فضاء هيلبرت الإسقاطي

في الرياضيات وأسس ميكانيكا الكم ، فضاء هيلبرت الإسقاطي أو فضاء الأشعة${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$فضاء هيلبرت معقد${\displaystyle H}$هي مجموعة فئات التكافؤ${\displaystyle [v]}$من المتجهات غير الصفرية${\displaystyle v\in H}$، لعلاقة التكافؤ${\displaystyle \sim }$على${\displaystyle H}$مقدم من

${\displaystyle w\sim v}$إذا وفقط إذا${\displaystyle v=\lambda w}$لبعض الأعداد المركبة غير الصفرية${\displaystyle \lambda }$.

هذا هو البناء المعتاد للإسقاط ، المطبق على فضاء هيلبرت المركب. ^{[ 1 ]} في ميكانيكا الكم، فئات التكافؤ${\displaystyle [v]}$ويُشار إليها أيضًا باسم الأشعة أو الأشعة الإسقاطية . كل شعاع إسقاطي من هذا القبيل هو نسخة من الأعداد المركبة غير الصفرية، والتي تُعتبر من الناحية الطوبولوجية مستوى ثنائي الأبعاد بعد إزالة نقطة واحدة.

تكمن الأهمية الفيزيائية لفضاء هيلبرت الإسقاطي في أنه في نظرية الكم ، تكون الدوال الموجية${\displaystyle \psi }$و${\displaystyle \lambda \psi }$تمثل نفس الحالة الفيزيائية ، لأي${\displaystyle \lambda \neq 0}$تنص قاعدة بورن على أنه إذا كان النظام ماديًا وقابلًا للقياس، فإن دالة الموجة الخاصة به لها معيار الوحدة .${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$وفي هذه الحالة تُسمى دالة موجية مُعَيَّرة . ولا يُحدِّد قيد المعيار الواحد بشكل كامل${\displaystyle \psi }$داخل الشعاع، لأن${\displaystyle \psi }$يمكن ضربها بأي${\displaystyle \lambda }$بقيمة مطلقة 1 ( مجموعة الدوائر )${\displaystyle U(1)}$(فعل) والحفاظ على وضعه الطبيعي. مثل هذا${\displaystyle \lambda }$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle \lambda =e^{i\phi }}$مع${\displaystyle \phi }$تسمى المرحلة العالمية .

الأشعة التي تختلف بمقدار${\displaystyle \lambda }$تتوافق مع نفس الحالة (انظر الحالة الكمومية (التعريف الجبري)) ، بالنظر إلى جبر C* للملاحظات وتمثيل على${\displaystyle H}$لا يمكن لأي قياس استعادة طور الشعاع؛ فهو غير قابل للملاحظة. يقول أحدهم أن${\displaystyle U(1)}$هي مجموعة قياس من النوع الأول.

لو${\displaystyle H}$إذا كان تمثيلاً غير قابل للاختزال لجبر الكميات القابلة للرصد، فإن الأشعة تُنتج حالات نقية . وتُنتج التراكيب الخطية المحدبة للأشعة بشكل طبيعي مصفوفة كثافة ، والتي (في حالة التمثيل غير القابل للاختزال أيضاً) تُقابل حالات مختلطة.

في هذه الحالة${\displaystyle H}$هو ذو أبعاد محدودة، أي${\displaystyle H=H_{n}}$، يختزل فضاء هيلبرت إلى فضاء جداء داخلي محدود الأبعاد ، ويمكن التعامل مع مجموعة الأشعة الإسقاطية كفضاء إسقاطي معقد ؛ وهو فضاء متجانس لمجموعة وحدوية${\displaystyle \mathrm {U} (ن)}$. إنه،

${\displaystyle \mathbf {P} (H_{n})=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}}$،

والذي يحمل مقياس كاهلر ، يسمى مقياس فوبيني-ستودي ، مشتق من معيار فضاء هيلبرت. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

وبالتالي، فإن إسقاط، على سبيل المثال، فضاء هيلبرت المركب ثنائي الأبعاد (الفضاء الذي يصف كيوبت واحد ) هو خط الإسقاط المركب${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$يُعرف هذا باسم كرة بلوخ أو، بشكل مكافئ، كرة ريمان . انظر إلى تليف هوبف لمزيد من التفاصيل حول بناء الإسقاط في هذه الحالة.

إنّ حاصل الضرب الديكارتي لفضاءات هيلبرت الإسقاطية ليس فضاءً إسقاطيًا. إنّ تطبيق سيغري هو تضمين لحاصل الضرب الديكارتي لفضاءين إسقاطيين في الفضاء الإسقاطي المرتبط بحاصل الضرب الموتري لفضاءي هيلبرت، كما هو مُعطى في${\displaystyle \mathbf {P} (H)\times \mathbf {P} (H')\to \mathbf {P} (H\otimes H'),([x],[y])\mapsto [x\otimes y]}$في نظرية الكم، يصف هذا المفهوم كيفية تكوين حالات النظام المركب من حالات مكوناته. وهو مجرد تضمين ، وليس تطبيقًا شاملاً؛ فمعظم فضاء حاصل الضرب الموتري لا يقع في صورته، ويمثل حالات متشابكة .

• الفضاء الإسقاطي المعقد
• التمثيل الإسقاطي
• الفضاء الإسقاطي ، بالنسبة للمفهوم بشكل عام

• أشتيكار، أبهاي؛ شيلينغ، تروي أ. (1999). "الصياغة الهندسية لميكانيكا الكم". على خطى أينشتاين . نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. arXiv : gr-qc/9706069 . doi : 10.1007/978-1-4612-1422-9_3 . ISBN 978-1-4612-7137-6.
• سيريللي، ر؛ لانزافيكيا، ب؛ مانيا، أ (1983). "الحالات النقية العادية لجبر فون نيومان للمؤثرات المحدودة كمتشعب كاهلر". مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة . 16 (16). دار نشر IOP: 3829-3835 . رمز Bibcode : 1983JPhA...16.3829C . doi : 10.1088/0305-4470/16/16/020 . ISSN 0305-4470 . 
• كونغ، أوتو سي دبليو؛ ليو، وي-ين (2021). "صورة إحداثيات غير تبادلية لفضاء الطور الكمومي". المجلة الصينية للفيزياء . 71. إلسيفير بي في: 418. arXiv : 1903.11962 . Bibcode : 2021ChJPh..71..418K . doi : 10.1016/j.cjph.2021.03.014 . S2CID 85543324 . 
• ميراندا، ريك (1995). المنحنيات الجبرية وأسطح ريمان . بروفيدنس (رود آيلاند): الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 0-8218-0268-2.