}$

يُطلق على هذا أحيانًا اسم عامل التجانس ، لأن دوالّه الذاتية هي أحاديات الحدود في z : $${\displaystyle \Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots }$$

في n متغير، يُعطى عامل التجانس بالصيغة التالية: $${\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$$

كما هو الحال في متغير واحد، فإن الفضاءات الذاتية لـ Θ هي فضاءات الدوال المتجانسة . ( نظرية أويلر للدوال المتجانسة )

في الكتابة، ووفقًا للعرف الرياضي الشائع، يُوضع وسيط المؤثر التفاضلي عادةً على يمين المؤثر نفسه. أحيانًا يُستخدم ترميز بديل: يُشار إلى نتيجة تطبيق المؤثر على الدالة الموجودة على يسار المؤثر وعلى يمينه، والفرق الناتج عن تطبيق المؤثر التفاضلي على الدوال الموجودة على كلا الجانبين، بأسهم كما يلي:

${\displaystyle f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f}$

${\displaystyle f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g}$

${\displaystyle f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.}$

يُستخدم هذا النوع من الترميز ثنائي الاتجاه للأسهم بشكل متكرر لوصف تيار الاحتمالية في ميكانيكا الكم.

بفرض وجود مؤثر تفاضلي خطي${\displaystyle T}$$${\displaystyle Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}$$ يُعرَّف المؤثر المرافق لهذا المؤثر بأنه المؤثر${\displaystyle T^{*}}$بحيث $${\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle }$$ حيث الترميز${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$يُستخدم هذا المصطلح للدلالة على الضرب القياسي أو الضرب الداخلي . وبالتالي، يعتمد هذا التعريف على تعريف الضرب القياسي (أو الضرب الداخلي).

التفاضل خطي ، أي

${\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg),}$

${\displaystyle D(af)=a(Df),}$

حيث f و g دالتان، و a ثابت.

أي متعددة حدود في D ذات معاملات دالة هي أيضًا مؤثر تفاضلي. ويمكننا أيضًا تركيب المؤثرات التفاضلية وفقًا للقاعدة

${\displaystyle (D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).}$

_{يتطلب الأمر بعض الحذر: أولًا ،} يجب أن تكون معاملات أي دالة في المؤثر D₂ قابلة للتفاضل بعدد المرات التي يتطلبها تطبيق D₁ . وللحصول على حلقة من هذه المؤثرات _، يجب افتراض مشتقات من جميع رتب المعاملات المستخدمة. ثانيًا، لن تكون هذه الحلقة تبادلية : فالمؤثر gD ليس هو نفسه Dg بشكل عام . على سبيل المثال، لدينا العلاقة الأساسية في ميكانيكا الكم :

${\displaystyle Dx-xD=1.}$

على النقيض من ذلك، فإن الحلقة الفرعية للمؤثرات التي هي كثيرات حدود في D ذات معاملات ثابتة هي حلقة تبديلية. ويمكن وصفها بطريقة أخرى: فهي تتكون من المؤثرات الثابتة تحت الإزاحة.

تخضع المؤثرات التفاضلية أيضًا لنظرية الإزاحة .

في الهندسة التفاضلية والهندسة الجبرية، من المفيد غالبًا وجود وصف مستقل عن الإحداثيات للمؤثرات التفاضلية بين حزمتين متجهتين . ليكن E و F حزمتين متجهتين على مشعب قابل للتفاضل M. يُقال إن التطبيق الخطي R للمقاطع P  : Γ( E ) → Γ( F ) هو مؤثر تفاضلي خطي من الرتبة k إذا كان يتحلل عبر حزمة النفاثات Jk ( E ). بعبارة أخرى، يوجد تطبيق خطي للحزم المتجهة ^.

${\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\to F}$

بحيث

${\displaystyle P=i_{P}\circ j^{k}}$

حيث j ^k : Γ( E ) → Γ( J ^k ( E )) هو الامتداد الذي يربط أي قسم من E بـ k -jet الخاص به .

هذا يعني ببساطة أنه بالنسبة لمقطع معين s من E ، فإن قيمة P ( s ) عند نقطة x  ∈ M تُحدد بالكامل من خلال السلوك التفاضلي من الرتبة k لـ s في x . وبالتحديد، هذا يعني أن P(s)(x) تُحدد بواسطة نواة s في x ، وهو ما يُعبر عنه بالقول إن المؤثرات التفاضلية محلية. ومن النتائج الأساسية نظرية بيتر التي تُبين أن العكس صحيح أيضًا: أي مؤثر محلي (خطي) هو مؤثر تفاضلي. 

• فريد، دانيال س. (1987)، هندسة مؤثرات ديراك ، ص  8، CiteSeerX 10.1.1.186.8445 
• Hörmander، L. (1983)، تحليل العوامل التفاضلية الجزئية الخطية I ، Grundl. الرياضيات. فيسنشافت، المجلد.  256، سبرينغر، دوى : 10.1007/978-3-642-96750-4 ، ISBN 3-540-12104-8، MR 0717035 .
• شابيرا، بيير (1985). الأنظمة التفاضلية الدقيقة في المجال المعقد . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد.  269. سبرينغر. دوى : 10.1007/978-3-642-61665-5 . رقم ISBN 978-3-642-64904-2.
• ويلز، آر أو (1973)، التحليل التفاضلي على المشعبات المعقدة ، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 0-387-90419-0.

• فيدوسوف، بوريس؛ شولز، بيرت-فولفغانغ؛ تارخانوف، نيكولاي (2002). "صيغ مؤشر تحليلية لمؤثرات الزاوية الإهليلجية" . حوليات معهد فورييه . 52 (3): 899-982 . doi : 10.5802/aif.1906 . ISSN 1777-5310 . 
• https://mathoverflow.net/questions/451110/reference-request-inverse-of-differential-operators

• الوسائط المتعلقة بالمؤثرات التفاضلية على ويكيميديا ​​كومنز
• "المؤثر التفاضلي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]