مشغل دلتا

في الرياضيات ، عامل دلتا هو عامل خطي متغير مع الإزاحة${\displaystyle Q\colon \mathbb {K} [x]\longrightarrow \mathbb {K} [x]}$على فضاء المتجهات لكثيرات الحدود في متغير${\displaystyle x}$فوق حقل${\displaystyle \mathbb {K} }$هذا يقلل الدرجات بمقدار درجة واحدة.

أن نقول ذلك${\displaystyle Q}$يعني أن التحويل المتغير مع الإزاحة يعني أنه إذا${\displaystyle g(x)=f(x+a)}$، ثم

${\displaystyle {(Qg)(x)=(Qf)(x+a)}.\,}$

بمعنى آخر، إذا${\displaystyle f}$هو "تحول" من${\displaystyle g}$، ثم${\displaystyle Qf}$وهو أيضاً تحول في${\displaystyle Qg}$وله نفس "المتجه المتحول"${\displaystyle a}$.

القول بأن عاملاً ما يقلل الدرجة بمقدار واحد يعني أنه إذا${\displaystyle f}$هي متعددة حدود من الدرجة${\displaystyle n}$، ثم${\displaystyle Qf}$إما أن تكون كثيرة حدود من الدرجة${\displaystyle n-1}$أو في حالة${\displaystyle n=0}$،${\displaystyle Qf}$يساوي صفرًا.

أحيانًا يُعرَّف عامل دلتا بأنه تحويل خطي متغير مع الإزاحة على كثيرات الحدود في${\displaystyle x}$تلك الخرائط${\displaystyle x}$إلى ثابت غير صفري. على الرغم من أن هذا التوصيف الأخير يبدو أضعف من التعريف المذكور أعلاه، إلا أنه يمكن إثبات أنه مكافئ للتعريف المذكور عندما${\displaystyle \mathbb {K} }$له خاصية صفرية، لأن التغاير الإزاحي هو شرط قوي إلى حد ما.

• عامل الفرق الأمامي

${\displaystyle (\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\,}$

هو عامل دلتا.

• التفاضل بالنسبة إلى x ، والذي يُكتب على شكل D ، هو أيضًا عامل دلتا.
• أي عامل من هذا النوع

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty}c_{k}D^{k}}$

( حيث D ⁿ ( ƒ ) = ƒ ^{( n )} هي ^{المشتقة النونية} ) مع${\displaystyle c_{1}\neq 0}$هو عامل دلتا. يمكن إثبات أن جميع عوامل دلتا يمكن كتابتها بهذا الشكل. على سبيل المثال، يمكن توسيع عامل الفرق المذكور أعلاه على النحو التالي:

${\displaystyle \Delta =e^{D}-1=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {D^{k}}{k!}}.}$

• المشتق المعمم لحساب المقياس الزمني الذي يوحد عامل الفرق الأمامي مع مشتق حساب التفاضل والتكامل القياسي هو عامل دلتا.
• في علوم الحاسوب وعلم التحكم الآلي ، يُقصد بمصطلح "مؤثر دلتا ذو الزمن المتقطع" ( δ ) عمومًا مؤثر الفرق

${\displaystyle {(\delta f)(x)={{f(x+\Delta t)-f(x)} \over {\Delta t}}},}$

تقريب أويلر للمشتقة المعتادة مع زمن أخذ عينات منفصل${\displaystyle \Delta t}$. يحصل نموذج دلتا على عدد كبير من المزايا العددية مقارنة بعامل الإزاحة عند أخذ العينات السريعة.

كل عامل دلتا${\displaystyle Q}$يحتوي على سلسلة فريدة من "كثيرات الحدود الأساسية"، وهي سلسلة كثيرات حدود محددة بثلاثة شروط:

• ${\displaystyle p_{0}(x)=1;}$
• ${\displaystyle p_{n}(0)=0;}$
• ${\displaystyle (Qp_{n})(x)=np_{n-1}(x){\text{ لجميع }}n\in \mathbb {N} .}$

تكون هذه المتتالية من كثيرات الحدود الأساسية دائمًا من النوع الثنائي ، ويمكن إثبات عدم وجود متتاليات أخرى من النوع الثنائي. إذا تم حذف الشرطين الأولين أعلاه، فإن الشرط الثالث ينص على أن متتالية كثيرات الحدود هذه هي متتالية شيفر - وهو مفهوم أعمّ.

• مشتق بينشيرلي
• مشغل وردية
• حصى الظل

• نيكولسكي، نيكولاي كابيتونوفيتش (1986)، رسالة في عامل الإزاحة: نظرية الدالة الطيفية ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-15021-5

• وايسستين، إريك دبليو. “مشغل دلتا” . عالم الرياضيات .