نظرية المشغل

في الرياضيات ، نظرية المشغلات هي دراسة المشغلات الخطية على فضاءات الدالة ، بدءًا من المشغلات التفاضلية والمشغلات التكاملية . يمكن تقديم المشغلات بشكل تجريدي حسب خصائصها، مثل المشغلات الخطية المحدودة أو المشغلات المغلقة ، ويمكن النظر في المشغلات غير الخطية . الدراسة، التي تعتمد بشكل كبير على طوبولوجيا فضاءات الدالة، هي فرع من التحليل الوظيفي .

إذا شكلت مجموعة من العوامل جبرًا على حقل ، فإنها تكون جبرًا عاملًا . إن وصف جبر العوامل هو جزء من نظرية العوامل.

تتعامل نظرية المشغل الفردي مع خصائص المشغلات وتصنيفها، مع الأخذ في الاعتبار كل مشغل على حدة. على سبيل المثال، يندرج تصنيف المشغلات العادية من حيث أطيافها ضمن هذه الفئة.

نظرية الطيف هي أي من عدد من النتائج حول المشغلات الخطية أو حول المصفوفات . ^[1] وبعبارات عامة، توفر نظرية الطيف الظروف التي يمكن بموجبها تحويل مشغل أو مصفوفة إلى قطري (أي تمثيلها كمصفوفة قطرية في بعض الأسس). يعد مفهوم التحويل إلى قطري واضحًا نسبيًا للمشغلات في المساحات ذات الأبعاد المحدودة ، ولكنه يتطلب بعض التعديل للمشغلات في المساحات ذات الأبعاد اللانهائية. بشكل عام، تحدد نظرية الطيف فئة من المشغلات الخطية التي يمكن نمذجتها بواسطة مشغلات الضرب ، والتي هي بسيطة بقدر ما يمكن للمرء أن يأمل في العثور عليها. بلغة أكثر تجريدًا، نظرية الطيف هي بيان حول جبر C*- التبديلي . انظر أيضًا نظرية الطيف للحصول على منظور تاريخي.

ومن أمثلة المشغلات التي تنطبق عليها نظرية الطيف المشغلات المترافقة ذاتيًا أو المشغلات الطبيعية بشكل عام في فضاءات هيلبرت .

توفر النظرية الطيفية أيضًا تحللًا قياسيًا ، يُسمى التحلل الطيفي ، أو تحلل القيمة الذاتية ، أو التحلل الذاتي ، لمساحة المتجه الأساسية التي يعمل عليها المشغل.

المؤثر الطبيعي على فضاء هيلبرت المركب H هو مؤثر خطي مستمر N  : H → H يتبادل مع مرافقه الهرميتي N* ، أي: NN* = N*N . ^[2 ]

تعتبر العوامل الطبيعية مهمة لأن نظرية الطيف تنطبق عليها. واليوم، أصبح مفهومًا جيدًا فئة العوامل الطبيعية. ومن أمثلة العوامل الطبيعية:

• المشغلات الوحدوية : N* = N ⁻¹
• المشغلات الهيرميتية (أي المشغلات ذاتية الترابط): N* = N ؛ (أيضًا، المشغلات المضادة ذاتية الترابط: N* = − N )
• المشغلات الإيجابية : N = MM*
• يمكن اعتبار المصفوفات الطبيعية كمشغلات طبيعية إذا أخذنا في الاعتبار أن مساحة هيلبرت هي C ⁿ .

تمتد نظرية الطيف إلى فئة أكثر عمومية من المصفوفات. دع A يكون عاملًا في فضاء حاصل داخلي ذي أبعاد محدودة . يقال إن A عمودي إذا كان A ^* A = AA ^* . يمكن للمرء أن يُظهر أن A عمودي إذا وفقط إذا كان قابلاً للتحويل إلى قطري أحادي: من خلال تحلل شور ، لدينا A = UTU ^* ، حيث U وحدوية و T مثلثية علوية . نظرًا لأن A عمودية، فإن TT ^* = T ^* T. لذلك، يجب أن تكون T قطرية لأن المصفوفات المثلثية العلوية العادية قطرية. والعكس واضح.

بعبارة أخرى، تكون A عمودية إذا وفقط إذا كانت هناك مصفوفة وحدوية U بحيث تكون D مصفوفة قطرية . عندئذٍ، تكون مدخلات قطر D هي القيم الذاتية لـ A. تكون متجهات العمود لـ U هي المتجهات الذاتية لـ A وهي متعامدة عمودية . وعلى عكس الحالة الهيرميتية، لا يلزم أن تكون مدخلات D حقيقية. $${\displaystyle A=UDU^{*}}$$

التحلل القطبي لأي عامل خطي محدود A بين فضاءات هيلبرت المعقدة هو تحليل عاملي أساسي باعتباره حاصل ضرب تساوي القياس الجزئي وعامل غير سلبي. ^[3]

يتلخص التحليل القطبي للمصفوفات في الآتي: إذا كان A عامل خطي محدود، فإن هناك تحليلًا فريدًا لـ A على أنه حاصل ضرب A = UP حيث U هو تماثل جزئي، وP هو عامل مرافق ذاتي غير سلبي ، والفضاء الأولي لـ U هو إغلاق نطاق P.

يجب إضعاف العامل U إلى تساوي جزئي، وليس وحدويًا، بسبب المشكلات التالية. إذا كان A هو التحول أحادي الجانب على l ² ( N )، فإن | A | = ( A*A ) ^1/2 = I . لذا إذا كان A = U | A |، فيجب أن تكون U هي A ، وهي ليست وحدوية.

إن وجود التحلل القطبي هو نتيجة لمعضلة دوغلاس :

يمكن تعريف العامل C بواسطة C ( Bh ) = Ah ، ممتدًا بالاستمرارية إلى إغلاق Ran ( B )، وبصفر على المكمل المتعامد لـ Ran ( B ) . العامل C محدد جيدًا لأن A*A ≤ B*B يعني Ker( B ) ⊂ Ker( A ) . ثم يتبع ذلك المبرهنة.

على وجه الخصوص، إذا كانت A*A = B*B ، فإن C هي تماثل جزئي، وهو فريد إذا كان Ker( B* ) ⊂ Ker( C ). بشكل عام، لأي عامل محدود A ، حيث ( A*A ) ^1/2 هو الجذر التربيعي الموجب الفريد لـ A*A المعطى بواسطة حساب التفاضل والتكامل الوظيفي المعتاد . لذا وفقًا للمبرهنة، لدينا لبعض التماثل الجزئي U ، وهو فريد إذا كان Ker( A ) ⊂ Ker( U ). (لاحظ Ker( A ) = Ker( A*A ) = Ker( B ) = Ker( B* ) ، حيث B = B* = ( A*A ) ^1/2 .) خذ P ليكون ( A*A ) ^1/2 ونحصل على التحلل القطبي A = UP . لاحظ أنه يمكن استخدام وسيطة مماثلة لإظهار A = P'U' ، حيث P' موجب و U' تماثل جزئي. $${\displaystyle A^{*}A=(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}(A^{*}A)^{\frac {1}{2}},}$$$${\displaystyle A=U(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}}$$

عندما يكون H ذو أبعاد محدودة، يمكن تمديد U إلى عامل موحد؛ وهذا ليس صحيحًا بشكل عام (انظر المثال أعلاه). بدلاً من ذلك، يمكن إظهار التحليل القطبي باستخدام إصدار العامل لتحليل القيمة المفردة .

وفقًا لخاصية حساب التفاضل والتكامل المستمر ، فإن | A | موجود في جبر C* الناتج عن A. تنطبق عبارة مماثلة ولكنها أضعف على التماثل الجزئي: الجزء القطبي U موجود في جبر فون نيومان الناتج عن A. إذا كان A قابلاً للعكس، فسيكون U موجودًا في جبر C* الناتج عن A أيضًا.

العديد من المشغلات التي تمت دراستها هي مشغلات على فضاءات هيلبرت للوظائف الشاملة ، ودراسة المشغل مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالأسئلة في نظرية الوظيفة. على سبيل المثال، تصف نظرية بورلينج الفضاءات الفرعية الثابتة للتحول الأحادي الجانب من حيث الدوال الداخلية، وهي دوال شاملة محدودة على القرص الوحدوي بقيم حدودية أحادية النمط في كل مكان تقريبًا على الدائرة. فسر بورلينج التحول الأحادي الجانب على أنه ضرب بالمتغير المستقل في فضاء هاردي . ^[4] ألهم النجاح في دراسة مشغلات الضرب، وبشكل عام مشغلات توبليتز (وهي الضرب، يليه الإسقاط على فضاء هاردي) دراسة أسئلة مماثلة في فضاءات أخرى، مثل فضاء بيرجمان .

إن نظرية جبر المشغلات تضع جبر المشغلات مثل جبر C* في المقدمة.

الجبر AC*، A ، هو جبر باناخ على مجال الأعداد المركبة ، مع خريطة *: A → A. نكتب x* لصورة العنصر x من A. الخريطة * لها الخصائص التالية: ^[5]

• إنه تراجع ، لكل x في A $${\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}$$
• لجميع x و y في A :$${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$$ $${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$$
• لكل λ في C ولكل x في A :$${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.}$$
• لجميع x في A :$${\displaystyle \|x^{*}x\|=\يسار\|x\يمين\|\يسار\|x^{*}\يمين\|.}$$

ملاحظة: تنص المتطابقات الثلاث الأولى على أن A هي جبر * . وتسمى المتطابقة الأخيرة متطابقة C* وهي تعادل: $${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2},}$$

إن هوية C* هي متطلب قوي للغاية. على سبيل المثال، جنبًا إلى جنب مع صيغة نصف القطر الطيفي ، فإنها تعني أن معيار C* يتم تحديده بشكل فريد من خلال البنية الجبرية: $${\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ ليس قابلاً للعكس}}\}.}$$

• فضاء فرعي ثابت
• حساب التفاضل والتكامل الوظيفي
• نظرية الطيف
  • صيغة الحل
• مشغل مدمج
  • نظرية فريدهولم للمعادلات التكاملية
    • عامل متكامل
    • مشغل فريدهولم
• مشغل مساعد ذاتي
• مشغل غير محدود
  • عامل التفاضل
• حساب الظل
• رسم الخرائط الانكماشية
• عامل موجب في فضاء هيلبرت
• عامل غير سلبي على مساحة متجهية مرتبة جزئيًا

• كونواي، ج. ب .: دورة في التحليل الوظيفي ، الطبعة الثانية، سبرينغر فيرلاغ، 1994، ISBN 0-387-97245-5 
• يوشينو، تاكاشي (1993). مقدمة إلى نظرية المشغل . تشابمان وهول/سي آر سي. رقم ISBN 978-0582237438.

• تاريخ نظرية المشغل