المصفوفة الطبيعية

في الرياضيات، تكون المصفوفة المربعة المركبة A $طبيعية$ إذا كانت تتبادل مع منقولتها المرافقة $A$ $*$ :

A{\text{ normal}}\iff A^{*}A=AA^{*}.

يمكن توسيع مفهوم المصفوفات العادية ليشمل المؤثرات العادية على الفضاءات المعيارية اللانهائية الأبعاد ، والعناصر العادية في جبر C* . وكما هو الحال في المصفوفات، تعني العادية الحفاظ على خاصية التبديل، قدر الإمكان، في الحالة غير التبديلية. وهذا يجعل المؤثرات العادية، والعناصر العادية في جبر C*، أكثر قابلية للتحليل.

تنص نظرية الطيف على أن المصفوفة تكون طبيعية إذا وفقط إذا كانت متشابهة وحدويًا مع مصفوفة قطرية ؛ مما يعني على وجه الخصوص أن أي مصفوفة $A$ تحقق المعادلة $A * A = AA *$ قابلة للتقطير . (لا يصح العكس لأن المصفوفات القابلة للتقطير قد يكون لها فضاءات ذاتية غير متعامدة). $A=UDU^{*}$ و $A^{*}=UD^{*}U^{*}$ أين $D$ هي مصفوفة قطرية تكون قيمها القطرية في الغالب أعدادًا مركبة و $U$ هي مصفوفة وحدوية.

المتجهات المفردة اليسرى واليمنى في تحليل القيم المفردة للمصفوفة العادية $A=UDV^{*}$ تختلف فقط في الطور المركب عن بعضها البعض وعن المتجهات الذاتية المقابلة، حيث يجب استخراج الطور من القيم الذاتية لتشكيل القيم المفردة.

حالات خاصة

من بين المصفوفات المركبة، تُعتبر جميع المصفوفات الوحدوية والهرميتية والهرميتية المعكوسة مصفوفات طبيعية، حيث تكون جميع قيمها الذاتية على التوالي: قيمة مطلقة تساوي واحدًا، وقيم حقيقية، وقيم تخيلية. وبالمثل، من بين المصفوفات الحقيقية، تُعتبر جميع المصفوفات المتعامدة والمتماثلة والمتماثلة المعكوسة مصفوفات طبيعية، حيث تكون جميع قيمها الذاتية على التوالي : أزواجًا مركبة مترافقة على دائرة الوحدة، وقيمًا حقيقية، وقيمًا تخيلية. مع ذلك، ليس بالضرورة أن تكون جميع المصفوفات الطبيعية وحدوية أو هرميتية (معكوسة)، إذ يمكن أن تكون قيمها الذاتية أي عدد مركب، بشكل عام. على سبيل المثال، $A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}$ ليست معادلة وحدوية، ولا هيرميتية، ولا هيرميتية ملتوية، لأن قيمها الذاتية هي $2,(1\pm i{\sqrt {3}})/2$ ومع ذلك، فهو أمر طبيعي لأن $AA^{*}={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=A^{*}A.$

عواقب

الفرضية — المصفوفة المثلثية العادية قطرية .

دليل

لتكن $A$ أي مصفوفة مثلثية علوية عادية. بما أن $(A^{*}A)_{ii}=(AA^{*})_{ii},$ باستخدام ترميز الرموز السفلية، يمكن كتابة التعبير المكافئ باستخدام متجه الوحدة رقم $i$ بدلاً من ذلك ( ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ ) لتحديد الصف رقم $i والعمود رقم$ $i$ : ${\hat {\mathbf {e}}}_{i}^{\intercal }\left(A^{*}A\right){\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\hat {\mathbf {e}}}_{i}^{\intercal }\left(AA^{*}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{أنا}.$ التعبير $\left(A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)^{*}\left(A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)=\left(A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)^{*}\left(A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)$ مكافئ، وكذلك $\left\|A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right\|^{2}=\left\|A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right\|^{2},$

مما يدل على أن الصف رقم

i

يجب أن يكون له نفس معيار العمود رقم

i

.

لنفترض أن $i = 1.$ العنصر الأول في الصف الأول والعمود الأول متطابقان، وبقية عناصر العمود الأول تساوي صفرًا (بسبب خاصية المثلث). هذا يعني أن الصف الأول يجب أن يكون صفرًا للعناصر من 2 إلى $n$ . بمواصلة هذا الاستدلال لأزواج الصفوف والأعمدة من 2 إلى $n،$ يتضح أن المصفوفة $A$ قطرية.

يُعد مفهوم المعيارية مهمًا لأن المصفوفات المعيارية هي تحديدًا تلك التي تنطبق عليها نظرية الطيف :

الفرضية — المصفوفة $A$ تكون طبيعية إذا وفقط إذا كانت هناك مصفوفة قطرية $Λ$ ومصفوفة وحدوية $U$ بحيث $A = U Λ U *$ .

تمثل العناصر القطرية للمصفوفة $Λ$ القيم الذاتية للمصفوفة $A$ ، بينما تمثل أعمدة المصفوفة $U$ المتجهات الذاتية للمصفوفة $A.$ وتأتي القيم الذاتية المتطابقة في $Λ$ بنفس ترتيب ترتيب المتجهات الذاتية كأعمدة في المصفوفة $U.$

يمكن صياغة نظرية الطيف بطريقة أخرى ، وهي أن المصفوفات الطبيعية هي تحديدًا تلك المصفوفات التي يمكن تمثيلها بمصفوفة قطرية بالنسبة إلى أساس متعامد معياري مختار بشكل مناسب للفضاء $Cⁿ .$ بعبارة أخرى: تكون المصفوفة طبيعية إذا وفقط إذا كانت فضاءاتها الذاتية تغطي $الفضاء$ $Cⁿ$ ومتعامدة مثنى مثنى بالنسبة إلى الجداء الداخلي القياسي $للفضاء$ $Cⁿ$ .

تُعدّ نظرية الطيف للمصفوفات العادية حالةً خاصةً من تحليل شور الأكثر عمومية ، والذي ينطبق على جميع المصفوفات المربعة. لنفترض أن $A$ مصفوفة مربعة. بحسب تحليل شور، فهي متشابهة وحدويًا مع مصفوفة مثلثية علوية، ولتكن $B.$ إذا كانت $A$ عادية، فإن $B$ كذلك . لكن $B$ يجب أن تكون قطرية، لأن المصفوفة المثلثية العلوية العادية قطرية، كما ذُكر سابقًا.

تسمح نظرية الطيف بتصنيف المصفوفات العادية من حيث أطيافها، على سبيل المثال:

الفرضية — تكون المصفوفة العادية وحدوية إذا وفقط إذا كانت جميع قيمها الذاتية (طيفها) تقع على دائرة الوحدة في المستوى المركب.

الفرضية — تكون المصفوفة العادية ذاتية الترافق إذا وفقط إذا كان طيفها محصورًا في $\mathbb {R}$ بعبارة أخرى: تكون المصفوفة العادية هيرميتية إذا وفقط إذا كانت جميع قيمها الذاتية حقيقية .

بشكل عام، لا يشترط أن يكون مجموع أو حاصل ضرب مصفوفتين طبيعيتين مصفوفة طبيعية. ومع ذلك، ينطبق ما يلي:

الفرضية : إذا كانت المصفوفتان $A$ و $B$ طبيعيتين بحيث $AB = BA$ ، فإن كلاً من $AB$ و $A + B$ طبيعيتان أيضاً. علاوة على ذلك، توجد مصفوفة وحدوية $U$ بحيث تكون $UAU *$ و $UBU *$ مصفوفتين قطريتين. بعبارة أخرى، يمكن تحويل $A$ و $B$ إلى مصفوفتين قطريتين في آن واحد .

في هذه الحالة الخاصة، تكون أعمدة $U *$ متجهات ذاتية لكل من $A$ و $B$ وتشكل أساسًا متعامدًا في $C n$ . وينتج هذا عن الجمع بين النظريتين اللتين تنصان على أنه، على حقل مغلق جبريًا، يمكن تحويل المصفوفات التبادلية إلى مثلثات في آن واحد ، ويمكن تحويل المصفوفة العادية إلى مصفوفة قطرية - والنتيجة المضافة هي أنه يمكن القيام بذلك في آن واحد.

تعريفات مكافئة

من الممكن تقديم قائمة طويلة نسبياً من التعريفات المتكافئة للمصفوفة العادية. لتكن A مصفوفة مركبة من الرتبة n $\times$ $n . عندئذٍ$ ، تكون التعريفات التالية متكافئة:

$أ$ هو الوضع الطبيعي.
يمكن تحويل المصفوفة $A$ إلى مصفوفة قطرية بواسطة مصفوفة وحدوية.
توجد مجموعة من المتجهات الذاتية لـ $A$ والتي تشكل أساسًا متعامدًا لـ $C n$ .
$\left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|$ لكل $x$ .
يمكن حساب معيار فروبينيوس للمصفوفة A من $خلال القيم الذاتية للمصفوفة$ $A$ : ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$ .
الجزء الهرميتي $1$ $/$ $2$ $($ $A$ $+$ $A$ $*$ $)$ والجزء الهرميتي المنحرف $1$ $/$ $2$ $($ $A$ $-$ $A$ $*$ $)$ من $A$ $يتبادلان$ $.$ $$ $$
$A *$ هي متعددة حدود (من الدرجة^≤ $n - 1$ ) في $A.$ [^{a ]}
$A * = AU$ لبعض المصفوفة الوحدوية $U$ .^{[ 1 ]}
$U$ و $P$ يتبادلان ، حيث لدينا التحليل القطبي $A = UP$ مع مصفوفة وحدوية $U$ وبعض المصفوفات شبه المحددة الموجبة $P.$
$يتبادل المصفوفة A$ مع مصفوفة طبيعية $N$ ذات قيم ذاتية مميزة .
$σ i = | λ i |$ لجميع $1 \leq i \leq n$ حيث $A$ لها قيم مفردة $σ 1 \geq \dots \geq σ n$ ولها قيم ذاتية مفهرسة بالترتيب $| λ 1 | \geq \dots \geq | λ n |$ .^{[ 2 ]}

بعض ما سبق، وليس كله، يُعمم على المؤثرات العادية في فضاءات هيلبرت اللانهائية الأبعاد. على سبيل المثال، المؤثر المحدود الذي يحقق الشرط (9) هو شبه عادي فقط .

تشبيه المصفوفة العادية

قد يكون من المفيد أحيانًا (ولكنه قد يكون مضللًا في بعض الأحيان) اعتبار علاقات أنواع خاصة من المصفوفات العادية مماثلة لعلاقات النوع المقابل من الأعداد المركبة التي تتكون منها قيمها الذاتية. وذلك لأن أي دالة (يمكن التعبير عنها كمتسلسلة قوى) لمصفوفة غير معيبة تؤثر مباشرة على كل قيمة من قيمها الذاتية، والمُرافق المنقول لتحليلها الطيفي $VDV^{*}$ يكون $VD^{*}V^{*}$ ، أين $D$ هي المصفوفة القطرية للقيم الذاتية. وبالمثل، إذا كانت مصفوفتان عاديتان تتبادلان وبالتالي يمكن تحويلهما إلى مصفوفات قطرية في آن واحد، فإن أي عملية بين هاتين المصفوفتين تؤثر أيضًا على كل زوج متناظر من القيم الذاتية.

المنقول المترافق مماثل للمترافق المعقد .
المصفوفات الوحدوية مماثلة للأعداد المركبة على دائرة الوحدة .
المصفوفات الهرميتية مماثلة للأعداد الحقيقية .
المصفوفات الهيرميتية الموجبة المحددة مماثلة للأعداد الحقيقية الموجبة .
المصفوفات الهرميتية المائلة مماثلة للأعداد التخيلية البحتة .
المصفوفات القابلة للعكس مماثلة للأعداد المركبة غير الصفرية .
معكوس المصفوفة هو الذي يتم فيه عكس كل قيمة ذاتية.
مصفوفة القياس المنتظمة تشبه العدد الثابت.
وعلى وجه الخصوص، فإن المصفوفة الصفرية مماثلة للصفر، و
مصفوفة الوحدة مماثلة للمصفوفة 1.
المصفوفة المتساوية القوة هي إسقاط متعامد تكون فيه كل قيمة ذاتية إما 0 أو 1.
للانقلاب الطبيعي قيم ذاتية $\pm 1$ .

كحالة خاصة، يمكن تضمين الأعداد المركبة في المصفوفات الحقيقية العادية 2×2 عن طريق التحويل $a+bi\mapsto {\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}}=a\,{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+b\,{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\,.$ وهذا يحافظ على عمليتي الجمع والضرب. ومن السهل التحقق من أن هذا التضمين يحترم جميع أوجه التشابه المذكورة أعلاه.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ الدليل: عندما $A$ إذا كان طبيعيًا، فاستخدم صيغة لاغرانج للاستيفاء لإنشاء متعدد الحدود $P$ بحيث ${\overline {\lambda _{j}}}=P(\lambda _{j})$ ، أين $\lambda _{j}$ هي القيم الذاتية لـ $A$ .

مصادر

هورن، روجر آلان ؛ جونسون، تشارلز رويال (1985)، تحليل المصفوفات ، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-38632-6.
هورن، روجر آلان ؛ جونسون، تشارلز رويال (1991). مواضيع في تحليل المصفوفات . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-30587-7.

[1] الدليل: عندما $A$ إذا كان طبيعيًا، فاستخدم صيغة لاغرانج للاستيفاء لإنشاء متعدد الحدود $P$ بحيث ${\overline {\lambda _{j}}}=P(\lambda _{j})$ ، أين $\lambda _{j}$ هي القيم الذاتية لـ $A$ .

[2] هورن وجونسون (1985) ، ص 109

[3] هورن وجونسون (1991) ، ص 157

≤

[ 1 ]

[ 2 ]