مقياس ذو قيمة إسقاطية

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 75 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وخاصة في التحليل الوظيفي ، يُعرف المقياس ذو القيم الإسقاطية ، أو المقياس الطيفي ، بأنه دالة مُعرَّفة على مجموعات جزئية مُحدَّدة من مجموعة ثابتة، وتكون قيمها إسقاطات ذاتية الترافق على فضاء هيلبرت ثابت . [ 1 ] يُشابه المقياس ذو القيم الإسقاطية (PVM) شكليًا المقياس ذو القيم الحقيقية ، باستثناء أن قيمه إسقاطات ذاتية الترافق وليست أعدادًا حقيقية. وكما هو الحال مع المقاييس العادية، يُمكن تكامل الدوال ذات القيم المركبة بالنسبة إلى المقياس ذي القيم الإسقاطية؛ وتكون نتيجة هذا التكامل مُؤثرًا خطيًا على فضاء هيلبرت المُعطى.

تُستخدم المقاييس ذات القيم الإسقاطية للتعبير عن نتائج نظرية الطيف ، مثل نظرية الطيف المهمة للمؤثرات ذاتية الترافق ، وفي هذه الحالة يُشار أحيانًا إلى المقياس ذي القيم الإسقاطية باسم المقياس الطيفي . يُبنى حساب بوريل الوظيفي للمؤثرات ذاتية الترافق باستخدام التكاملات المتعلقة بالمقاييس ذات القيم الإسقاطية. في ميكانيكا الكم ، تُعد المقاييس ذات القيم الإسقاطية الوصف الرياضي للقياسات الإسقاطية . ويتم تعميمها بواسطة المقاييس ذات القيم الموجبة للمؤثرات ، بنفس المعنى الذي تُعمم به مصفوفة الحالة المختلطة أو مصفوفة الكثافة مفهوم الحالة النقية .

تعريف

يتركح{\displaystyle H}يرمز إلى فضاء هيلبرت المركب القابل للفصل و (X،م){\displaystyle (X,M)}مساحة قابلة للقياس تتكون من مجموعةX{\displaystyle X}وجبر بوريل سيجمام{\displaystyle M}علىX{\displaystyle X}مقياس ذو قيمة إسقاطيةπ{\displaystyle \pi }هي خريطة منم{\displaystyle M}إلى مجموعة المؤثرات الذاتية المرافقة المحدودة علىح{\displaystyle H}تحقيق الخصائص التالية: [ 2 ] [ 3 ]

  • π(هـ){\displaystyle \pi (E)}هو إسقاط متعامد لجميعهـ∈م.{\displaystyle E\in M.}
  • π(∅)=0{\displaystyle \pi (\emptyset )=0}وπ(X)=أنا{\displaystyle \pi (X)=I}، أين∅{\displaystyle \emptyset }هي المجموعة الفارغة وأنا{\displaystyle I}عامل الهوية .
  • لوهـ1،هـ2،هـ3،...{\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\dotsc }فيم{\displaystyle M}إذا كانت منفصلة، ​​فبالنسبة للجميعv∈ح{\displaystyle v\in H}،
π(⋃ج=1∞هـج)v=∑ج=1∞π(هـج)v.{\displaystyle \pi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty}E_{j}\right)v=\sum _{j=1}^{\infty }\pi (E_{j})v.}
  • π(هـ1∩هـ2)=π(هـ1)π(هـ2){\displaystyle \pi (E_{1}\cap E_{2})=\pi (E_{1})\pi (E_{2})}للجميعهـ1،هـ2∈م.{\displaystyle E_{1},E_{2}\in M.}

الخاصية الرابعة هي نتيجة للخاصيتين الأولى والثالثة. [ 4 ] تُظهر الخاصيتان الثانية والرابعة أنه إذاهـ1{\displaystyle E_{1}}وهـ2{\displaystyle E_{2}}منفصلة، ​​أيهـ1∩هـ2=∅{\displaystyle E_{1}\cap E_{2}=\emptyset }الصورπ(هـ1){\displaystyle \pi (E_{1})}وπ(هـ2){\displaystyle \pi (E_{2})}متعامدتان مع بعضهما البعض.

يتركVهـ=أنا⁡(π(هـ)){\displaystyle V_{E}=\operatorname {im} (\pi (E))}ومكملها المتعامدVهـ⊥=كير⁡(π(هـ)){\displaystyle V_{E}^{\perp }=\ker(\pi (E))}يرمز إلى الصورة والنواة ، على التوالي، لـπ(هـ){\displaystyle \pi (E)}. لوVهـ{\displaystyle V_{E}}هو فضاء جزئي مغلق منح{\displaystyle H}ثمح{\displaystyle H}يمكن كتابتها على أنها التفكيك المتعامدح=Vهـ⊕Vهـ⊥{\displaystyle H=V_{E}\oplus V_{E}^{\perp }}وπ(هـ)=أناهـ{\displaystyle \pi (E)=I_{E}}هو عامل الهوية الفريد علىVهـ{\displaystyle V_{E}}تحقيق جميع الخصائص الأربع. [ 5 ] [ 6 ]

لكلξ،η∈ح{\displaystyle \xi ,\eta \in H}وهـ∈م{\displaystyle E\in M}يشكل المقياس ذو القيمة الإسقاطية مقياسًا ذا قيمة مركبة علىح{\displaystyle H}يُعرَّف بأنه

μξ،η(هـ):=⟨π(هـ)ξ|η⟩{\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \eta \rangle }

مع اختلاف إجمالي على الأكثر‖ξ‖‖η‖{\displaystyle \|\xi \|\|\eta \|}[ 7 ] يختزل إلى مقياس ذي قيمة حقيقية عندما

μξ(هـ):=⟨π(هـ)ξ|ξ⟩{\displaystyle \mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \xi \rangle }

ومقياس احتمالية عندماξ{\displaystyle \xi }هو متجه وحدة .

مثال: ليكن(X،م،μ){\displaystyle (X,M,\mu )}ليكن فضاء قياس محدودًا من النوع σ ، ولكلهـ∈م{\displaystyle E\in M}، يترك

π(هـ):ل2(X)→ل2(X){\displaystyle \pi (E):L^{2}(X)\to L^{2}(X)}

يُعرَّف بأنه

ψ↦π(هـ)ψ=1هـψ،{\displaystyle \psi \mapsto \pi (E)\psi =1_{E}\psi ,}

أي، كعملية ضرب في دالة المؤشر1هـ{\displaystyle 1_{E}}على L 2 ( X ) . ثمπ(هـ)=1هـ{\displaystyle \pi (E)=1_{E}}يُعرّف مقياسًا ذا قيمة إسقاطية. [ 7 ] على سبيل المثال، إذاX=R{\displaystyle X=\mathbb {R} }،هـ=(0،1){\displaystyle E=(0,1)}، وφ،ψ∈ل2(R){\displaystyle \varphi ,\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}ثم هناك المقياس المعقد المرتبط بهμφ،ψ{\displaystyle \mu _{\varphi ,\psi }}والتي تأخذ وظيفة قابلة للقياسو:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }ويعطي التكامل

∫هـودμφ،ψ=∫01و(x)ψ(x)φ¯(x)دx{\displaystyle \int _{E}f\,d\mu _{\varphi ,\psi }=\int _{0}^{1}f(x)\psi (x){\overline {\varphi }}(x)\,dx}

امتدادات المقاييس ذات القيم المتوقعة

إذا كانت π مقياسًا ذا قيم إسقاطية على فضاء قابل للقياس ( X , M )، فإن الخريطة

χهـ↦π(هـ){\displaystyle \chi _{E}\mapsto \pi (E)}

يمتد هذا التطبيق إلى دالة خطية على فضاء المتجهات للدوال المتدرجة على X. في الواقع، من السهل التحقق من أن هذا التطبيق هو تشاكل حلقي . يمتد هذا التطبيق بطريقة قياسية إلى جميع الدوال القابلة للقياس ذات القيم العقدية المحدودة على X ، ولدينا ما يلي.

نظرية — لأي دالة بوريل محدودةو{\displaystyle f}علىX{\displaystyle X}يوجد مؤثر محدود فريدتي:ح→ح{\displaystyle T:H\to H}بحيث [ 8 ] [ 9 ]

⟨تيξ|ξ⟩=∫Xو(λ)دμξ(λ)،∀ξ∈ح.{\displaystyle \langle T\xi \mid \xi \rangle =\int _{X}f(\lambda )\,d\mu _{\xi }(\lambda ),\quad \forall \xi \in H.}

أينμξ{\displaystyle \mu _{\xi }}هو مقياس بوريل محدود معطى بواسطة

μξ(هـ):=⟨π(هـ)ξ|ξ⟩،∀هـ∈م.{\displaystyle \mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \xi \rangle ,\quad \forall E\in M.}

لذلك،(X،م،μ){\displaystyle (X,M,\mu )}هو فضاء قياس محدود .

تنطبق هذه النظرية أيضًا على الدوال القابلة للقياس غير المحدودة.و{\displaystyle f}لكن بعد ذلكتي{\displaystyle T}سيكون مؤثرًا خطيًا غير محدود على فضاء هيلبرتح{\displaystyle H}.

نظرية الطيف

يتركح{\displaystyle H}ليكن فضاء هيلبرت معقد قابل للفصل ،أ:ح→ح{\displaystyle A:H\to H}ليكن مؤثرًا ذاتيًا محدودًا وσ(أ){\displaystyle \sigma (A)}طيف​​أ{\displaystyle A}ثم تنص نظرية الطيف على وجود مقياس فريد ذي قيمة إسقاطيةπأ{\displaystyle \pi ^{A}}، معرفة على مجموعة فرعية من بوريلهـ⊂σ(أ){\displaystyle E\subset \sigma (A)}بحيث أ=∫σ(أ)λدπأ(λ)،{\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,d\pi ^{A}(\lambda ),} وπأ(هـ){\displaystyle \pi ^{A}(E)}يُطلق عليه اسم الإسقاط الطيفي لـأ{\displaystyle A}[ 3 ] [ 10 ] يمتد التكامل إلى دالة غير محدودةλ{\displaystyle \lambda }عندما يكون طيفأ{\displaystyle A}غير محدود. [ 11 ]

تسمح لنا نظرية الطيف بتعريف حساب بوريل الوظيفي لأي دالة قابلة للقياس وفقًا لبوريلز:R→ج{\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }من خلال التكامل فيما يتعلق بالمقياس ذي القيمة الإسقاطيةπأ{\displaystyle \pi ^{A}}: ز(أ):=∫Rز(λ)دπأ(λ).{\displaystyle g(A):=\int _{\mathbb {R} }g(\lambda )\,d\pi ^{A}(\lambda ).} وينطبق بناء مماثل على المؤثرات العادية والوظائف القابلة للقياسز:ج→ج{\displaystyle g:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }.

التكاملات المباشرة

نقدم أولًا مثالًا عامًا على القياس ذي القيم الإسقاطية القائم على التكاملات المباشرة . لنفترض أن ( X , M , μ) فضاء قياس، ولتكن { Hx } ، حيث x ∈ X ، عائلة قابلة للقياس μ من فضاءات هيلبرت المنفصلة. لكل E ∈ M ، ليكن π ( E ) مؤثر الضرب في 1/ E على فضاء هيلبرت.

∫X⊕حx دμ(x).{\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}

إذن π هو مقياس ذو قيمة إسقاطية على ( X ، M ).

لنفترض أن π و ρ مقياسان ذوا قيم إسقاطية على ( X , M ) بقيم في إسقاطات H و K. يكون π و ρ متكافئين وحدويًا إذا وفقط إذا كان هناك مؤثر وحدوي U : H → K بحيث

π(هـ)=يو*ρ(هـ)يو{\displaystyle \pi (E)=U^{*}\rho (E)U\quad }

لكل E ∈ M .

نظرية . إذا كان ( X , M ) فضاء بوريل قياسيًا ، فإنه لكل مقياس π ذي قيم إسقاطية على ( X , M ) يأخذ قيمًا في إسقاطات فضاء هيلبرت قابل للفصل ، يوجد مقياس بوريل μ وعائلة فضاءات هيلبرت قابلة للقياس بـ μ { Hx } x ∈ X ، بحيث يكون π مكافئًا وحدويًا للضرب في 1/ E على فضاء هيلبرت

∫X⊕حx دμ(x).{\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}

إن فئة القياس لـ μ وفئة تكافؤ القياس لدالة التعددية x → dim H x تحدد بشكل كامل القياس ذي القيم الإسقاطية حتى التكافؤ الوحدوي.

تكون المقاييس ذات القيم الإسقاطية π متجانسة من حيث التعددية n إذا وفقط إذا كانت دالة التعددية لها قيمة ثابتة n . من الواضح،

نظرية . أي مقياس π ذو قيم إسقاطية يأخذ قيمًا في إسقاطات فضاء هيلبرت قابل للفصل هو مجموع مباشر متعامد لمقاييس متجانسة ذات قيم إسقاطية:

π=⨁1≤ن≤ω(π|حن){\displaystyle \pi =\bigoplus _{1\leq n\leq \omega }(\pi \mid H_{n})}

أين

حن=∫Xن⊕حx د(μ|Xن)(x){\displaystyle H_{n}=\int _{X_{n}}^{\oplus }H_{x}\ d(\mu \mid X_{n})(x)}

و

Xن={x∈X:خافت⁡حx=ن}.{\displaystyle X_{n}=\{x\in X:\dim H_{x}=n\}.}

التطبيق في ميكانيكا الكم

في ميكانيكا الكم، بالنظر إلى مقياس ذي قيمة إسقاطية لفضاء قابل للقياسX{\displaystyle X}إلى فضاء التشكلات الداخلية المستمرة على فضاء هيلبرتح{\displaystyle H}،

  • الفضاء الإسقاطيP(ح){\displaystyle \mathbf {P} (H)}من فضاء هيلبرتح{\displaystyle H}يُفسر على أنه مجموعة الحالات الممكنة ( القابلة للتطبيع ).φ{\displaystyle \varphi }لنظام كمي، [ 12 ]
  • المساحة القابلة للقياسX{\displaystyle X}يمثل فضاء القيم لبعض الخصائص الكمومية للنظام (مادة قابلة للملاحظة).
  • المقياس ذو القيمة المتوقعةπ{\displaystyle \pi }يعبر عن احتمالية أن تأخذ الكمية القابلة للملاحظة قيماً مختلفة.

خيار شائع لـX{\displaystyle X}هو الخط الحقيقي، ولكنه قد يكون أيضًا

  • R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}(للموضع أو الزخم في ثلاثة أبعاد)،
  • مجموعة منفصلة (للزخم الزاوي، طاقة الحالة المقيدة، إلخ)،
  • مجموعة النقطتين "صحيح" و"خطأ" لقيمة الصواب لمقولة عشوائية حولφ{\displaystyle \varphi }.

يتركهـ{\displaystyle E}أن تكون مجموعة فرعية قابلة للقياس منX{\displaystyle X}وφ{\displaystyle \varphi }حالة كمومية متجهة مُعَيَّرة فيح{\displaystyle H}بحيث يكون معيار هيلبرت الخاص به وحدوياً،‖φ‖=1{\displaystyle \|\varphi \|=1}احتمال أن تأخذ الكمية القابلة للملاحظة قيمتها فيهـ{\displaystyle E}، بالنظر إلى النظام في الحالةφ{\displaystyle \varphi }، يكون

Pπ(φ)(هـ)=⟨φ|π(هـ)(φ)⟩=⟨φ|π(هـ)|φ⟩.{\displaystyle P_{\pi }(\varphi )(E)=\langle \varphi \mid \pi (E)(\varphi )\rangle =\langle \varphi \mid \pi (E)\mid \varphi \rangle .}

يمكننا تحليل هذا بطريقتين. أولاً، لكل قيمة ثابتةهـ{\displaystyle E}، الإسقاطπ(هـ){\displaystyle \pi (E)}هو مؤثر ذاتي الترافق علىح{\displaystyle H}والتي تمثل فضاءاتها الذاتية من الدرجة 1 الحالاتφ{\displaystyle \varphi }والتي تكمن فيها قيمة الملاحظ دائمًا فيهـ{\displaystyle E}، والتي تمثل فضاءاتها الذاتية الصفرية الحالاتφ{\displaystyle \varphi }والتي لا تكمن قيمة الملاحظ فيها أبدًا فيهـ{\displaystyle E}.

ثانيًا، لكل حالة متجهة معيارية ثابتةφ{\displaystyle \varphi }الجمعية

Pπ(φ):هـ↦⟨φ|π(هـ)φ⟩{\displaystyle P_{\pi }(\varphi ):E\mapsto \langle \varphi \mid \pi (E)\varphi \rangle }

هو مقياس احتمالي علىX{\displaystyle X}تحويل قيم المتغير القابل للملاحظة إلى متغير عشوائي.

قياس يمكن إجراؤه بواسطة مقياس ذي قيمة إسقاطيةπ{\displaystyle \pi }يُطلق عليه اسم القياس الإسقاطي .

لوX{\displaystyle X}هو خط الأعداد الحقيقية، يوجد، مرتبط بـπ{\displaystyle \pi }، مؤثر ذاتي الترافقأ{\displaystyle A}محدد فيح{\displaystyle H}بواسطة

أ(φ)=∫Rλدπ(λ)(φ)،{\displaystyle A(\varphi )=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\pi (\lambda )(\varphi ),}

والذي يختزل إلى

أ(φ)=∑أناλأناπ(λأنا)(φ){\displaystyle A(\varphi )=\sum _{i}\lambda _{i}\pi ({\lambda _{i}})(\varphi )}

إذا كان الدعم منπ{\displaystyle \pi }هي مجموعة فرعية منفصلة منX{\displaystyle X}.

المشغل المذكور أعلاهأ{\displaystyle A}يُطلق عليه اسم المتغير القابل للملاحظة المرتبط بالمقياس الطيفي.

التعميمات

تُعمَّم فكرة المقياس ذي القيمة الإسقاطية بواسطة المقياس ذي القيمة المؤثرة الموجبة (POVM)، حيث يُستعاض عن شرط التعامد الذي تفرضه المؤثرات الإسقاطية بفكرة مجموعة من المؤثرات التي تُشكِّل "تقسيمًا للوحدة" غير متعامد، أي مجموعة من المؤثرات الهرميتية شبه الموجبة التي مجموعها يساوي عنصر الوحدة. وقد استُلهم هذا التعميم من تطبيقات نظرية المعلومات الكمومية .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ كونواي 2000 ، ص 41.
  2. ↑ هول 2013 ، ص 138.
  3. 1 2 ريد وسيمون 1980 ، ص 234.
  4. ↑ ريد وسيمون 1980 ، ص 235.
  5. ↑ رودين 1991 ، ص 308.
  6. ↑ هول 2013 ، ص 541.
  7. 1 2 كونواي 2000 ، ص. 42.
  8. ↑ كوالسكي، إيمانويل (2009)، النظرية الطيفية في فضاءات هيلبرت (ملف PDF) ، ملاحظات محاضرات جامعة ETH زيورخ، ص  50
  9. ↑ ريد وسيمون 1980 ، ص 227،235.
  10. ↑ هول 2013 ، ص 125، 141.
  11. ↑ هول 2013 ، ص 205.
  12. ↑ Ashtekar & Schilling 1999 ، ص 23-65.

مراجع

  • أشتيكار، أبهاي؛ شيلينغ، تروي أ. (1999). "الصياغة الهندسية لميكانيكا الكم". على خطى أينشتاين . نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. arXiv : gr-qc/9706069 . doi : 10.1007/978-1-4612-1422-9_3 . ISBN 978-1-4612-7137-6.
  • كونواي، جون ب. (2000). دورة في نظرية المؤثرات . بروفيدنس (رود آيلاند): الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0-8218-2065-0.
  • هول، برايان سي. (2013). نظرية الكم للرياضيين . نيويورك: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-1-4614-7116-5.
  • ماكي، جي دبليو، نظرية تمثيلات المجموعة الوحدوية ، مطبعة جامعة شيكاغو، 1976
  • موريتي، فالتر (2017)، نظرية الأطياف وميكانيكا الكم: الأسس الرياضية لنظريات الكم، والتناظرات، ومقدمة في الصياغة الجبرية ، المجلد  110، سبرينغر، رمز Bibcode : 2017stqm.book.....M ، ISBN 978-3-319-70705-1
  • ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
  • ريد، م .؛ سيمون، ب. (1980). أساليب الفيزياء الرياضية الحديثة: المجلد 1: التحليل الوظيفي . دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-585050-6.
  • رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . بوسطن، ماساتشوستس: ماكجرو هيل للعلوم والهندسة والرياضيات. ISBN 978-0-07-054236-5.
  • شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
  • جي. تيشل ، الأساليب الرياضية في ميكانيكا الكم مع تطبيقات على مؤثرات شرودنغر ، https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ ، الجمعية الرياضية الأمريكية، 2009.
  • تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 . 
  • فاراداراجان، في إس، هندسة نظرية الكم المجلد 2، سبرينغر فيرلاغ، 1970.