الالتفاف (الرياضيات)

يكون تمثيل الدالة الانعكاسية (على الأعداد الحقيقية) متناظرًا حول الخط y = x . ويعود ذلك إلى أن معكوس أي دالة عامة هو انعكاسها حول الخط y = x . ويمكن ملاحظة ذلك بتبديل x بـ y . وإذا كانت الدالة انعكاسية ، فإن تمثيلها البياني هو انعكاسها.

تتضمن بعض الأمثلة الأساسية على الدوال العكسية ما يلي: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}f(x)&=ax\;,\\f(x)&={\frac {b}{xa}}+a\end{alignedat}}}$$إلى جانب ذلك، يمكننا إنشاء عملية انعكاسية عن طريق تغليف عملية انعكاسية g في تقابل h ومعكوسها (${\displaystyle h^{-1}\circ g\circ h}$). على سبيل المثال  :$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f(x)&={\sqrt {1-x^{2}}}\quad {\textrm {on}}\;[0;1]&{\bigl (}g(x)=1-x\quad {\textrm {and}}\quad h(x)=x^{2}{\bigr )},\\f(x)&=\ln \left({\frac {e^{x}+1}{e^{x}-1}}\right)&{\bigl (}g(x)={\frac {x+1}{x-1}}={\frac {2}{x-1}}+1\quad {\textrm {and}}\quad h(x)=e^{x}{\bigr )}\\\end{alignedat}}}$$

من الأمثلة البسيطة على الانعكاس في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد هو الانعكاس عبر مستوى . يؤدي إجراء انعكاس مرتين إلى إعادة النقطة إلى إحداثياتها الأصلية.

هناك انقلاب آخر وهو الانعكاس من خلال الأصل ؛ ليس انعكاسًا بالمعنى المذكور أعلاه، وبالتالي فهو مثال مميز.

تُعد هذه التحويلات أمثلة على التحويلات التآلفية .

الانعكاس هو إسقاط دوري من الدرجة الثانية، أي إسقاط يبدل أزواج النقاط. ^{[ 6 ] : 24}

• أي إسقاطية تقوم بتبديل نقطتين هي عملية انعكاس.
• تتقاطع أزواج الأضلاع المتقابلة الثلاثة في شكل رباعي كامل مع أي خط (لا يمر برأس) في ثلاثة أزواج من عملية الالتفاف. وبشكل أعم، إذا أُعطيت أربع نقاط وأي خط لا يمر بإحداها، فإنه يوجد التفاف إسقاطي يبدل أي نقطة على هذا الخط مع التقاطع الثاني للقطع المخروطي (الذي قد يكون منحلاً) المار بالنقطة المعطاة والنقاط الأربع الأخرى. تُعرف هذه النتيجة بنظرية ديزارج للالتفاف. ^{[ 7 ]} ويمكن تتبع أصولها في اللمة الرابعة من لمات بوريزمز لإقليدس في المجلد السابع من مجموعة بابوس الإسكندري . ^{[ 8 ]}
• إذا كان للدالة الانعكاسية نقطة ثابتة واحدة وليست نقطة التطابق، فإنها تمتلك نقطة ثابتة أخرى، وتتألف من التناظر بين المرافقات التوافقية بالنسبة لهاتين النقطتين. في هذه الحالة، تُسمى الدالة الانعكاسية "زائدية"، بينما إذا لم تكن لها نقاط ثابتة، تُسمى "إهليلجية". في سياق الإسقاطات، تُسمى النقاط الثابتة " نقاطًا مزدوجة ". ^{[ 6 ] : 53}

نوع آخر من أنواع الانعكاس يحدث في الهندسة الإسقاطية هو قطبية عبارة عن ارتباط من الفترة 2. ^{[ 9 ]}

في الجبر الخطي، يُعرف الانعكاس بأنه مؤثر خطي T على فضاء متجهي، بحيث يكون T² = I. باستثناء الفضاءات ذات الخاصية 2، تكون هذه المؤثرات قابلة للتقطير بالنسبة لأساس معين، وذلك بوجود عنصرين فقط ^على قطر المصفوفة المناظرة، وهما 1 و -1 . إذا كان المؤثر متعامدًا ( انعكاس متعامد )، فإنه يكون قابلاً للتقطير المتعامد المعياري.

على سبيل المثال، لنفترض أننا اخترنا أساسًا للفضاء المتجهي V ، وأن e1 و e2 عنصران أساسيان _فيه . يوجد تحويل خطي f يُحوّل _e1 إلى e2 _، ويُحوّل e2 إلى _{e1 ،} وهو التحويل المحايد على جميع متجهات الأساس الأخرى. يمكن التحقق من أن f ( f ( x ₎ ) = x لكل x في V. أي أن f تحويل انعكاسي للفضاء V.

بالنسبة لأساس محدد، يمكن تمثيل أي مؤثر خطي بمصفوفة T. لكل مصفوفة منقولة ، تُحصل عليها بتبديل الصفوف بالأعمدة. هذه المنقولة هي عملية انعكاس على مجموعة المصفوفات. بما أن المرافق المركب عنصرًا عنصرًا هو عملية انعكاس مستقلة، فإن منقولة المرافق أو المرافق الهيرميتي هي أيضًا عملية انعكاس.

يمكن بسهولة توسيع تعريف الانعكاس ليشمل الوحدات النمطية . بالنظر إلى وحدة نمطية M على حلقة R ، يُطلق على التشكل الداخلي f لـ M على R اسم انعكاس إذا كان f ² هو التشكل المحايد على M.

ترتبط عمليات الانعكاس بالعناصر المتطابقة ؛ إذا كان 2 قابلاً للعكس فإنهما يتطابقان بطريقة واحدة لواحد.

في التحليل الوظيفي ، تعتبر جبر باناخ * وجبر C* أنواعًا خاصة من جبر باناخ مع عمليات الانعكاس.

في جبر الكواترنيون ، يُعرَّف (الانعكاس المضاد) بالبديهيات التالية: إذا اعتبرنا تحويلاً${\displaystyle x\mapsto f(x)}$إذا كان الأمر كذلك، فهو انقلاب

• ${\displaystyle f(f(x))=x}$(إنها معكوسها الخاص)
• ${\displaystyle f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})}$و${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda f(x)}$(إنها خطية)
• ${\displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})}$

لا تخضع عملية عكس الانعكاس للبديهية الأخيرة، بل

• ${\displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{2})f(x_{1})}$

يُطلق على هذا القانون السابق أحيانًا اسم القانون المضاد للتوزيع . ويظهر أيضًا في الزمر على النحو التالي: ( xy ) ^⁻¹ = ( y ) ^⁻¹ ( x ) ^⁻¹ . وباعتباره بديهية، فإنه يؤدي إلى مفهوم شبه الزمرة مع الانعكاس ، والتي توجد أمثلة طبيعية عليها ليست زمرًا، مثل ضرب المصفوفات المربعة (أي الزمرة الخطية الكاملة ) مع اعتبار منقولة المصفوفة انعكاسًا.

في نظرية الحلقات ، يُستخدم مصطلح "الالتفاف" عادةً للدلالة على التشاكل العكسي الذي يُمثل دالة معكوسة لنفسه. ومن أمثلة الالتفافات في الحلقات الشائعة: المرافق المركب على المستوى المركب ، وما يُكافئه في الأعداد المركبة المنقسمة ، وعملية النقل في حلقة المصفوفات.

عندما تكون R حلقة تبديلية و A جبرًا فوق R ، فإن عملية الانعكاس العكسي σ على A تكون انعكاسًا قياسيًا إذا أبقت R ثابتة في A وحققت

${\displaystyle \forall a\in A\ \ \sigma (a)+a\in R\ \ {\text{and}}\ \ a\sigma (a)\in R.}$^{[ 10 ] [ 11 ]}

في نظرية الزمر ، يُسمى عنصر الزمرة " انقلابًا" إذا كان من ^{الرتبة 2؛ أي أن الانقلاب هو عنصر a بحيث a ≠ e و a²} = e ، حيث e هو العنصر المحايد . [ 12 ] في الأصل ، كان ^{هذا التعريف متوافقًا} مع التعريف الأول أعلاه، لأن عناصر الزمر كانت دائمًا تقابلات من مجموعة إلى نفسها؛ أي أن الزمرة كانت تُفهم على أنها زمرة تبديلية . وبحلول نهاية القرن التاسع عشر، تم توسيع تعريف الزمرة ، وبالتالي تم توسيع تعريف الانقلاب .

يكون التبديل انقلابًا إذا وفقط إذا كان من الممكن كتابته كحاصل ضرب محدود لعمليات تبديل منفصلة .

تؤثر عمليات الالتفاف في المجموعة بشكل كبير على بنيتها. وقد كان لدراسة عمليات الالتفاف دورٌ أساسي في تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية .

يُطلق على العنصر x من المجموعة G اسم حقيقي قوي إذا كان هناك انعكاس t مع x ^t = x ⁻¹ (حيث x ^t = x ⁻¹ = t ⁻¹ ⋅ x ⋅ t ).  

مجموعات كوكسيتر هي مجموعات مولدة بواسطة مجموعة S من الانعكاسات تخضع فقط للعلاقات التي تتضمن قوى أزواج عناصر S. يمكن استخدام مجموعات كوكسيتر، من بين أمور أخرى، لوصف المجسمات المنتظمة الممكنة وتعميماتها إلى أبعاد أعلى .

عملية المتمم في الجبر البولياني هي عملية انعكاس. وبناءً على ذلك، فإن النفي في المنطق الكلاسيكي يحقق قانون النفي المزدوج : ¬¬ A مكافئ لـ A.

في المنطق غير الكلاسيكي ، يُطلق على النفي الذي يحقق قانون النفي المزدوج اسم النفي الالتفافي . في الدلالات الجبرية ، يُجسد هذا النفي على أنه التفاف على جبر قيم الصواب . من أمثلة المنطق الذي يتضمن نفيًا التفافيًا: منطق كلين وبوشفار ثلاثي القيم ، ومنطق لوكاسيفيتش متعدد القيم ، والمنطق الضبابي " منطق المعيار-t الأحادي الالتفافي " (IMTL)، وغيرها. يُضاف النفي الالتفافي أحيانًا كرابط إضافي إلى المنطق الذي لا يتضمن نفيًا التفافيًا؛ وهذا شائع، على سبيل المثال، في المنطق الضبابي ذي المعيار-t .

تُعدّ خاصية الانعكاس في النفي سمةً مميزةً مهمةً للمنطق وأنواع الجبر المقابلة له . فعلى سبيل المثال، يُميّز النفي الانعكاسي الجبر البولياني ضمن جبر هيتينغ . وبالمثل، ينشأ المنطق البولياني الكلاسيكي بإضافة قانون النفي المزدوج إلى المنطق الحدسي . وينطبق الأمر نفسه على الجبر متعدد المتغيرات والجبر ثنائي المتغيرات (وبالتالي على التوالي بين منطق لوكاسيفيتش والمنطق الضبابي ثنائي المتغيرات )، والمنطق متعدد المتغيرات الضمني والمنطق متعدد المتغيرات ، وأزواج أخرى من أنواع الجبر المهمة (والتي تُقابلها منطقيات).

في دراسة العلاقات الثنائية ، لكل علاقة علاقة عكسية . وبما أن عكس العكس هو العلاقة الأصلية، فإن عملية التحويل هي عملية انعكاس على فئة العلاقات . تُرتَّب العلاقات الثنائية من خلال التضمين . وبينما ينعكس هذا الترتيب مع عملية الانعكاس التكميلي ، فإنه يبقى محفوظًا عند التحويل.

تُعدّ عملية XOR الثنائية بقيمة مُعطاة لأحد المعاملات بمثابة عملية عكسية للمعامل الآخر. وقد استُخدمت أقنعة XOR في بعض الحالات لرسم الرسومات على الصور بطريقة تجعل رسمها مرتين على الخلفية يُعيد الخلفية إلى حالتها الأصلية.

هناك حالتان خاصتان من هذا، وهما أيضاً عمليات عكسية، وهما عملية النفي الثنائية التي هي XOR مع قيمة كلها آحاد، وتشفير التشفير المتدفق ، وهو XOR مع سلسلة مفاتيح سرية .

هذا يسبق الحواسيب الثنائية؛ فجميع آلات التشفير الميكانيكية تقريبًا تُطبّق التشفير التبادلي ، وهو عبارة عن عملية عكسية على كل حرف مُدخل. وبدلًا من تصميم نوعين من الآلات، أحدهما للتشفير والآخر لفك التشفير، يمكن أن تكون جميع الآلات متطابقة ويمكن إعدادها (تزويدها بالمفاتيح) بنفس الطريقة. ^{[ 13 ]}

هناك عملية عكسية أخرى مستخدمة في الحواسيب وهي التبديل الثنائي من الرتبة الثانية. على سبيل المثال، يمكن تبديل قيمتي R و B في قيمة لون مخزنة كأعداد صحيحة على شكل ( R , G , B ) ، مما ينتج عنه الشكل ( B , G , R ) : f ( f (RGB)) = RGB, f ( f (BGR)) = BGR .

تحويل ليجندر ، الذي يحول بين لاغرانجيان وهاملتونيان ، هو عملية انعكاسية.

إن التكاملية، وهي مفهوم مركزي في الفيزياء، وخاصة المجال الفرعي للأنظمة القابلة للتكامل ، ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالانطواء، على سبيل المثال في سياق ازدواجية كرامرز-وانييه .