مربع كامل

في الرياضيات ، وتحديدًا في هندسة السقوط ، وخاصةً في الهندسة الإسقاطية ، يُعرف الشكل الرباعي الكامل بأنه نظام من الأشكال الهندسية يتكون من أي أربع نقاط في مستوى واحد ، لا تقع أي ثلاث منها على خط مستقيم واحد ، بالإضافة إلى الخطوط الستة التي تربط أزواج النقاط الستة. وبالمثل ، يُعرف الشكل الرباعي الكامل بأنه نظام من أربعة خطوط مستقيمة، لا يمر أي ثلاثة منها بنقطة واحدة، بالإضافة إلى نقاط تقاطع هذه الخطوط الستة. أطلق لاكلان (1893) على الشكل الرباعي الكامل اسم " تيتراستيغم " ، وعلى الشكل الرباعي الكامل اسم " تيتراغرام" ؛ ولا تزال هذه المصطلحات مستخدمة أحيانًا. كما يُطلق على الشكل الرباعي الكامل اسم " تكوين باش" ، خاصةً في سياق أنظمة شتاينر الثلاثية . ^{[ 1 ]}

تتقاطع الخطوط الستة للرباعي الكامل في أزواج لتشكل ثلاث نقاط إضافية تُسمى نقاط القطر. وبالمثل، من بين نقاط الرباعي الكامل، توجد ثلاثة أزواج من النقاط غير المتصلة بخطوط؛ وتُسمى القطع المستقيمة التي تصل بين هذه الأزواج بالأقطار . بالنسبة للنقاط والخطوط في المستوى الإقليدي، لا يمكن أن تقع نقاط القطر على خط واحد، ولا يمكن أن يكون للأقطار نقطة تقاطع ثلاثية واحدة. بعد اكتشاف مستوى فانو ، وهو هندسة محدودة تكون فيها نقاط قطر الرباعي الكامل على استقامة واحدة ، أضاف بعض الباحثين بديهية فانو التي تنص على أن نقاط القطر ليست على استقامة واحدة إلى بديهيات الهندسة الإسقاطية، ^{[ 2 ]} بينما كان آخرون أقل تقييدًا.

قدّم جي بي هالستيد مجموعة من التعبيرات المختصرة لأجزاء الشكل الرباعي الكامل : أطلق على رؤوس الشكل الرباعي اسم النقاط ، وعلى النقاط القطرية اسم النقاط المشتركة . تُسمى خطوط الفضاء الإسقاطي بالخطوط المستقيمة ، وفي الشكل الرباعي تُسمى بالوصلات . تُسمى "الخطوط القطرية" لكوكسيتر بالوصلات المتقابلة عند هالستيد. تتقاطع الوصلات المتقابلة عند نقطة مشتركة. يُسمى تكوين الشكل الرباعي الكامل بالرباعي . ^{[ 3 ]}

باعتبارهما نظامين من النقاط والخطوط، حيث تنتمي جميع النقاط إلى نفس عدد الخطوط وتحتوي جميع الخطوط على نفس عدد النقاط، يشكل كل من الشكل الرباعي الكامل والشكل الرباعي الكامل تكوينات إسقاطية . في تدوين التكوينات الإسقاطية، يُكتب الشكل الرباعي الكامل على الصورة (4 ₃ 6 ₂ )، ويُكتب الشكل الرباعي الكامل على الصورة (6 ₂ 4 ₃ )، حيث تشير الأرقام في هذا التدوين إلى عدد النقاط، وعدد الخطوط لكل نقطة، وعدد الخطوط، وعدد النقاط لكل خط في التكوين. الشكل الرباعي الكامل هو الشكل الرباعي الإسقاطي المزدوج للشكل الرباعي الكامل، والعكس صحيح. لأي شكلين رباعيين كاملين، أو لأي شكلين رباعيين كاملين، يوجد تحويل إسقاطي فريد يحول أحد التكوينين إلى الآخر. ^{[ 4 ]}

أعاد كارل فون شتاودت صياغة الأسس الرياضية عام ١٨٤٧ بمفهومه للرباعي الكامل، حين لاحظ إمكانية استناد "خاصية توافقية" إلى خصائص هذا الرباعي: فعندما يتقاطع كل زوج من الأضلاع المتقابلة في الرباعي على خط مستقيم، فإن قطري الرباعي يتقاطعان مع هذا الخط عند نقاط توافقية إسقاطية مترافقة . تُسمى النقاط الأربع على الخط، والناتجة عن أضلاع وقطري الرباعي، نطاقًا توافقيًا . وبفضل خاصيتي المنظور والإسقاط، تبقى الخاصية التوافقية ثابتة. وتشير تطورات الهندسة والجبر الحديثين إلى تأثير فون شتاودت على ماريو بييري وفيليكس كلاين .

في المستوى الإقليدي ، يجب ألا تتضمن الخطوط الأربعة للشكل الرباعي الكامل أي أزواج من الخطوط المتوازية، بحيث يكون لكل زوج من الخطوط نقطة تقاطع.

يصف ويلز (1991) عدة خصائص إضافية للأشكال الرباعية الكاملة، تتضمن خصائص مترية للمستوى الإقليدي ، بدلاً من كونها إسقاطية بحتة. تقع منتصفات الأقطار على استقامة واحدة ، وهي (كما أثبت إسحاق نيوتن ) تقع أيضاً على استقامة واحدة مع مركز قطع مخروطي مماس لجميع خطوط الشكل الرباعي الأربعة. تشكل أي ثلاثة من خطوط الشكل الرباعي أضلاع مثلث؛ وتقع مراكز تعامد المثلثات الأربعة المتكونة بهذه الطريقة على خط ثانٍ (يُعرف بالخط المتعامد، أو خط شتاينر، أو خط أوبير ^{[ 5 ] [ 6 ]} )، عمودي على الخط المار بمنتصفات الأقطار. تلتقي الدوائر المحيطة بهذه المثلثات الأربعة نفسها في نقطة واحدة . بالإضافة إلى ذلك، تنتمي الدوائر الثلاث التي تمثل أقطارها حزمة دوائر مشتركة ^{[ 7 ]} محورها هو الخط المار بمراكز التعامد.

تشكل الدوائر القطبية لمثلثات الشكل الرباعي الكامل نظامًا محوريًا مشتركًا . ^{[ 8 ] : ص 179}

• خط نيوتن
• القطع المخروطي ذو التسع نقاط
• رباعي
• Wirtinger sextic

• كوكسيتر، إتش إس إم (1987). الهندسة الإسقاطية، الطبعة الثانية . سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 0-387-96532-7.
• هارتشورن، روبن (1967). أسس الهندسة الإسقاطية . دبليو إيه بنجامين. ص 53-56 . 
• لاكلان، روبرت (1893). رسالة تمهيدية في الهندسة البحتة الحديثة . لندن، نيويورك: ماكميلان وشركاه.رابط من سلسلة دراسات الرياضيات التاريخية بجامعة كورنيل . انظر تحديداً إلى التتراستيغم، صفحة 85، والتتراغرام، صفحة 90.
• ويلز، ديفيد (1991). قاموس بنغوين للهندسة الغريبة والمثيرة للاهتمام . بنغوين. الصفحات 35-36 . ISBN  0-14-011813-6.

• "المربع الكامل" . موسوعة الرياضيات . مطبعة EMS. 2001 [1994].
• بوغومولني، ألكسندر . "الرباعي الكامل" . كت ذا نوت .
• وايسستين، إريك دبليو. “الرباعي الكامل” . عالم الرياضيات .