مشغل وردية

عامل الإزاحة T ^t (حيث ⁠${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$تأخذ ) دالة f على${\displaystyle \mathbb {R} }$إلى ترجمتها f _t ,

${\displaystyle T^{t}f(x)=f_{t}(x)=f(x+t)~.}$

تمثيل عملي لحساب التفاضل والتكامل للمؤثر الخطي T ^t بدلالة المشتقة البسيطة${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}$تم تقديمه بواسطة لاغرانج ،

والتي يمكن تفسيرها عمليًا من خلال توسيع تايلور الرسمي لها في t ؛ ويتضح تأثيرها على الحد الأحادي xⁿ من خلال نظرية ذات الحدين ، وبالتالي على جميع المتسلسلات في x ، ومن ثم على جميع الدوال ^f ( x ) كما سبق. ^{[ 3 ]} وهذا، إذن، هو ترميز رسمي لتوسيع تايلور في حساب هيفسايد.

وبالتالي، يوفر المشغل النموذج الأولي ^{[ 4 ]} لتدفق الحمل الشهير لـ Lie للمجموعات الأبيلية ،

${\displaystyle \exp \left(t\beta (x){\frac {d}{dx}}\right)f(x)=\exp \left(t{\frac {d}{dh}}\right)F(h)=F(h+t)=f\left(h^{-1}(h(x)+t)\right),}$

حيث تُعرَّف الإحداثيات الكنسية h ( دوال أبيل ) بحيث

${\displaystyle h'(x)\equiv {\frac {1}{\beta (x)}}~,\qquad f(x)\equiv F(h(x)).}$

فعلى سبيل المثال، يترتب على ذلك بسهولة أن ${\displaystyle \beta (x)=x}$يؤدي ذلك إلى زيادة حجم النتائج،

${\displaystyle \exp \left(tx{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f(e^{t}x),}$

لذلك${\displaystyle \exp \left(i\pi x{\tfrac {d}{dx}}\right)f(x)=f(-x)}$(التكافؤ)؛ وبالمثل، ${\displaystyle \beta (x)=x^{2}}$ينتج ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \exp \left(tx^{2}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\frac {x}{1-tx}}\right),}$

${\displaystyle \beta (x)={\tfrac {1}{x}}}$العائد

${\displaystyle \exp \left({\frac {t}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\sqrt {x^{2}+2t}}\right),}$

${\displaystyle \beta (x)=e^{x}}$العائد

${\displaystyle \exp \left(te^{x}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left(\ln \left({\frac {1}{e^{-x}-t}}\right)\right),}$

إلخ.

تحدد الحالة الأولية للتدفق وخاصية المجموعة تدفق لي بالكامل، مما يوفر حلاً لمعادلة الانتقال الوظيفية ^{[ 6 ].}

${\displaystyle f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x).}$

يعمل عامل الإزاحة إلى اليسار على سلسلة أعداد لانهائية من جانب واحد بواسطة

${\displaystyle S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )}$

وعلى المتتاليات اللانهائية ذات الجانبين بواسطة

${\displaystyle T:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }.}$

يعمل عامل الإزاحة إلى اليمين على سلسلة أرقام لانهائية من جانب واحد بواسطة

${\displaystyle S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )}$

وعلى المتتاليات اللانهائية ذات الجانبين بواسطة

${\displaystyle T^{-1}:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }.}$

تُسمى عمليات الإزاحة إلى اليمين واليسار التي تعمل على متتابعات لانهائية ثنائية الجانب بالإزاحات الثنائية . ويُعطى نظير لها في الأبعاد المحدودة بواسطة مصفوفات الإزاحة .

بشكل عام، كما هو موضح أعلاه، إذا كانت F دالة على مجموعة أبيلية G ، و h عنصر من G ، فإن عامل الإزاحة T ^g يحول F إلى ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle F_{g}(h)=F(h+g).}$

عامل الإزاحة الذي يعمل على المتتاليات ثنائية الجانب هو عامل وحدوي على ${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {Z} ).}$إن عامل الإزاحة الذي يعمل على دوال المتغير الحقيقي هو عامل وحدوي على${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} ).}$⁠

في كلتا الحالتين، يحقق عامل الإزاحة (إلى اليسار) علاقة التبادل التالية مع تحويل فورييه : $${\displaystyle {\mathcal {F}}T^{t}=M^{t}{\mathcal {F}},}$$ حيث M ^t هو عامل الضرب بواسطة exp( itx ) . لذلك، فإن طيف T ^t هو دائرة الوحدة .

الإزاحة أحادية الجانب S التي تؤثر على${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {N} )}$⁠ هو قياس متساوي القياس صحيح، مداه يساوي جميع المتجهات التي تتلاشى في الإحداثي الأول. المؤثر S هو ضغط لـ T ⁻¹ ، بمعنى أن $${\displaystyle T^{-1}y=Sx{\text{ for each }}x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ),}$$ حيث يمثل y المتجه في${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {Z} )}$حيث y i = x _i لـ i ≥ 0 و y _i = 0 لـ i < 0. هذه الملاحظة هي جوهر بناء العديد من _{التمددات} الوحدوية للتماثلات.

طيف S هو قرص الوحدة . الإزاحة S هي أحد أمثلة مؤثر فريدهولم ؛ ولها مؤشر فريدهولم -1.