مشغل عادي

في الرياضيات ، وخاصة التحليل الوظيفي ، المؤثر الطبيعي على فضاء هيلبرت المركب${\displaystyle H}$هو مؤثر خطي متصل${\displaystyle N\colon H\rightarrow H}$التي تتنقل مع رفيقها الهرميتي${\displaystyle N^{\ast }}$، إنه:${\displaystyle N^{\ast }N=NN^{\ast }}$[ ^{1 ]​}

تُعدّ المؤثرات العادية مهمة لأن نظرية الطيف تنطبق عليها. فئة المؤثرات العادية مفهومة جيدًا. ومن أمثلة المؤثرات العادية:

• المؤثرات الوحدوية :${\displaystyle U^{\ast }=U^{-1}}$
• المؤثرات الهرميتية (أي المؤثرات الذاتية المرافقة):${\displaystyle N^{\ast }=N}$
• المؤثرات الهرميتية المنحرفة :${\displaystyle N^{\ast }=-N}$
• العوامل الإيجابية :${\displaystyle N=M^{\ast }M}$بالنسبة للبعض${\displaystyle M}$(إذن N هي مجموعة ذاتية الترافق).

المصفوفة العادية هي التعبير المصفوفي لمؤثر عادي على فضاء هيلبرت${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

تتميز المؤثرات العادية بنظرية الطيف . المؤثر العادي المضغوط (على وجه الخصوص، المؤثر العادي على فضاء الضرب الداخلي ذي الأبعاد المحدودة ) قابل للتقطير الوحدوي . ^{[ 2 ]}

يترك${\displaystyle T}$ليكن عاملاً محدوداً. ما يلي متكافئ.

• ${\displaystyle T}$هذا طبيعي.
• ${\displaystyle T^{\ast }}$هذا طبيعي.
• ${\displaystyle \|Tx\|=\|T^{\ast }x\|}$للجميع${\displaystyle x}$(يستخدم${\displaystyle \|Tx\|^{2}=\langle T^{\ast }Tx,x\rangle =\langle TT^{*}x,x\rangle =\|T^{\ast }x\|^{2}}$).
• الأجزاء المترافقة ذاتيًا والأجزاء المترافقة ذاتيًا المضادة لـ${\displaystyle T}$التنقل. هذا إذا${\displaystyle T}$تُكتب على النحو التالي:${\displaystyle T=T_{1}+iT_{2}}$مع${\displaystyle T_{1}:={\frac {T+T^{*}}{2}}}$و${\displaystyle i\,T_{2}:={\frac {TT^{*}}{2}},}$ثم${\displaystyle T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.}$^{[ ملاحظة 1 ]}

لو${\displaystyle N}$إذا كان عاملًا طبيعيًا محدودًا،${\displaystyle N}$و${\displaystyle N^{*}}$لها نفس النواة ونفس المدى. وبالتالي، فإن مدى${\displaystyle N}$تكون كثيفة إذا وفقط إذا${\displaystyle N}$هي دالة أحادية. بعبارة أخرى، نواة المؤثر العادي هي المتمم المتعامد لمدى هذا المؤثر. ويترتب على ذلك أن نواة المؤثر${\displaystyle N^{k}}$يتوافق مع ذلك الخاص بـ${\displaystyle N}$لأي${\displaystyle k.}$وبالتالي فإن كل قيمة ذاتية معممة لمؤثر عادي هي قيمة حقيقية.${\displaystyle \lambda }$هي قيمة ذاتية لمؤثر عادي${\displaystyle N}$إذا وفقط إذا كان مرافقها المركب${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$هي قيمة ذاتية لـ${\displaystyle N^{*}.}$تكون المتجهات الذاتية للمؤثر الطبيعي، المناظرة للقيم الذاتية المختلفة، متعامدة، ويُثبّت المؤثر الطبيعي المتمم المتعامد لكل فضاء من فضاءاته الذاتية. ^{[ 3 ]} وهذا يستلزم نظرية الطيف المعتادة: كل مؤثر طبيعي على فضاء محدود الأبعاد قابل للتقطير بواسطة مؤثر وحدوي. وهناك أيضًا صيغة غير محدودة الأبعاد لنظرية الطيف مُعبَّر عنها بدلالة مقاييس ذات قيم إسقاطية . ويكون الطيف المتبقي للمؤثر الطبيعي فارغًا. ^{[ 3 ]}

إن حاصل ضرب المؤثرات العادية التي تتبادل هو أيضاً مؤثرات عادية؛ وهذا ليس بالأمر التافه، ولكنه يتبع مباشرة من نظرية فوجليد ، التي تنص (بصيغة عممها بوتنام):

لو${\displaystyle N_{1}}$و${\displaystyle N_{2}}$هم مشغلون عاديون وإذا${\displaystyle A}$هو مؤثر خطي محدود بحيث${\displaystyle N_{1}A=AN_{2},}$ثم${\displaystyle N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}}$.

معيار المؤثر العادي يساوي نصف قطره العددي ونصف قطره الطيفي .

يتطابق المؤثر العادي مع تحويله التراكمي .

إذا كان المؤثر الطبيعي T على فضاء هيلبرت حقيقي أو مركب محدود الأبعاد (فضاء الضرب الداخلي) H يثبت فضاءً جزئياً V ، فإنه يثبت أيضاً مكمله المتعامد V ^⊥ . (هذه العبارة بديهية في حالة كون T ذاتي الترافق).

البرهان . ليكن PV الإسقاط المتعامد على V. إذن _، الإسقاط المتعامد على V⊥ هو 1/ ^H _- PV . _يمكن التعبير عن حقيقة أن T تُثبّت V بالصيغة ( 1 _/ H - PV ) TPV = 0 _، أو TPV ₌ PVTPV . _الهدف هو إثبات _أن PVT ( 1 / _{H - PV} ) = ₀ .

ليكن X = P _V T ( 1 _H − P _V ). بما أن ( A , B ) ↦ tr( AB* ) هو جداء داخلي على فضاء التشكلات الداخلية لـ H ، يكفي إثبات أن tr( XX* ) = 0. يُلاحظ أولاً أن

${\displaystyle {\begin{aligned}XX^{*}&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})^{2}T^{*}P_{V}\\&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})T^{*}P_{V}\\&=P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}.\end{aligned}}}$

والآن، باستخدام خصائص الأثر والإسقاطات المتعامدة، لدينا:

${\displaystyle {\begin{align}\operatorname {tr} (XX^{*})&=\operatorname {tr} \left(P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}\right)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*}P_{V})-\operatorname {tr} (P_ {V}TP_{V}T^{*}P_{V})\\&=\اسم المشغل {tr} (P_{V}^{2}TT^{*})-\اسم المشغل {tr} (P_{V}^{2}TP_{V}T^{*})\\&=\اسم المشغل {tr} (P_{V}TT^{*})-\اسم المشغل {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*})\\&=\اسم المشغل {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (TP_{V}T^{*})&&{\text{باستخدام فرضية أن }}T{\text{ تُثبّت }}V\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}T^{*}T)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}(TT^{*}-T^{*}T))\\&=0.\end{aligned}}}$

ينطبق نفس المنطق على المؤثرات الطبيعية المدمجة في فضاءات هيلبرت اللانهائية الأبعاد، حيث يُستخدم جداء هيلبرت-شميدت الداخلي ، المعرّف بواسطة tr( AB* ) بتفسير مناسب. ^{[ 4 ]} مع ذلك، بالنسبة للمؤثرات الطبيعية المحدودة، قد لا يكون المتمم المتعامد لفضاء فرعي مستقر مستقرًا. ^{[ 5 ]} ويترتب على ذلك أن فضاء هيلبرت لا يمكن عمومًا أن يمتد بواسطة المتجهات الذاتية لمؤثر طبيعي. لنأخذ على سبيل المثال الإزاحة الثنائية (أو الإزاحة ذات الجانبين) التي تؤثر على${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$وهذا أمر طبيعي، ولكن ليس له قيم ذاتية.

تتميز الفضاءات الفرعية الثابتة لإزاحة تؤثر على فضاء هاردي بنظرية بورلينغ .

يتعمم مفهوم المؤثرات العادية إلى جبر انعكاسي:

عنصر${\displaystyle x}$يُقال إن الجبر الانعكاسي طبيعي إذا${\displaystyle x^{\ast }x=xx^{\ast }}$.

العناصر المترافقة ذاتيًا والعناصر الوحدوية هي عناصر طبيعية.

الحالة الأكثر أهمية هي عندما يكون هذا الجبر جبرًا من نوع C* .

يمكن تعميم تعريف المؤثرات العادية بشكل طبيعي ليشمل فئة من المؤثرات غير المحدودة. وبالتحديد، يُقال إن المؤثر المغلق N عادي إذا

${\displaystyle N^{*}N=NN^{*}.}$

هنا، يتطلب وجود المرافق N* أن يكون مجال N كثيفًا، وتشمل المساواة التأكيد على أن مجال N*N يساوي مجال NN* ، وهو ليس بالضرورة هو الحال بشكل عام.

وبالمثل، فإن المؤثرات العادية هي تلك التي يكون فيها ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \|Nx\|=\|N^{*}x\|\qquad }$

مع

${\displaystyle {\mathcal {D}}(N)={\mathcal {D}}(N^{*}).}$

لا تزال نظرية الطيف سارية المفعول بالنسبة للمؤثرات غير المحدودة (العادية). وتعتمد البراهين على الاختزال إلى المؤثرات المحدودة (العادية). ^{[ 7 ] [ 8 ]}

أدى نجاح نظرية المؤثرات العادية إلى عدة محاولات لتعميمها عن طريق تخفيف شرط التبديل. فئات المؤثرات التي تشمل المؤثرات العادية هي (مرتبة حسب الشمول):

• المؤثرات شبه الطبيعية
• نورمالويدز
• مشغلو الظواهر الخارقة
• المؤثرات شبه الطبيعية
• المشغلون دون المستوى الطبيعي

• المؤثر الخطي المتصل – دالة بين فضاءات المتجهات الطوبولوجية 
• الانكماش (نظرية المؤثرات) – مؤثرات محدودة ذات معيار وحدة فرعية