عامل الضرب

الموسوعة الحرة

في نظرية المؤثرات ، يُعرَّف مؤثر الضرب بأنه مؤثر خطي T f مُعرَّف على فضاء متجهي للدوال ، وتُعطى قيمته عند دالة φ بضربها في دالة ثابتة f . أي، تيوφ(x)=و(x)φ(x){\displaystyle T_{f}\varphi (x)=f(x)\varphi (x)\quad } لكل φ في مجال T f ، ولكل x في مجال φ (وهو نفسه مجال f ). [ 1 ]

تعمم عوامل الضرب مفهوم العامل المعطى بواسطة مصفوفة قطرية . [ 2 ] وبشكل أدق، فإن إحدى نتائج نظرية العوامل هي نظرية طيفية تنص على أن كل عامل ذاتي الترافق على فضاء هيلبرت مكافئ وحدويًا لعامل ضرب على فضاء L2 . [ 3 ]

غالباً ما تتم مقارنة هذه المؤثرات بمؤثرات التركيب ، والتي يتم استنباطها بشكل مماثل بواسطة أي دالة ثابتة f . كما أنها ترتبط ارتباطاً وثيقاً بمؤثرات توبليتز ، وهي عبارة عن ضغط لمؤثرات الضرب على الدائرة إلى فضاء هاردي .

ملكيات

  • عامل الضربتيو{\displaystyle T_{f}}علىل2(X){\displaystyle L^{2}(X)}حيث X هوσ{\displaystyle \sigma }تكون الدالة f محدودة إذا وفقط إذا كانت تنتمي إلى المجموعة f -finite .ل∞(X){\displaystyle L^{\infty }(X)}(لا يتطلب الاتجاه العكسي للاستلزامσ{\displaystyle \sigma }(فرضية التناهي). في هذه الحالة، يكون معيار المؤثر مساوياً لـ‖و‖∞{\displaystyle \|f\|_{\infty }}[ 1 ]​
  • المرافق لعامل الضربتيو{\displaystyle T_{f}}يكونتيو¯{\displaystyle T_{\overline {f}}}، أينو¯{\displaystyle {\overline {f}}}هو المرافق المركب للدالة f . ونتيجة لذلك،تيو{\displaystyle T_{f}}تكون الدالة مترافقة ذاتيًا إذا وفقط إذا كانت f ذات قيم حقيقية. [ 4 ]
  • طيف عامل الضرب المحدودتيو{\displaystyle T_{f}}يمثل النطاق الأساسي لـ f ؛ خارج هذا النطاق، يكون معكوس f(تيو-λ){\displaystyle (T_{f}-\lambda )}هو عامل الضربتي1و-λ.{\displaystyle T_{\frac {1}{f-\lambda }}.}[ 1 ]
  • عاملان للضرب المحدودتيو{\displaystyle T_{f}}وتيز{\displaystyle T_{g}}علىل2{\displaystyle L^{2}}[ 4 ] تكون متساوية إذا كانت f و g متساويتين تقريبًا في كل مكان .

مثال

لنعتبر فضاء هيلبرت X = L² [−1, 3] للدوال التربيعية القابلة للتكامل ذات القيم المركبة على الفترة [ −1, 3 ] . بتعريف المؤثر f ( x ) = x² ، عرّف المؤثر التالي :تيوφ(x)=x2φ(x){\displaystyle T_{f}\varphi (x)=x^{2}\varphi (x)} لأي دالة φ في X ، سيكون هذا مؤثرًا خطيًا محدودًا ذاتيًا ، مجاله X = L² [−1, 3] ومعياره 9. سيكون طيفه هو الفترة [ 0, 9 ] (مدى الدالة x ↦ x² المعرفة على [ −1 , 3 ] ) . في الواقع ، لأي عدد مركب λ ، يُعطى المؤثر T f − λ بالعلاقة التالية :(تيو-λ)(φ)(x)=(x2-λ)φ(x).{\displaystyle (T_{f}-\lambda )(\varphi )(x)=(x^{2}-\lambda )\varphi (x).}

تكون قابلة للعكس إذا وفقط إذا لم تكن λ في الفترة [ 0، 9 ] ، وعندئذٍ يكون معكوسها هو (تيو-λ)-1(φ)(x)=1x2-λφ(x)،{\displaystyle (T_{f}-\lambda )^{-1}(\varphi )(x)={\frac {1}{x^{2}-\lambda }}\varphi (x),} وهو عامل ضرب آخر.

يمكن تعميم هذا المثال بسهولة لتوصيف معيار وطيف عامل الضرب على أي فضاء L p .

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 أرفيسون، ويليام (2001). دورة مختصرة في نظرية الأطياف . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  209. دار نشر سبرينغر . ISBN 0-387-95300-0.
  2. ↑ هالموس، بول (1982). كتاب مسائل فضاء هيلبرت . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 19. دار نشر سبرينغر . ISBN  0-387-90685-1.
  3. ^ ويدمان ، يواكيم (1980). العوامل الخطية في فضاءات هيلبرت . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد. 68. سبرينغر فيرلاغ . رقم ISBN  978-1-4612-6029-5.
  4. 1 2 غارسيا، ستيفان رامون ؛ مشرقي، جواد ؛ روس، ويليام ت. (2023). نظرية المؤثرات بالأمثلة . نصوص أكسفورد للدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 30. مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN  9780192863867.

فهرس