كرة ريمان

في الرياضيات ، تُعرف كرة ريمان ، نسبةً إلى برنارد ريمان ، ^{[ 1 ]} بأنها نموذج للمستوى العقدي الممتد (ويُسمى أيضًا المستوى العقدي المغلق ): وهو المستوى العقدي بالإضافة إلى نقطة واحدة عند اللانهاية . يُمثل هذا المستوى الممتد الأعداد العقدية الممتدة ، أي الأعداد العقدية بالإضافة إلى قيمة.${\displaystyle \infty }$بالنسبة إلى اللانهاية . باستخدام نموذج ريمان، النقطة${\displaystyle \infty }$يقترب من أعداد كبيرة جدًا، تمامًا كما هو الحال في النقطة${\displaystyle 0}$يقترب من أعداد صغيرة جدًا.

تُعد الأعداد المركبة الموسعة مفيدة في التحليل المركب لأنها تسمح بالقسمة على صفر في بعض الحالات، بطريقة تجعل تعابير مثل${\displaystyle 1/0=\infty }$ذات سلوك جيد . على سبيل المثال، يمكن تمديد أي دالة كسرية على المستوى المركب إلى دالة تحليلية على كرة ريمان، حيث تتجه أقطاب الدالة الكسرية إلى اللانهاية. وبشكل أعم، يمكن اعتبار أي دالة ميرومورفية دالة تحليلية مجالها المقابل هو كرة ريمان.

في الهندسة ، تُعدّ كرة ريمان المثال النموذجي لسطح ريمان ، وهي من أبسط المتشعبات المركبة . في الهندسة الإسقاطية ، تُعدّ الكرة مثالًا على الفضاء الإسقاطي المركب ، ويمكن اعتبارها خطًا إسقاطيًا مركبًا.${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$، الفضاء الإسقاطي لجميع الخطوط المعقدة في${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$كما هو الحال مع أي سطح ريمان مضغوط ، يمكن اعتبار الكرة أيضًا منحنى جبريًا إسقاطيًا ، مما يجعلها مثالًا أساسيًا في الهندسة الجبرية . كما أنها تُستخدم في تخصصات أخرى تعتمد على التحليل والهندسة، مثل كرة بلوخ في ميكانيكا الكم وفي فروع أخرى من الفيزياء .

تتكون الأعداد المركبة الموسعة من الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$مع${\displaystyle \infty }$يمكن كتابة مجموعة الأعداد المركبة الموسعة على النحو التالي:${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$وغالباً ما يُشار إليه بإضافة بعض الزخارف إلى الحرف${\displaystyle \mathbb {C} }$، مثل

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }},\quad {\overline {\mathbb {C} }},\quad {\text{or}}\quad \mathbb {C} _{\infty }.}$

الترميز${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$وقد استُخدمت أيضًا، ولكن نظرًا لأن هذه الصيغة تُستخدم أيضًا للمستوى المثقوب${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$^{[ 2 ]} قد يؤدي ذلك إلى الغموض.

هندسياً، تُعرف مجموعة الأعداد المركبة الممتدة باسم كرة ريمان (أو المستوى المركب الممتد).

باعتبارها متعددة شعب عقدية أحادية البعد ، يمكن وصف كرة ريمان بمخططين ، وكلاهما له نطاق يساوي مستوى الأعداد العقدية.${\displaystyle \mathbf {C} }$. يترك${\displaystyle \zeta }$ليكن عددًا مركبًا في نسخة واحدة من${\displaystyle \mathbf {C} }$ودع${\displaystyle \xi }$ليكن عددًا مركبًا في نسخة أخرى من${\displaystyle \mathbf {C} }$حدد كل عدد مركب غير صفري${\displaystyle \zeta }$من الأول${\displaystyle \mathbf {C} }$مع العدد المركب غير الصفري${\displaystyle 1/\xi }$من الثاني${\displaystyle \mathbf {C} }$ثم الخريطة

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$

يُطلق عليها اسم خريطة الانتقال بين النسختين من${\displaystyle \mathbf {C} }$—ما يُسمى بالمخططات—ربطها معًا. بما أن خرائط الانتقال هي خرائط شكلية ، فإنها تُعرّف فضاءً معقدًا، يُسمى كرة ريمان . وباعتباره فضاءً معقدًا ذا بُعد معقد واحد (أي بُعدين حقيقيين)، يُسمى أيضًا سطح ريمان .

بشكل بديهي، توضح خرائط الانتقال كيفية لصق مستويين معًا لتشكيل كرة ريمان. يتم لصق المستويين بطريقة "من الداخل إلى الخارج"، بحيث يتداخلان في كل مكان تقريبًا، حيث يساهم كل مستوى بنقطة واحدة فقط (أصله) مفقودة من المستوى الآخر. بعبارة أخرى، (تقريبًا) كل نقطة في كرة ريمان لها كل من${\displaystyle \zeta }$قيمة و أ${\displaystyle \xi }$القيمة، والقيمتان مرتبطتان بـ${\displaystyle \zeta =1/\xi }$النقطة التي${\displaystyle \xi =0}$كان ينبغي عليه إذن أن يكون${\displaystyle \zeta }$-قيمة "${\displaystyle 1/0}$«؛ بهذا المعنى، أصل${\displaystyle \xi }$يلعب المخطط دور${\displaystyle \infty }$في${\displaystyle \zeta }$-مخطط. بشكل متناظر، أصل${\displaystyle \zeta }$يلعب المخطط دور${\displaystyle \infty }$في${\displaystyle \xi }$-جدول.

من الناحية الطوبولوجية ، فإن الفضاء الناتج هو تكثيف نقطة واحدة لمستوى إلى كرة. ومع ذلك، فإن كرة ريمان ليست مجرد كرة طوبولوجية، بل هي كرة ذات بنية معقدة محددة جيدًا ، بحيث توجد حول كل نقطة على الكرة جوار يمكن تحديده ثنائيًا شكليًا .${\displaystyle \mathbf {C} }$.

من جهة أخرى، تنص نظرية التوحيد ، وهي نتيجة أساسية في تصنيف أسطح ريمان، على أن كل سطح ريمان بسيط الاتصال يكون ثنائي الشكل بالنسبة للمستوى المركب، أو المستوى الزائدي ، أو كرة ريمان. ومن بين هذه الأسطح، تُعد كرة ريمان السطح الوحيد المغلق ( سطحًا متراصًا بلا حدود ). وبالتالي، فإن الكرة ثنائية الأبعاد تقبل بنية مركبة فريدة، مما يحولها إلى فضاء مركب أحادي البعد.

يمكن تعريف كرة ريمان أيضًا بأنها الخط الإسقاطي المركب . ويمكن تعريف نقاط الخط الإسقاطي المركب على أنها فئات تكافؤ للمتجهات غير الصفرية في فضاء المتجهات المركب.${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$متجهان غير صفريين${\displaystyle (w,z)}$و${\displaystyle (u,v)}$تكون متكافئة إذا وفقط إذا${\displaystyle (w,z)=(\lambda u,\lambda v)}$ لبعض المعاملات غير الصفرية${\displaystyle \lambda \in \mathbf {C} }$.

في هذه الحالة، تُكتب فئة التكافؤ${\displaystyle [w,z]}$باستخدام الإحداثيات الإسقاطية . بالنظر إلى أي نقطة${\displaystyle [w,z]}$في خط الإسقاط المركب، أحد${\displaystyle w}$و${\displaystyle z}$يجب أن يكون غير صفري، على سبيل المثال${\displaystyle w\neq 0}$ثم، بناءً على مفهوم التكافؤ،${\displaystyle [w,z]=\left[1,z/w\right]}$، وهو موجود في مخطط لمتشعب كرة ريمان. ^{[ 3 ]}

يرتبط هذا الأسلوب في معالجة كرة ريمان ارتباطًا وثيقًا بالهندسة الإسقاطية. فعلى سبيل المثال، أي خط (أو قطع مخروطي أملس) في المستوى الإسقاطي المركب يكون ثنائي الشكل بالنسبة للخط الإسقاطي المركب. كما أنه مفيد لدراسة التشاكلات الذاتية للكرة ، كما سنوضح لاحقًا في هذه المقالة.

يمكن تصور كرة ريمان على أنها كرة الوحدة${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$في الفضاء الحقيقي ثلاثي الأبعاد${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ولتحقيق هذه الغاية، ضع في اعتبارك الإسقاط المجسم من كرة الوحدة مطروحًا منه النقطة${\displaystyle (0,0,1)}$على متن الطائرة${\displaystyle z=0,}$والتي نحددها بالمستوى المركب بواسطة${\displaystyle \zeta =x+iy}$في الإحداثيات الديكارتية${\displaystyle (x,y,z)}$والإحداثيات الكروية${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$على الكرة (مع${\displaystyle \theta }$زاوية سمت الرأس و${\displaystyle \varphi }$السمت )، الإسقاط هو

${\displaystyle \zeta ={\frac {x+iy}{1-z}}={\cot }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\theta {\bigr )}\,e^{i\varphi }.}$

وبالمثل، الإسقاط المجسم من${\displaystyle (0,0,-1)}$على متن الطائرة${\displaystyle z=0,}$تم تحديدها بنسخة أخرى من المستوى المركب بواسطة${\displaystyle \xi =x-iy,}$مكتوب

${\displaystyle \xi ={\frac {x-iy}{1+z}}={\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\theta {\bigr )}\,e^{-i\varphi }.}$

معكوسات هذين الإسقاطين المجسمين هي خرائط من المستوى المركب إلى الكرة. يغطي المعكوس الأول الكرة باستثناء النقطة${\displaystyle (0,0,1)}$والثانية تغطي الكرة باستثناء النقطة${\displaystyle (0,0,-1)}$يتم تحديد المستويين المركبين، اللذين يمثلان نطاقات هذه الخرائط، بشكل مختلف مع المستوى${\displaystyle z=0}$، لأن انعكاس الاتجاه ضروري للحفاظ على اتجاه ثابت على الكرة.

خرائط الانتقال بين${\displaystyle \zeta }$-الإحداثيات و${\displaystyle \xi }$يتم الحصول على الإحداثيات عن طريق تركيب إسقاط واحد مع معكوس الإسقاط الآخر. وتكون النتيجة هي${\displaystyle \zeta =1/\xi }$و${\displaystyle \xi =1/\zeta }$كما هو موضح أعلاه. وبالتالي فإن كرة الوحدة متماثلة شكليًا مع كرة ريمان.

في ظل هذا التحويل التفاضلي، تكون دائرة الوحدة في${\displaystyle \zeta }$-مخطط، دائرة الوحدة في${\displaystyle \xi }$تم تحديد كل من مخطط -، وخط استواء الكرة الوحدة. قرص الوحدة${\displaystyle |\zeta |<1}$يرتبط بنصف الكرة الجنوبي${\displaystyle z<0}$بينما قرص الوحدة${\displaystyle |\xi |<1}$يرتبط بنصف الكرة الشمالي${\displaystyle z>0}$.

A Riemann surface does not come equipped with any particular Riemannian metric. The Riemann surface's conformal structure does, however, determine a class of metrics: all those whose subordinate conformal structure is the given one. In more detail: The complex structure of the Riemann surface does uniquely determine a metric up to conformal equivalence. (Two metrics are said to be conformally equivalent if they differ by multiplication by a positive smooth function.) Conversely, any metric on an oriented surface uniquely determines a complex structure, which depends on the metric only up to conformal equivalence. Complex structures on an oriented surface are therefore in one-to-one correspondence with conformal classes of metrics on that surface.

Within a given conformal class, one can use conformal symmetry to find a representative metric with convenient properties. In particular, there is always a complete metric with constant curvature in any given conformal class.

In the case of the Riemann sphere, the Gauss–Bonnet theorem implies that a constant-curvature metric ${\displaystyle \gamma }$ must have positive curvature${\displaystyle K}$. It follows that the metric must be isometric to the sphere of radius ${\displaystyle 1/{\sqrt {K}}}$ in ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ via stereographic projection. In the ${\displaystyle \zeta }$-chart on the Riemann sphere, the metric with ${\displaystyle K=1}$ is given by

${\displaystyle ds^{2}=2\gamma _{\zeta {\overline {\zeta }}}\,d\zeta \,d{\overline {\zeta }}={\frac {4}{\left(1+\zeta {\overline {\zeta }}\right)^{2}}}\,d\zeta \,d{\overline {\zeta }}=\left({\frac {2}{1+|\zeta |^{2}}}\right)^{2}\,|d\zeta |^{2}.}$

In real coordinates ${\displaystyle \zeta =u+iv}$, the formula is

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{\left(1+u^{2}+v^{2}\right)^{2}}}\left(du^{2}+dv^{2}\right).}$

Up to a constant factor, this metric agrees with the standard Fubini–Study metric on complex projective space (of which the Riemann sphere is an example). The two non-vanishing Christoffel symbols of its Levi-Civita connection are ${\displaystyle \Gamma _{\zeta \zeta }^{\zeta }=-2{\overline {\zeta }}/(1+|\zeta |^{2})}$ and its conjugate. This metric is therefore equal to its own Ricci curvature, ${\displaystyle \gamma =\mathrm {Ric} }$.

Up to scaling, this is the only metric on the sphere whose group of orientation-preserving isometries is 3-dimensional (and none is more than 3-dimensional); that group is called ${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$. In this sense, this is by far the most symmetric metric on the sphere. (The group of all isometries, known as ${\displaystyle {\mbox{O}}(3)}$, is also 3-dimensional, but unlike ${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$ is not a connected space.)

Conversely, let ${\displaystyle S}$ denote the sphere (as an abstract smooth or topological manifold). By the uniformization theorem there exists a unique complex structure on ${\displaystyle S}$ up to conformal equivalence. It follows that any metric on ${\displaystyle S}$يُكافئ المقياس الدائري متطابقًا . تُحدد جميع هذه المقاييس نفس الهندسة المطابقة. لذا، فإن المقياس الدائري ليس خاصية جوهرية في كرة ريمان، لأن "الاستدارة" ليست ثابتة في الهندسة المطابقة. كرة ريمان هي مجرد فضاء متطابق ، وليست فضاءً ريمانيًا . مع ذلك، إذا دعت الحاجة إلى تطبيق الهندسة الريمانية على كرة ريمان، فإن المقياس الدائري يُعد خيارًا طبيعيًا (مع أي نصف قطر ثابت، على الرغم من أن نصف القطر${\displaystyle 1}$(وهو الخيار الأبسط والأكثر شيوعًا). ذلك لأن المقياس الدائري على كرة ريمان فقط هو الذي تكون زمرة التماثل الخاصة به زمرة ثلاثية الأبعاد. (أي الزمرة المعروفة باسم${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$، وهي مجموعة متصلة ("لي") تمثل طوبولوجيًا الفضاء الإسقاطي ثلاثي الأبعاد${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$.)

يُسهّل فهم مجموعة التشاكلات الذاتية دراسة أي كائن رياضي ، أي الدوال التي تُحوّل الكائن إلى نفسه وتحافظ على بنيته الأساسية. في حالة كرة ريمان، التشاكل الذاتي هو دالة توافقية قابلة للعكس (أي دالة ثنائية الشكل) من كرة ريمان إلى نفسها. وقد تبيّن أن تحويلات موبيوس هي الدوال الوحيدة من هذا النوع . وهي دوال على الصورة التالية:

${\displaystyle f(\zeta )={\frac {a\zeta +b}{c\zeta +d}},}$

أين${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$،${\displaystyle c}$، و${\displaystyle d}$هي أعداد مركبة بحيث${\displaystyle ad-bc\neq 0}$تشمل أمثلة تحويلات موبيوس التمددات ، والدورانات ، والانتقالات ، والانعكاس المركب. في الواقع، يمكن كتابة أي تحويل من تحويلات موبيوس كتركيب لهذه التحويلات.

تحويلات موبيوس هي تحويلات متجانسة على الخط الإسقاطي المركب. في الإحداثيات الإسقاطية ، يمكن كتابة التحويل f على النحو التالي:

${\displaystyle [\zeta ,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [a\zeta +b,\ c\zeta +d]\ =\ {\begin{pmatrix}{\tfrac {a\zeta +b}{c\zeta +d}}&1\end{pmatrix}}\ =\ [f(\zeta ),\ 1].}$

وبالتالي، يمكن وصف تحويلات موبيوس بأنها مصفوفات عقدية ثنائية الأبعاد ذات محدد غير صفري . ولأنها تؤثر على الإحداثيات الإسقاطية، فإن مصفوفتين تُنتجان نفس تحويل موبيوس إذا وفقط إذا اختلفتا بمعامل غير صفري. مجموعة تحويلات موبيوس هي المجموعة الخطية الإسقاطية.${\displaystyle {\mbox{PGL}}(2,\mathbf {C} )}$.

إذا ما تم تزويد كرة ريمان بمقياس فوبيني-ستودي ، فإن تحويلات موبيوس ليست جميعها تحويلات متساوية القياس؛ فعلى سبيل المثال، التمددات والانتقالات ليست كذلك. وتشكل التحويلات متساوية القياس مجموعة فرعية فعلية من${\displaystyle {\mbox{PGL}}(2,\mathbf {C} )}$، أي${\displaystyle {\mbox{PSU}}(2)}$هذه المجموعة الفرعية متماثلة مع مجموعة الدوران${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$، وهي مجموعة تناظرات الكرة الوحدة في${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$(والتي، عند تقييدها بالكرة، تصبح متماثلات الكرة).

في التحليل المركب، الدالة الميرومورفية على المستوى المركب (أو على أي سطح ريمان، في هذا الشأن) هي نسبة${\displaystyle f/g}$من دالتين هولومورفيتين${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$باعتبارها خريطة للأعداد المركبة، فهي غير معرفة أينما${\displaystyle g}$يساوي صفرًا. ومع ذلك، فإنه يُنتج خريطة هولومورفية${\displaystyle (f,g)}$إلى الخط الإسقاطي المعقد المحدد جيدًا حتى في${\displaystyle g=0}$يُعدّ هذا البناء مفيدًا في دراسة الدوال التحليلية والتحليلية. فعلى سبيل المثال، لا توجد على سطح ريمان متراصّ دوال تحليلية غير ثابتة للأعداد المركبة، بينما تكثر الدوال التحليلية للأعداد المركبة على الخط الإسقاطي المركب.

كثيراً ما يتم الاستشهاد بكرة ريمان كبنية يمكن من خلالها تصور الدوائر المعممة وتحويلات موبيوس والخرائط المطابقة بين المجموعات الفرعية المفتوحة المتصلة للمستوى المركب الممتد.

تُستخدم كرة ريمان في العديد من التطبيقات الفيزيائية. ففي ميكانيكا الكم، تُعتبر النقاط الواقعة على خط الإسقاط المركب قيمًا طبيعية لحالات استقطاب الفوتون ، وحالات الدوران للجسيمات ذات الكتلة ذات الدوران المغزلي .${\displaystyle 1/2}$والجسيمات ثنائية الحالة بشكل عام (انظر أيضًا البت الكمومي وكرة بلوخ ). وقد اقتُرحت كرة ريمان كنموذج نسبي للكرة السماوية . ^{[ 4 ]} في نظرية الأوتار ، تُعدّ أسطح ريمان هي سطوح العالم للأوتار، وتلعب كرة ريمان، باعتبارها أبسط سطح ريمان، دورًا هامًا. كما أنها مهمة في نظرية التويستر .

• الهندسة المطابقة – دراسة التحويلات التي تحافظ على الزوايا في الفضاء الهندسي 
• النسبة التبادلية – ثابتة في الهندسة الإسقاطية 
• رسم بياني للأطفال – رسم بياني يُستخدم لدراسة أسطح ريمان 
• حزمة هوبف – حزمة ألياف من الكرة ثلاثية الأبعاد فوق الكرة ثنائية الأبعاد، مع اعتبار الكرات أحادية الأبعاد أليافًا. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• مستوى موبيوس
• التوازي (المشغل) §  الخصائص
• خط الأعداد الحقيقية الممتد إسقاطيًا – الأعداد الحقيقية مع إضافة نقطة عند اللانهاية 
• مخطط سميث – آلة حاسبة بيانية تستخدم في الهندسة الكهربائية 
• نظرية العجلة – الجبر حيث يتم تعريف القسمة دائمًا 

• براون، جيمس وتشرشل، رويل (1989). المتغيرات المركبة وتطبيقاتها . نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 0-07-010905-2.
• جولدمان، ويليام مارك (1999). الهندسة الزائدية المركبة . أكسفورد  : نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-853793-X.
• غريفيث، فيليب وهاريس، جوزيف (1978). مبادئ الهندسة الجبرية . جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-32792-1.
• بينروز، روجر (2007). الطريق إلى الواقع . لندن: منشورات ناشيونال جيوغرافيك. ISBN 978-0-679-77631-4.
• ريمان، بيرنهارد (1857). "Theorie der Abel'schen Functionen" [ نظرية الدوال الأبيلية ] . Journal für die reine und angewandte Mathematik (باللغة الألمانية). 54 : 115 – 155.
• رودين، والتر (1987). التحليل الحقيقي والمركب . نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 0-07-100276-6.

• "كرة ريمان" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• كشف تحويلات موبيوس ، من تأليف دوغلاس ن. أرنولد وجوناثان روغنيس (فيديو من إعداد اثنين من أساتذة جامعة مينيسوتا يشرحان ويوضحان تحويلات موبيوس باستخدام الإسقاط المجسم من كرة)