عنصر عادي

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُطلق على عنصر من عناصر الجبر النجمي اسم عنصر عادي إذا كان يتبادل مع العنصر المرافق له. [ 1 ]

تعريف

يتركأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}كن عنصرًا من عناصر الجبر النجمي.أ∈أ{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}يُطلق عليه اسم طبيعي إذا كان يسير معأ*{\displaystyle a^{*}}أي أنها تحقق المعادلةأأ*=أ*أ{\displaystyle aa^{*}=a^{*}a}[ 1 ]​

يُرمز إلى مجموعة العناصر العادية بـأشمال{\displaystyle {\mathcal {A}}_{N}}أوشمال(أ){\displaystyle N({\mathcal {A}})}.

ومن الحالات الخاصة ذات الأهمية الخاصة الحالة التيأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}هي جبر معياري كامل من النوع * ، يحقق متطابقة C* (‖أ*أ‖=‖أ‖2 ∀أ∈أ\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}})، وهو ما يسمى بالجبر C* .

أمثلة

معايير

يتركأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}ليكن جبرًا من النوع *-. إذن:

  • عنصرأ∈أ{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}يكون طبيعيًا إذا وفقط إذا كانت الجبر الفرعي *- الناتج بواسطةأ{\displaystyle a}، أي أصغر جبر * يحتويأ{\displaystyle a}، هي عملية تبديلية. [ 2 ]
  • كل عنصرأ∈أ{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}يمكن تحليلها بشكل فريد إلى جزء حقيقي وجزء تخيلي ، مما يعني وجود عناصر ذاتية الترافقأ1،أ2∈أsأ{\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}بحيثأ=أ1+أناأ2{\displaystyle a=a_{1}+\mathrm {i} a_{2}}، أينأنا{\displaystyle \mathrm {i} }يرمز إلى الوحدة التخيلية . بالضبط إذنأ{\displaystyle a}هذا طبيعي إذاأ1أ2=أ2أ1{\displaystyle a_{1}a_{2}=a_{2}a_{1}}أي أن الجزء الحقيقي والجزء التخيلي يتبادلان. [ 1 ]

ملكيات

في الجبر النجمي

يتركأ∈أشمال{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}ليكن عنصرًا طبيعيًا في جبر *أ{\displaystyle {\mathcal {A}}}. ثم:

  • العنصر المرافقأ*{\displaystyle a^{*}}وهذا أمر طبيعي أيضاً، لأنأ=(أ*)*{\displaystyle a=(a^{*})^{*}}ينطبق على الانعكاس *. [ 4 ]

في جبر C*

يتركأ∈أشمال{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}ليكن عنصرًا طبيعيًا في جبر C*أ{\displaystyle {\mathcal {A}}}. ثم:

  • إنها‖أ2‖=‖أ‖2{\displaystyle \left\|a^{2}\right\|=\left\|a\right\|^{2}}، لأنه بالنسبة للعناصر العادية باستخدام هوية C*‖أ2‖2=‖(أ2)(أ2)*‖=‖(أ*أ)*(أ*أ)‖=‖أ*أ‖2=(‖أ‖2)2\displaystyle \left\|a^{2}\right\|^{2}=\left\|(a^{2})(a^{2})^{*}\right\|=\left\|(a^{*}a)^{*}(a^{*}a)\right\|=\left\|a^{*}a\right\|^{2}=\left(\left\|a\right\|^{2}\right)^{2}}يحمل. [ 5 ]
  • كل عنصر طبيعي هو عنصر شبه طبيعي، أي نصف القطر الطيفير(أ){\displaystyle r(a)}يساوي معيارأ{\displaystyle a}، أير(أ)=‖أ‖{\displaystyle r(a)=\left\|a\right\|}[ 6 ] وينتج هذا عن صيغة نصف القطر الطيفي من خلال التطبيق المتكرر للخاصية السابقة. [ 7 ]
  • يمكن تطوير حساب دالي متصل يسمح - ببساطة - بتطبيق الدوال المتصلة على طيفأ{\displaystyle a}لأ{\displaystyle a}[ 3 ]​

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2 3 4 Dixmier 1977 ، ص. 4.
  2. 1 2 Dixmier 1977 ، ص. 5.
  3. 1 2 Dixmier 1977 ، ص. 13.
  4. ↑ ديكسمير 1977 ، ص 3-4.
  5. ↑ فيرنر 2018 ، ص 518.
  6. ↑ هيوزر 1982 ، ص 390.
  7. ↑ فيرنر 2018 ، ص 284-285، 518.

مراجع

  • ديكسمير، جاك (1977). جبر C* . ترجمة جيليت، فرانسيس. أمستردام/نيويورك/أكسفورد: نورث هولاند. ISBN 0-7204-0762-1.الترجمة الإنجليزية لـ Les C*-algèbres et leurspresentations (بالفرنسية). غوتييه فيلارز. 1969.
  • هيوزر، هارو (1982). التحليل الوظيفي . ترجمة هورفاث، جون. جون وايلي وأولاده المحدودة. ISBN 0-471-10069-2.
  • ويرنر ، ديرك (2018). التحليل الوظيفي (باللغة الألمانية) (8  ed.). سبرينغر. رقم ISBN 978-3-662-55407-4.