نظرية التوحيد

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 10 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات، تنص نظرية التوحيد على أن كل سطح ريمان بسيط الاتصال مكافئ توافقياً لأحد أسطح ريمان الثلاثة: القرص المفتوح ذو الوحدة ، أو المستوى المركب ، أو كرة ريمان . وتُعد هذه النظرية تعميماً لنظرية تطبيق ريمان، التي تُطبق على المجموعات الفرعية المفتوحة بسيطة الاتصال في المستوى، لتشمل أي سطح ريمان بسيط الاتصال.

بما أن لكل سطح ريمان غطاءً شاملاً هو سطح ريمان بسيط الاتصال، فإن نظرية التوحيد تُصنّف أسطح ريمان إلى ثلاثة أنواع: أسطح ذات غطاء شامل هو كرة ريمان ("إهليلجية")، وأسطح ذات غطاء شامل هو المستوى ("مكافئة")، وأسطح ذات غطاء شامل هو قرص الوحدة ("زائدية"). ويترتب على ذلك أن لكل سطح ريمان مقياس ريماني ذو انحناء ثابت ، حيث يمكن اعتبار الانحناء مساوياً لـ 1 في السطح الإهليلجي، و0 في السطح المكافئ، و-1 في السطح الزائدي.

تُقدّم نظرية التوحيد تصنيفًا مشابهًا للمشعبات الريمانية المغلقة القابلة للتوجيه ثنائية الأبعاد إلى حالات إهليلجية/مكافئة/زائدية. لكل مشعب من هذه المشعبات مقياس ريماني مكافئ توافقيًا ذو انحناء ثابت، حيث يمكن اعتبار الانحناء مساويًا لـ 1 في الحالة الإهليلجية، و0 في الحالة المكافئة، و-1 في الحالة الزائدة.

تاريخ

افترض فيليكس كلاين ( 1883 ) وهنري بوانكاريه ( 1882 ) نظرية التوحيد للأسطح الريمانية للمنحنيات الجبرية. وقد وسّع هنري بوانكاريه ( 1883 ) هذه النظرية لتشمل الدوال التحليلية متعددة القيم ، وقدّم حججًا غير رسمية تدعمها. وقدّم بوانكاريه ( 1907 ) وبول كوبي ( 1907أ ، 1907ب ، 1907ج ) أولى البراهين الدقيقة لنظرية التوحيد العامة . وقدّم بول كوبي لاحقًا العديد من البراهين والتعميمات الأخرى. ويمكن الاطلاع على تاريخ هذه النظرية في كتاب غراي (1994) . تم تقديم سرد كامل للتوحيد حتى أوراق كوبي وبوانكاريه لعام 1907 مع براهين مفصلة في دي سان جيرفيه (2016) ( الاسم المستعار من نوع بورباكي لمجموعة من خمسة عشر عالم رياضيات قاموا بشكل مشترك بإنتاج هذا المنشور).     

تصنيف أسطح ريمان المتصلة

كل سطح ريمان هو ناتج قسمة الفعل الحر والمناسب والهولومورفي لمجموعة منفصلة على غطائها الشامل، وهذا الغطاء الشامل، كونه سطح ريمان بسيط الاتصال، متماثل هولومورفيًا (يقال أيضًا: "مكافئ توافقيًا" أو "ثنائي الهولومورفي") مع أحد الأسطح التالية:

  1. كرة ريمان
  2. المستوى المركب
  3. القرص الواحد في المستوى المركب.

بالنسبة لأسطح ريمان المدمجة، فإن تلك التي تغطي قرص الوحدة بشكل شامل هي بالضبط الأسطح الزائدية من جنس أكبر من 1، وكلها ذات مجموعة أساسية غير تبديلية؛ وتلك التي تغطي المستوى المركب بشكل شامل هي أسطح ريمان من الجنس 1، أي الطارات المركبة أو المنحنيات الإهليلجية ذات المجموعة الأساسية Z 2 ؛ وتلك التي تغطي كرة ريمان بشكل شامل هي تلك من الجنس صفر، أي كرة ريمان نفسها، ذات المجموعة الأساسية التافهة.

تصنيف المشعبات الريمانية المغلقة الموجهة ثنائية الأبعاد

على مشعب ثنائي الأبعاد موجه، يُنشئ مقياس ريماني بنية معقدة باستخدام الانتقال إلى الإحداثيات متساوية الحرارة . إذا كان مقياس ريماني معبرًا عنه محليًا على النحو التالي:

دs2=هـدx2+2Fدxدy+جيدy2،{\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2},}

ثم في الإحداثيات المركبة z = x + i y ، تأخذ الشكل التالي

دs2=λ|دz+μدz¯|2،{\displaystyle ds^{2}=\lambda |dz+\mu \,d{\overline {z}}|^{2},}

أين

λ=14(هـ+جي+2هـجي-F2)،  μ=14λ(هـ-جي+2أناF)،\displaystyle \lambda = \frac{1}{4} \left(E + G + 2 \sqrt{EG - F^2} \right), \ \ \mu = \frac{1}{4 \lambda} \left(E - G + 2iF),}

بحيث تكون λ و μ سلسلتين مع λ > 0 و | μ | < 1. في الإحداثيات متساوية الحرارة ( u , v )، يجب أن يأخذ المقياس الشكل التالي:

دs2=ρ(دu2+دv2){\displaystyle ds^{2}=\rho (du^{2}+dv^{2})}

مع ρ > 0، يكون النظام أملسًا. الإحداثي المركب w = u + i v يحقق ما يلي:

ρ|دw|2=ρ|wz|2|دz+wz¯wzدz¯|2،{\displaystyle \rho \,|dw|^{2}=\rho |w_{z}|^{2}\left|dz+{w_{\overline {z}} \over w_{z}}\,d{\overline {z}}\right|^{2},}

بحيث تكون الإحداثيات ( u , v ) متساوية الحرارة محليًا بشرط أن تكون معادلة بلترامي

∂w∂z¯=μ∂w∂z{\displaystyle {\partial w \over \partial {\overline {z}}}=\mu {\partial w \over \partial z}}

له حل تفاضلي محلي، أي حل ذو مصفوفة جاكوبية غير معدومة.

يمكن صياغة هذه الشروط بشكل مكافئ بدلالة المشتقة الخارجية ومؤثر هودج النجمي ∗ . [ 1 ] ستكون u و v إحداثيات متساوية الحرارة إذا كان ∗ du = dv ، حيث يُعرَّف ∗ على التفاضلات بالعلاقة ∗( p dx + q dy ) = −q dx + p dy . ليكن ∆ = ∗ d ∗ d مؤثر لابلاس-بيلترامي . وفقًا لنظرية القطع الناقص القياسية، يمكن اختيار u لتكون توافقية بالقرب من نقطة معينة، أي Δu = 0 ، مع عدم تلاشي du . وفقًا لمبرهنة بوانكاريه، فإن dv = ∗ du لها حل محلي v تحديدًا عندما يكون d ( ∗ du ) = 0. هذا الشرط مكافئ لـ Δu = 0 ، لذا يمكن دائمًا حله محليًا. بما أن du غير صفري ومربع مؤثر هودج النجمي هو − 1 على الأشكال 1، فإن du و dv يجب أن يكونا مستقلين خطيًا، بحيث تعطي u و v إحداثيات متساوية الحرارة محلية.

يمكن إثبات وجود الإحداثيات متساوية الحرارة بطرق أخرى، على سبيل المثال باستخدام النظرية العامة لمعادلة بلترامي ، كما في أهلفورس (2006) ، أو عن طريق الطرق الأولية المباشرة، كما في تشيرن (1955) وجوست (2006) .

انطلاقاً من هذا التوافق مع أسطح ريمان المدمجة، يُستنتج تصنيفٌ للمتشعبات الريمانية المغلقة القابلة للتوجيه ثنائية الأبعاد. كلٌّ منها مكافئٌ توافقياً لمتشعبٍ مغلقٍ ثنائي الأبعاد فريدٍ ذي انحناءٍ ثابت ، وبالتالي فهو ناتج قسمة أحد المتشعبات التالية بفعلٍ حرٍّ لمجموعةٍ فرعيةٍ منفصلةٍ من مجموعةٍ متساوية القياس :

  1. الكرة ( انحناء +1)
  2. المستوى الإقليدي (انحناء 0)
  3. المستوى الزائدي (الانحناء - 1).

تُعطي الحالة الأولى الكرة ثنائية الأبعاد، وهي الفضاء ثنائي الأبعاد الوحيد ذو الانحناء الموجب الثابت، وبالتالي خاصية أويلر الموجبة (تساوي 2). أما الحالة الثانية فتُعطي جميع الفضاءات ثنائية الأبعاد المسطحة، أي الأسطح الحلقية ، والتي لها خاصية أويلر تساوي صفرًا. وتشمل الحالة الثالثة جميع الفضاءات ثنائية الأبعاد ذات الانحناء السالب الثابت، أي الفضاءات ثنائية الأبعاد الزائدية ، والتي لها جميعًا خاصية أويلر سالبة. يتوافق هذا التصنيف مع نظرية غاوس-بونيه ، التي تنص على أنه بالنسبة لسطح مغلق ذي انحناء ثابت، يجب أن تتطابق إشارة هذا الانحناء مع إشارة خاصية أويلر. خاصية أويلر تساوي 2 - 2g ، حيث g هو جنس الفضاء ثنائي الأبعاد، أي عدد "الثقوب".

أساليب الإثبات

تعتمد العديد من البراهين الكلاسيكية لنظرية التوحيد على بناء دالة توافقية حقيقية القيمة على سطح ريمان بسيط الاتصال، قد تحتوي على نقطة تفرد واحدة أو نقطتين، وغالبًا ما تتوافق مع شكل من أشكال دالة غرين . تُستخدم أربع طرق لبناء الدالة التوافقية على نطاق واسع: طريقة بيرون ، وطريقة شوارتز المتناوبة ، ومبدأ ديريشليه ، وطريقة فايل للإسقاط المتعامد. في سياق مشعبات ريمان المغلقة ثنائية الأبعاد، تستعين العديد من البراهين الحديثة بمعادلات تفاضلية غير خطية على فضاء المقاييس المتكافئة توافقيًا. تشمل هذه المعادلات معادلة بلترامي من نظرية تايخمولر وصياغة مكافئة لها بدلالة الخرائط التوافقية ، ومعادلة ليوفيل التي درسها بوانكاريه، وتدفق ريتشي إلى جانب تدفقات غير خطية أخرى.

تُبيّن نظرية رادو أن كل سطح ريمان قابل للعد من الدرجة الثانية تلقائيًا . مع أن نظرية رادو تُستخدم غالبًا في براهين نظرية التوحيد، فقد صِيغت بعض البراهين بحيث تُصبح نظرية رادو نتيجةً حتميةً لها. إن قابلية العد من الدرجة الثانية تلقائية بالنسبة لأسطح ريمان المدمجة.

أساليب فضاء هيلبرت

في عام 1913، نشر هيرمان فايل كتابه الكلاسيكي "فكرة أسطح ريمان" (Die Idee der Riemannschen Fläche)، مستندًا إلى محاضراته في غوتنغن بين عامي 1911 و1912. كان هذا الكتاب أول كتاب يُقدّم نظرية أسطح ريمان في سياق حديث، ولا يزال مؤثرًا عبر طبعاته الثلاث. أُهديت الطبعة الأولى إلى فيليكس كلاين ، وتضمنت معالجة هيلبرت لمسألة ديريشليه باستخدام تقنيات فضاء هيلبرت ، ومساهمات براور في علم الطوبولوجيا، وبرهان كوبي لنظرية التوحيد وتحسيناتها اللاحقة. وفي وقت لاحق (1940)، طوّر فايل طريقته في الإسقاط المتعامد، والتي قدّمت منهجًا مبسطًا لمسألة ديريشليه، استنادًا أيضًا إلى فضاء هيلبرت. ارتبطت هذه النظرية، التي تضمنت ليمّة فايل حول الانتظام الإهليلجي ، بنظرية هودج للتكاملات التوافقية . وقد دُمجت كلتا النظريتين في النظرية الحديثة للمؤثرات الإهليلجية وفضاءات سوبوليف L2 . في الطبعة الثالثة من كتابه الصادر عام 1955، والذي تُرجم إلى الإنجليزية في كتاب ويل (1964) ، اعتمد ويل التعريف الحديث للمتشعب التفاضلي، مفضلاً إياه على التثليث ، لكنه قرر عدم استخدام طريقته في الإسقاط المتعامد. اتبع سبرينغر (1957) شرح ويل لنظرية التوحيد، لكنه استخدم طريقة الإسقاط المتعامد لمعالجة مسألة ديريشليه. يصف كودايرا (2007) المنهجية الواردة في كتاب ويل، وكيفية اختصارها باستخدام طريقة الإسقاط المتعامد. ويمكن الاطلاع على شرح ذي صلة في كتاب دونالدسون (2011) .

التدفقات غير الخطية

أظهر ريتشارد إس. هاميلتون أن تدفق ريتشي المعياري على سطح مغلق يُوحّد المقياس (أي أن التدفق يتقارب إلى مقياس انحناء ثابت). مع ذلك، اعتمد برهانه على نظرية التوحيد. تمثلت الخطوة المفقودة في تدفق ريتشي على الكرة ثنائية الأبعاد: قدم تشين ولو وتيان (2006) طريقة لتجنب اللجوء إلى نظرية التوحيد (للجنس 0) ؛ [ 2 ] وقُدِّم شرح موجز ومستقل لتدفق ريتشي على الكرة ثنائية الأبعاد في أندروز وبريان (2010) .

التعميمات

أثبت كوبي نظرية التوحيد العامة التي تنص على أنه إذا كان سطح ريمان متماثلًا مع مجموعة فرعية مفتوحة من الكرة المعقدة (أو بشكل مكافئ إذا فصل كل منحنى جوردان بينها)، فإنه يكون مكافئًا توافقيًا لمجموعة فرعية مفتوحة من الكرة المعقدة.

في ثلاثة أبعاد، توجد ثمانية أشكال هندسية، تُعرف باسم أشكال ثورستون الهندسية الثمانية . لا تقبل كل متشعب ثلاثي الأبعاد شكلاً هندسياً، لكن فرضية ثورستون الهندسية التي أثبتها غريغوري بيرلمان تنص على أنه يمكن تقسيم كل متشعب ثلاثي الأبعاد إلى أجزاء قابلة للهندسة.

تُظهر نظرية التوحيد المتزامن لليبمان بيرس أنه من الممكن توحيد سطحين ريمان مضغوطين من نفس الجنس >1 مع نفس المجموعة شبه الفوشية .

تُظهر نظرية ريمان القابلة للقياس بشكل عام أنه يمكن اختيار الخريطة إلى مجموعة فرعية مفتوحة من الكرة المعقدة في نظرية التوحيد لتكون خريطة شبه مطابقة مع أي معامل بلترامي محدود وقابل للقياس.

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع

المراجع التاريخية

الدراسات التاريخية

الوظائف التوافقية

طريقة بيرون

  • هاينز، م. (1949)، "التحويل المطابق لأسطح ريمان المتصلة ببساطة"، حوليات الرياضيات ، 50 (3): 686-690 ، doi : 10.2307/1969555 ، JSTOR 1969555 
  • هاينز، م . (1951)، "التحويل الداخلي لسطح قابل للتوجيه إلى S² "، وقائع الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 2 (6): 951-952 ، doi : 10.1090/s0002-9939-1951-0045221-4
  • هاينز، م. (1957)، "التحويل المطابق لأسطح ريمان بسيطة الاتصال. الجزء الثاني" (ملف PDF) ، مجلة ناغويا للرياضيات ، 12 : 139-143 ، doi : 10.1017/s002776300002198x
  • بفلوغر، ألبرت (1957)، Theorie der Riemannschen Flächen ، سبرينغر
  • أهلفورس، لارس ف. (2010)، الثوابت المطابقة: موضوعات في نظرية الدوال الهندسية ، دار نشر تشيلسي التابعة للجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 978-0-8218-5270-5
  • بيردون، أ. ف. (1984)، "مقدمة في أسطح ريمان" ، سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن ، المجلد  78، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0521271042
  • فورستر، أوتو (1991)، محاضرات حول أسطح ريمان ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  81، ترجمة بروس جيليجان، سبرينغر، ISBN 978-0-387-90617-1
  • فاركاس، هيرشيل م.؛ Kra، Irwin (1980)، أسطح ريمان (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، ISBN 978-0-387-90465-8
  • جاملين، ثيودور دبليو. (2001)، التحليل المركب ، نصوص جامعية في الرياضيات، سبرينغر، ISBN 978-0-387-95069-3
  • هوبارد، جون هـ. (2006)، نظرية تايخمولر وتطبيقاتها في الهندسة والطوبولوجيا والديناميكا. المجلد 1. نظرية تايخمولر ، منشورات ماتريكس، ISBN 978-0971576629
  • شلاغ، فيلهلم (2014)، دورة في التحليل المركب وأسطح ريمان ، دراسات عليا في الرياضيات، المجلد  154، الجمعية الأمريكية للرياضيات، ISBN 978-0-8218-9847-5

طريقة شوارتز المتناوبة

  • نيفانلينا ، رولف (1953)، الموحدة ، Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete، vol.  64 سبرينغر، دوى : 10.1007/978-3-642-52801-9 ، ISBN 978-3-642-52802-6{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  • بهنكي، هاينريش؛ سومر ، فريدريش (1965)، Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen ، Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften، المجلد.  77 (  الطبعة الثالثة)، سبرينغر
  • فرايتاغ، إيبرهارد (2011)، التحليل المركب. 2. أسطح ريمان، عدة متغيرات مركبة، الدوال الأبيلية، الدوال النمطية العليا ، سبرينغر، ISBN 978-3-642-20553-8

مبدأ ديريشليه

  • فايل، هيرمان (1964)، مفهوم سطح ريمان ، ترجمة جيرالد ر. ماكلين، أديسون-ويسلي، MR 0069903 
  • كوران، ريتشارد (1977)، مبدأ ديريشليه، والتحويل المطابق، والأسطح الدنيا ، سبرينغر، ISBN 978-0-387-90246-3
  • سيجل، سي إل (1988)، موضوعات في نظرية الدوال المركبة. المجلد الأول: الدوال الإهليلجية ونظرية التوحيد ، ترجمة أ. شينيتزر؛ د. سوليتار، وايلي، ISBN 978-0471608448

طريقة ويل للإسقاط المتعامد

  • سبرينغر، جورج (1957)، مقدمة في أسطح ريمان ، أديسون-ويسلي، MR 0092855 
  • كودايرا، كونيهيكو (2007)، التحليل المركب ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد  107، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 9780521809375
  • دونالدسون، سيمون (2011)، أسطح ريمان ، نصوص أكسفورد للدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  22، مطبعة جامعة أكسفورد، ISBN 978-0-19-960674-0

مشغلو ساريو

  • ساريو، ليو (1952)، "طريقة المؤثرات الخطية على أسطح ريمان العشوائية"، معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 72 (2): 281-295 ، doi : 10.1090/s0002-9947-1952-0046442-2
  • أهلفورس، لارس ف.؛ ساريو، ليو (1960)، أسطح ريمان ، سلسلة برينستون الرياضية، المجلد  26، مطبعة جامعة برينستون

المعادلات التفاضلية غير الخطية

معادلة بلترامي

  • أهلفورس، لارس ف. (2006)، محاضرات حول التحويلات شبه المطابقة ، سلسلة محاضرات جامعية، المجلد  38 (  الطبعة الثانية)، الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 978-0-8218-3644-6
  • أهلفورس، لارس ف.؛ بيرس، ليبمان (1960)، "نظرية ريمان للتطبيقات على المقاييس المتغيرة"، حوليات الرياضيات ، 72 (2): 385-404 ، doi : 10.2307/1970141 ، JSTOR 1970141 
  • بيرس، ليبمان (1960)، "التوحيد المتزامن" (ملف PDF) ، نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 66 (2): 94-97 ، doi : 10.1090/s0002-9904-1960-10413-2
  • بيرس، ليبمان (1961)، "التوحيد باستخدام معادلات بلترامي"، مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية ، 14 (3): 215-228 ، doi : 10.1002/cpa.3160140304
  • بيرس، ليبمان (1972)، "التوحيد، والمعاملات، ومجموعات كلاين"، نشرة جمعية لندن الرياضية ، 4 (3): 257-300 ، doi : 10.1112/blms/4.3.257 ، ISSN 0024-6093 ، MR 0348097  

الخرائط التوافقية

  • جوست، يورغن (2006)، أسطح ريمان المدمجة: مقدمة في الرياضيات المعاصرة (  الطبعة الثالثة)، سبرينغر، ISBN 978-3-540-33065-3

معادلة ليوفيل

  • بيرغر، ميلفين س. (1971)، "بنى ريمان ذات انحناء غاوسي محدد للمشعبات المدمجة ثنائية الأبعاد"، مجلة الهندسة التفاضلية ، 5 ( 3-4 ): 325-332 ، doi : 10.4310/jdg/1214429996
  • بيرغر، ميلفين س. (1977)، اللاخطية والتحليل الوظيفي ، دار النشر الأكاديمية، رقم ISBN 978-0-12-090350-4
  • تايلور، مايكل إي. (2011)، المعادلات التفاضلية الجزئية III. المعادلات غير الخطية ، العلوم الرياضية التطبيقية، المجلد  117 (  الطبعة الثانية)، سبرينغر، ISBN 978-1-4419-7048-0

التدفقات على المقاييس الريمانية

  • هاميلتون، ريتشارد س. (1988)، "تدفق ريتشي على الأسطح"، الرياضيات والنسبية العامة (سانتا كروز، كاليفورنيا، 1986) ، الرياضيات المعاصرة، المجلد  71، الجمعية الرياضية الأمريكية، الصفحات 237-262 
  • تشاو، بينيت (1991)، "تدفق ريتشي على الكرة ثنائية الأبعاد"، مجلة الهندسة التفاضلية ، 33 (2): 325-334 ، doi : 10.4310/jdg/1214446319
  • أوسجود، ب.؛ فيليبس، ر.؛ سارناك، ب. (1988)، "القيم القصوى لمحددات لابلاس"، مجلة التحليل الوظيفي ، 80 : 148-211 ، CiteSeerX 10.1.1.486.558 ، doi : 10.1016/0022-1236(88)90070-5 
  • Chrusciel, P. (1991), "الوجود شبه العالمي وتقارب حلول معادلة روبنسون-تراوتمان (كالابي ثنائية الأبعاد)"، مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية ، 137 (2): 289-313 ، Bibcode : 1991CMaPh.137..289C ، CiteSeerX 10.1.1.459.9029 ، doi : 10.1007/bf02431882 ، S2CID 53641998  
  • تشانغ، شو-تشنغ (2000)، "الوجود العالمي وتقارب حلول تدفق كالابي على أسطح من النوع h  ≥  2"، مجلة الرياضيات بجامعة كيوتو ، 40 (2): 363-377 ، doi : 10.1215/kjm/1250517718
  • بريندل، سيمون (2010)، تدفق ريتشي ونظرية الكرة ، دراسات عليا في الرياضيات، المجلد  111، الجمعية الأمريكية للرياضيات، ISBN 978-0-8218-4938-5
  • تشين، شيوكسيونغ؛ لو، بنغ؛ تيان، غانغ (2006)، "ملاحظة حول توحيد أسطح ريمان بواسطة تدفق ريتشي"، وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية ، 134 (11): 3391-3393 ، doi : 10.1090/S0002-9939-06-08360-2 ، ISSN 0002-9939 ، MR 2231924  
  • أندروز، بن؛ برايان، بول (2010)، "حدود الانحناء عن طريق المقارنة متساوية المحيط لتدفق ريتشي المعياري على الكرة الثنائية"، حساب التفاضل والتكامل، المعادلات التفاضلية الجزئية ، 39 ( 3-4 ): 419-428 ، arXiv : 0908.3606 ، doi : 10.1007/s00526-010-0315-5 ، S2CID 1095459 
  • مازيو، راف؛ تايلور، مايكل (2002)، "الانحناء والتوحيد"، مجلة إسرائيل للرياضيات ، 130 : 323-346 ، arXiv : math/0105016 ، doi : 10.1007/bf02764082 ، S2CID 7192529 
  • سترو، مايكل ( 2002)، "تدفقات الانحناء على الأسطح" ، حوليات المدرسة العليا العادية في بيزا، قسم العلوم ، 1 : 247-274

مراجع عامة