عنصر ذاتي الترافق

في الرياضيات ، يُطلق على عنصر من عناصر الجبر النجمي اسم "العنصر المرافق ذاتيًا" إذا كان هو نفسه العنصر المرافق له (أي${\displaystyle a=a^{*}}$).

يترك${\displaystyle {\mathcal {A}}}$أن يكون جبرًا *-. عنصر${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$يُطلق عليه اسم ذاتي الترافق إذا${\displaystyle a=a^{*}}$[ ^{1 ]​}

تُعرف مجموعة العناصر المترافقة ذاتيًا باسم${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$.

مجموعة فرعية${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}}$أي مغلق تحت عملية الانعكاس *، أي${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{*}}$[ ^{2 ]}​^​

ومن الحالات الخاصة ذات الأهمية الخاصة الحالة التي${\displaystyle {\mathcal {A}}}$هي جبر معياري كامل من النوع * ، يحقق متطابقة C* ($\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}}$)، وهو ما يسمى بالجبر C* .

وخاصة في الأدبيات القديمة حول الجبر النجمي والجبر C*، تُسمى هذه العناصر غالبًا بالعناصر الهرميتية. ^{[ 1 ]} ولهذا السبب، فإن الرموز${\displaystyle {\mathcal {A}}_{h}}$،${\displaystyle {\mathcal {A}}_{H}}$أو${\displaystyle H({\mathcal {A}})}$تُستخدم أيضًا في بعض الأحيان مجموعة العناصر المترافقة ذاتيًا، حتى في الأدبيات الحديثة.

• كل عنصر موجب في جبر C* يكون ذاتي الترافق. ^{[ 3 ]}
• لكل عنصر${\displaystyle a}$في الجبر النجمي، العناصر${\displaystyle aa^{*}}$و${\displaystyle a^{*}a}$هي ذاتية الترافق، لأن * هو تماثل عكسي انعكاسي . ^{[ 4 ]}
• لكل عنصر${\displaystyle a}$في الجبر النجمي، الأجزاء الحقيقية والخيالية${\textstyle \operatorname {Re} (a)={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}$و${\textstyle \operatorname {Im} (a)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(aa^{*})}$تكون مترافقة ذاتيًا، حيث${\displaystyle \mathrm {i} }$يرمز إلى الوحدة التخيلية . ^{[ 1 ]}
• لو${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$هو عنصر طبيعي في جبر C*${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ثم لكل دالة ذات قيم حقيقية${\displaystyle f}$، وهو متصل على طيف${\displaystyle a}$، يُعرّف حساب التفاضل والتكامل الوظيفي المستمر عنصرًا ذاتيًا مترافقًا${\displaystyle f(a)}$[ ^{5 ]​}

يترك${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ليكن جبرًا من النوع *-. إذن:

• يترك${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$، ثم${\displaystyle a^{*}a}$هو ذاتي الترافق، لأن${\displaystyle (a^{*}a)^{*}=a^{*}(a^{*})^{*}=a^{*}a}$وبالمثل، تُظهر الحسابات أن${\displaystyle aa^{*}}$وهو أيضاً ذاتي الترافق. ^{[ 6 ]}
• يترك${\displaystyle a=a_{1}a_{2}}$ليكن حاصل ضرب عنصرين ذاتيين مترافقين${\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}$. ثم${\displaystyle a}$يكون ذاتي الترافق إذا${\displaystyle a_{1}}$و${\displaystyle a_{2}}$تبادل ، لأن${\displaystyle (a_{1}a_{2})^{*}=a_{2}^{*}a_{1}^{*}=a_{2}a_{1}}$دائماً ما يكون صحيحاً. ^{[ 1 ]}
• لو${\displaystyle {\mathcal {A}}}$إذا كانت جبر C*، فإن العنصر الطبيعي${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$تكون ذاتية الترافق إذا وفقط إذا كان طيفها حقيقياً، أي${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$[ ^{5 ]​}

• المصفوفة ذاتية الترافق
• عامل ذاتي الترافق

• بلاكادار، بروس (2006). جبر المؤثرات. نظرية جبر C* وجبر فون نيومان . برلين/هايدلبرغ: سبرينغر. ص  63. ISBN 3-540-28486-9.
• ديكسمير، جاك (1977). جبر C* . ترجمة جيليت، فرانسيس. أمستردام/نيويورك/أكسفورد: نورث هولاند. ISBN 0-7204-0762-1.الترجمة الإنجليزية لـ Les C*-algèbres et leurspresentations (باللغة الفرنسية). غوتييه فيلارز. 1969.
• كاديسون، ريتشارد ف.؛ رينغروس، جون ر. (1983). أساسيات نظرية جبر المؤثرات. المجلد 1: النظرية الأولية . نيويورك/لندن: أكاديميك برس. ISBN 0-12-393301-3.
• بالمر، ثيودور دبليو. (2001). جبر باناخ والنظرية العامة لجبر*: المجلد 2، جبر* . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-36638-0.