إحداثيات متساوية الحرارة

📅 آخر تحديث: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 23 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في الهندسة التفاضلية ، تُعرف الإحداثيات متساوية الحرارة على مشعب ريماني بأنها إحداثيات محلية يكون فيها المقياس متطابقًا مع المقياس الإقليدي . وهذا يعني أنه في الإحداثيات متساوية الحرارة، يكون للمقياس الريماني محليًا الشكل التالي:

ز=φ(دx12+⋯+دxن2)،{\displaystyle g=\varphi (dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}),}

أينφ{\displaystyle \varphi }هي دالة موجبة سلسة . (إذا كان مشعب ريمان موجهًا، فإن بعض المؤلفين يصرون على أن نظام الإحداثيات يجب أن يتوافق مع هذا التوجيه ليكون متساوي الحرارة.)

تم تقديم الإحداثيات متساوية الحرارة على الأسطح لأول مرة بواسطة جاوس . أثبت كورن وليختنشتاين أن الإحداثيات متساوية الحرارة موجودة حول أي نقطة على مشعب ريماني ثنائي الأبعاد.

على النقيض من ذلك، لا تقبل معظم المتشعبات ذات الأبعاد الأعلى إحداثيات متساوية الحرارة في أي مكان؛ أي أنها لا تكون عادةً مسطحة توافقياً محلياً . في البعد 3، يكون المقياس الريماني مسطحاً توافقياً محلياً إذا وفقط إذا كان موتر كوتون الخاص به معدوماً. في الأبعاد الأكبر من 3، يكون المقياس مسطحاً توافقياً محلياً إذا وفقط إذا كان موتر فايل الخاص به معدوماً.

إحداثيات متساوية الحرارة على الأسطح

في عام 1822، أثبت كارل فريدريش غاوس وجود إحداثيات متساوية الحرارة على أي سطح ذي مقياس ريماني حقيقي تحليلي ، وذلك استنادًا إلى نتائج سابقة لجوزيف لاغرانج في الحالة الخاصة لأسطح الدوران . [ 1 ] اعتمد غاوس في بنائه على نظرية كوشي-كواليفسكي ، مما يجعل طريقته محصورة أساسًا في السياق الحقيقي التحليلي. [ 2 ] بعد ابتكارات آرثر كورن في نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية ثنائية الأبعاد ، وجد ليون ليختنشتاين في عام 1916 وجودًا عامًا لإحداثيات متساوية الحرارة للمقاييس الريمانية ذات الانتظام الأدنى، بما في ذلك المقاييس الملساء وحتى المقاييس المتصلة هولدر . [ 3 ]

بالنظر إلى مقياس ريماني على مشعب ثنائي الأبعاد، فإن دالة الانتقال بين مخططات الإحداثيات متساوية الحرارة، وهي عبارة عن خريطة بين مجموعات فرعية مفتوحة منR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}، بالضرورة، يحافظ على الزوايا. تُعد خاصية الحفاظ على الزوايا، إلى جانب الحفاظ على التوجيه، إحدى خصائص الدوال التحليلية (من بين العديد من الخصائص) ، ولذا يمكن اعتبار أطلس الإحداثيات الموجه ، الذي يتكون من مخططات إحداثيات متساوية الحرارة، أطلس إحداثيات تحليلي. يُبين هذا أن المقياس الريماني والتوجيه على مشعب ثنائي الأبعاد يتحدان لتكوين بنية سطح ريماني (أي مشعب معقد أحادي البعد ). علاوة على ذلك، عند وجود سطح موجه، يُنتج مقياسان ريمانيان نفس الأطلس التحليلي إذا وفقط إذا كانا متطابقين. لهذا السبب، فإن دراسة أسطح ريمان تُطابق دراسة الفئات المتطابقة للمقاييس الريمانية على الأسطح الموجهة.

بحلول خمسينيات القرن العشرين، قام كلٌ من ليبمان بيرس وشينغ -شين تشيرن ، وغيرهما، بصياغة أفكار كورن وليختنشتاين بلغة المشتقات المركبة ومعادلة بلترامي . [ 4 ] وفي هذا السياق، من الطبيعي دراسة وجود حلول معممة، تُحقق المعادلات التفاضلية الجزئية ذات الصلة، ولكنها لم تعد قابلة للتفسير كخرائط إحداثيات بالطريقة المعتادة. وقد بدأ هذا البحث تشارلز موري في مقالته الرائدة عام 1938 حول نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية على نطاقات ثنائية الأبعاد، مما أدى لاحقًا إلى نظرية ريمان القابلة للقياس التي وضعها لارس أهلفورس وبيرس. [ 5 ]

معادلة بلترامي

يمكن إثبات وجود الإحداثيات متساوية الحرارة [ 6 ] بتطبيق نظريات الوجود المعروفة لمعادلة بلترامي ، والتي تعتمد على تقديرات L p لمؤثرات التكامل المفردة لكالديرون وزيغموند . [ 7 ] [ 8 ] وقد قدم أدريان دوادي مؤخرًا منهجًا أبسط لمعادلة بلترامي . [ 9 ]

إذا تم إعطاء المقياس الريماني محليًا على النحو التالي

دs2=هـدx2+2Fدxدy+جيدy2،{\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2},}

ثم في الإحداثيات المركبةz=x+أناy{\displaystyle z=x+iy}، ويتخذ الشكل

دs2=λ|دz+μدz¯|2،{\displaystyle ds^{2}=\lambda |\,dz+\mu \,d{\overline {z}}|^{2},}

أينλ{\displaystyle \lambda }وμ{\displaystyle \mu }سلسة معλ>0{\displaystyle \lambda >0}و|μ|<1{\displaystyle \left\vert \mu \right\vert <1}. في الحقيقة

λ=14(هـ+جي+2هـجي-F2)،μ=(هـ-جي+2أناF)4λ.{\displaystyle \lambda ={1 \over 4}(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}),\,\,\,{\displaystyle \mu ={(E-G+2iF) \over 4\lambda }}.}

في الإحداثيات متساوية الحرارة(u،v){\displaystyle (u,v)}ينبغي أن يتخذ المقياس الشكل التالي

دs2=هـρ(دu2+دv2){\displaystyle ds^{2}=e^{\rho }(du^{2}+dv^{2})}

مع ρ ناعمة. الإحداثي المركبw=u+أناv{\displaystyle w=u+iv}يرضي

هـρ|دw|2=هـρ|wz|2|دz+wz¯wzدz¯|2،{\displaystyle e^{\rho }\,|dw|^{2}=e^{\rho }|w_{z}|^{2}|\,dz+{w_{\overline {z}} \over w_{z}}\,d{\overline {z}}|^{2},}

وبالتالي ستكون الإحداثيات ( u , v ) متساوية الحرارة إذا كانت معادلة بلترامي

∂w∂z¯=μ∂w∂z{\displaystyle {\partial w \over \partial {\overline {z}}}=\mu {\partial w \over \partial z}}

يوجد حل تفاضلي. وقد ثبت وجود مثل هذا الحل في أي جوار حيث‖μ‖∞<1{\displaystyle \lVert \mu \rVert _{\infty }<1}.

الوجود من خلال قابلية الحل المحلية للمعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية

يُعدّ وجود إحداثيات متساوية الحرارة على مشعب ريماني ثنائي الأبعاد أملس نتيجةً منطقيةً لنتيجة قابلية الحل الموضعي القياسية في تحليل المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية . في هذا السياق، تُعتبر المعادلة الإهليلجية ذات الصلة هي شرط أن تكون الدالة توافقية بالنسبة للمقياس الريماني. وتنص قابلية الحل الموضعي على أن أي نقطة p لها جوار U توجد عليه دالة توافقية u ذات مشتقة لا تنعدم في أي مكان. [ 10 ]

تُبنى الإحداثيات متساوية الحرارة من هذه الدالة بالطريقة التالية. [ 11 ] توافقية u تُطابق انغلاق الشكل التفاضلي من الدرجة الأولى⋆دu،{\displaystyle \star du,}مُعرَّف باستخدام مُعامل نجمة هودج⋆{\displaystyle \star }مرتبط بالمقياس الريماني. وبالتالي، فإن مبرهنة بوانكاريه تستلزم وجود دالة v على U معدv=⋆دu.{\displaystyle dv=\star du.}بحسب تعريف نجم هودج،دu{\displaystyle du}ودv{\displaystyle dv}بما أن u و v متعامدان، فإنهما مستقلان خطيًا، ومن ثم يترتب على نظرية الدالة العكسية أن u و v يشكلان نظام إحداثيات في جوار ما للنقطة p . هذا النظام الإحداثي متساوي الحرارة تلقائيًا، نظرًا لتعامد u و v.دu{\displaystyle du}ودv{\displaystyle dv}يشير ذلك إلى قطرية المقياس، وخاصية الحفاظ على المعيار لنجمة هودج تشير إلى تساوي المكونين القطريين.

انحناء غاوسي

في الإحداثيات متساوية الحرارة(u،v){\displaystyle (u,v)}، يأخذ انحناء غاوس الشكل الأبسط

ك=-12هـ-ρ(∂2ρ∂u2+∂2ρ∂v2).{\displaystyle K=-{\frac {1}{2}}e^{-\rho }\left({\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial v^{2}}}\right).}

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع