الهندسة المطابقة

الزمرة المطابقة للصيغة التربيعية مينكوفسكي q ( x , y ) = 2xy في المستوى هي زمرة لي الأبيلية

${\displaystyle \operatorname {CSO} (1,1)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{a}&0\\0&e^{b}\end{pmatrix}}\right|a,b\in \mathbb {R} \right\},}$

مع جبر لي cso (1, 1) يتكون من جميع المصفوفات القطرية الحقيقية 2 × 2 .

لننظر الآن إلى طائرة مينكوفسكي،${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$مزود بالنظام المتري

${\displaystyle g=2\,dx\,dy~.}$

تُنتج مجموعة من التحويلات المطابقة ذات المعامل الواحد حقلًا متجهيًا X يتميز بخاصية أن مشتقة لي للدالة g على طول X تتناسب مع g . رمزيًا،

L _X g = λg  لبعض λ .

وبالتحديد، باستخدام الوصف المذكور أعلاه لجبر لي cso (1, 1) ، فإن هذا يعني أن

1. L _X dx = a ( x ) dx 
2. L _X dy = b ( y ) dy 

بالنسبة لبعض الدوال الحقيقية a و b التي تعتمد، على التوالي، على x و y .

وعلى العكس من ذلك، بالنظر إلى أي زوج من الدوال الحقيقية، يوجد حقل متجه X يحقق الشرطين 1 و 2. وبالتالي فإن جبر لي للتناظرات المتناهية الصغر للبنية المطابقة، جبر ويت ، هو ذو أبعاد لا نهائية .

التكثيف المطابق لمستوى مينكوفسكي هو حاصل ضرب ديكارتي لدائرتين S1 × S1 . على الغطاء الشامل ، لا يوجد عائق أمام تكامل التناظرات المتناهية الصغر، وبالتالي ^فإن مجموعة التحويلات المطابقة هي زمرة لي اللانهائية الأبعاد ^.

${\displaystyle (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1}))\times (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1})),}$

حيث Diff( S ¹ ) هي مجموعة التشاكل التفاضلي للدائرة. ^{[ 1 ]}

تعتبر المجموعة المطابقة CSO(1, 1) وجبر لي الخاص بها ذات أهمية حالية في نظرية الحقل المطابق ثنائي الأبعاد .

مجموعة التناظرات المطابقة للشكل التربيعي

${\displaystyle q(z,{\bar {z}})=z{\bar {z}}}$

هي المجموعة GL ₁ ( C ) = C ^× ، وهي المجموعة الضربية للأعداد المركبة. جبر لي الخاص بها هو gl ₁ ( C ) = C .

لنفترض المستوى المركب (الإقليدي) المزود بالمقياس

${\displaystyle g=dz\,d{\bar {z}}.}$

تحقق التناظرات المطابقة المتناهية الصغر

1. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,dz=f(z)\,dz}$
2. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,d{\bar {z}}=f({\bar {z}})\,d{\bar {z}},}$

حيث تحقق الدالة f معادلة كوشي-ريمان ، وبالتالي فهي دالة تحليلية على نطاقها. (انظر جبر ويت ).

وبالتالي، تتكون التحويلات المطابقة لمجال ما من خرائط ذاتية هولومورفية. وعلى وجه الخصوص، على التكثيف المطابق - كرة ريمان - تُعطى التحويلات المطابقة بواسطة تحويلات موبيوس.

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

حيث يكون ad − bc غير صفري.

يتألف النموذج العكسي للهندسة المطابقة من مجموعة التحويلات الموضعية على الفضاء الإقليدي E ^_n الناتجة عن الانعكاس في الكرات. وبحسب نظرية ليوفيل ، فإن أي تحويل موضعي (مطابق) يحافظ على الزوايا يكون من هذا الشكل. ^{[ 5 ]} من هذا المنظور، فإن خصائص التحويل للفضاء المطابق المسطح هي خصائص الهندسة العكسية .

يُعرّف النموذج الإسقاطي الكرة المطابقة بسطح تربيعي معين في فضاء إسقاطي . لنفترض أن q يُمثل الشكل التربيعي اللورنتزي على R ^{n +2} المعرّف بـ

${\displaystyle q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n+1})=-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}.}$

في الفضاء الإسقاطي P ( Rⁿ⁺² )، ليكن S موضع q = 0. عندئذٍ، ^S هو النموذج الإسقاطي (أو نموذج موبيوس ⁾ للهندسة المطابقة. التحويل المطابق على S هو تحويل خطي إسقاطي لـ P ( Rⁿ⁺² ) يحافظ ^على السطح التربيعي ثابتًا ^.

في بناء ذي صلة، يُنظر إلى السطح التربيعي S على أنه الكرة السماوية عند اللانهاية للمخروط الصفري في الفضاء شبه الإقليدي R ^{n +1,1} ، والمجهز بالصيغة التربيعية q كما سبق. ويُعرَّف المخروط الصفري بواسطة

${\displaystyle N=\left\{(x_{0},\ldots ,x_{n+1})\mid -2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=0\right\}.}$

هذا هو المخروط الأفيني فوق السطح التربيعي الإسقاطي S. ليكن N + الجزء المستقبلي من المخروط الصفري (مع حذف نقطة الأصل). عندئذٍ، يُقيد الإسقاط التكراري R n +1,1 \ {0} → P ( R n +2 ) إلى إسقاط N + → S. وهذا يُعطي N + بنية حزمة خطية فوق S. تُستحث التحويلات المطابقة على S بواسطة تحويلات لورنتز المتعامدة لـ R n +1,1 ، لأنها تحويلات خطية متجانسة تحافظ على المخروط الصفري المستقبلي.

بشكل بديهي، فإن الهندسة المطابقة المسطحة للكرة أقل صلابة من الهندسة الريمانية للكرة. تنشأ التناظرات المطابقة للكرة من خلال الانعكاس في جميع كراتها الفائقة . من ناحية أخرى، تنشأ التماثلات الريمانية للكرة من خلال الانعكاسات في الكرات الفائقة الجيوديسية (انظر نظرية كارتان-ديودونيه ). يمكن تحويل الكرة الإقليدية إلى الكرة المطابقة بطريقة قياسية، ولكن ليس العكس.

الكرة الإقليدية هي الموضع في R ^{n +1}

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

يمكن تمثيل هذا بالفضاء شبه الإقليدي R ^{n +1,1} عن طريق وضع

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\sqrt {2}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {z-1}{\sqrt {2}}}.}$

من الواضح أن صورة الكرة تحت هذا التحويل معدومة في الفضاء شبه الإقليدي، وبالتالي تقع على المخروط N ⁺ . ونتيجة لذلك، فإنها تحدد مقطعًا عرضيًا لحزمة الخطوط N ⁺ → S.

_{مع ذلك} ، كان هناك اختيار عشوائي. إذا كانت κ ( x ) أي دالة موجبة لـ x = ( z , x₀ _, ..., xₙ ) ، فإن التعيين

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\kappa (x){\sqrt {2}}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {(z-1)\kappa (x)}{\sqrt {2}}}}$

كما أنها تعطي تحويلاً إلى N ⁺ . الدالة κ هي اختيار عشوائي لمقياس المطابقة .

المقياس الريماني التمثيلي على الكرة هو مقياس يتناسب مع المقياس الكروي القياسي. وهذا يُعطي تمثيلاً للكرة كمتشعب توافقي . المقياس الكروي القياسي هو تقييد المقياس الإقليدي على R ^{n +1}

${\displaystyle g=dz^{2}+dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}$

إلى الكرة

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

التمثيل المطابق للدالة g هو مقياس على الصورة λ ² g ، حيث λ دالة موجبة على الكرة. والفئة المطابقة للدالة g ، والتي يُرمز لها بـ [ g ]، هي مجموعة جميع هذه التمثيلات.

${\displaystyle [g]=\left\{\lambda ^{2}g\mid \lambda >0\right\}.}$

يُحدد تضمين الكرة الإقليدية في N ⁺ ، كما في القسم السابق، مقياسًا توافقيًا على S. وبالعكس، يُعطى أي مقياس توافقي على S بواسطة هذا التضمين. وبالتالي، تُعرَّف حزمة الخطوط N ⁺ → S بأنها حزمة المقاييس التوافقية على S : إن إعطاء مقطع من هذه الحزمة يُعادل تحديد مقياس في الفئة التوافقية [ g ].

هناك طريقة أخرى لتحقيق المقاييس التمثيلية وهي من خلال نظام إحداثيات خاص على R ^{n +1,1} . لنفترض أن الكرة الإقليدية S ذات البعد n تحمل نظام إحداثيات مجسم . يتكون هذا النظام من التحويل التالي من R ⁿ → S ⊂ R ^{n +1} :

${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbf {R} ^{n}\mapsto \left({\frac {2\mathbf {y} }{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}-1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}\right)\in S\subset \mathbf {R} ^{n+1}.}$

باستخدام هذه الإحداثيات المجسمة، يمكن تحديد نظام إحداثيات على المخروط الصفري N ⁺ في الفضاء شبه الإقليدي. وباستخدام التضمين المذكور أعلاه، يكون المقطع المتري التمثيلي للمخروط الصفري هو

${\displaystyle x_{0}={\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}={\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}={\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.}$

أدخل متغيرًا جديدًا t يتوافق مع التمددات لأعلى N ⁺ ، بحيث يتم تحديد إحداثيات المخروط الصفري بواسطة

${\displaystyle x_{0}=t{\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}=t{\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}=t{\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.}$

وأخيرًا، لنفترض أن ρ هي الدالة التعريفية التالية لـ N ⁺ :

${\displaystyle \rho ={\frac {-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{t^{2}}}.}$

في إحداثيات t و ρ و y على R ^{n +1,1} ، يأخذ المقياس اللورنتزي الشكل التالي:

${\displaystyle t^{2}g_{ij}(y)\,dy^{i}\,dy^{j}+2\rho \,dt^{2}+2t\,dt\,d\rho ,}$

حيث g _ij هو المقياس على الكرة.

بهذا المعنى، يتكون جزء من الحزمة N ⁺ من تحديد قيمة المتغير t = t ( yi ⁾ كدالة لـ yi ^على طول المخروط الصفري ρ = 0. وهذا يُنتج التمثيل التالي للمقياس المطابق على S :

${\displaystyle t(y)^{2}g_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j}.}$

لننظر أولًا في حالة الهندسة المطابقة المسطحة في الفضاء الإقليدي. النموذج ذو البعد n هو الكرة السماوية للفضاء اللورنتزي R ^{_{n +1,1} ذي البعد} ( n +2) . هنا، النموذج هو هندسة كلاين : فضاء متجانس G / H حيث G = SO( n +1,1) يؤثر على الفضاء اللورنتزي R ^{_{n +1,1} ذي البعد} ( n +2) ، و H هي زمرة التناظر لشعاع صفري ثابت في مخروط الضوء . بالتالي، فإن النماذج المطابقة المسطحة هي فضاءات الهندسة العكسية . بالنسبة للفضاء شبه الإقليدي ذي التوقيع المتري ( p , q ) ، تُعرَّف الهندسة المطابقة للنموذج بشكل مماثل على أنها الفضاء المتجانس O( p +1, q +1)/ H ، حيث يُؤخذ H مرة أخرى كمثبت لخط صفري. تجدر الإشارة إلى أن كلًا من فضاءات النموذج الإقليدي وشبه الإقليدي متراصة .

لوصف المجموعات والجبر المستخدمة في فضاء النموذج المسطح، حدد الشكل التالي على R ^{p +1، q +1} :

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&J&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}}$

حيث J هي دالة تربيعية ذات توقيع ( p , q ) . عندئذٍ، تتكون G = O( p + 1, q + 1) من مصفوفات ( n + 2) × ( n + 2) تُثبّت Q  : ^t MQM = Q (يشير الرمز العلوي t إلى منقولة المصفوفة). تقبل جبر لي تحليل كارتان .

${\displaystyle \mathbf {g} =\mathbf {g} _{-1}\oplus \mathbf {g} _{0}\oplus \mathbf {g} _{1}}$

أين

${\displaystyle \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&^{\text{t}}p&0\\0&0&J^{-1}p\\0&0&0\end{pmatrix}}\right|p\in \mathbb {R} ^{n}\right\},\quad \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&0&0\\^{\text{t}}q&0&0\\0&qJ^{-1}&0\end{pmatrix}}\right|q\in (\mathbb {R} ^{n})^{*}\right\}}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{0}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}-a&0&0\\0&A&0\\0&0&a\end{pmatrix}}\right|A\in {\mathfrak {so}}(p,q),a\in \mathbb {R} \right\}.}$

بدلاً من ذلك، يتفق هذا التفكيك مع بنية جبر لي الطبيعية المعرفة على R ⁿ ⊕ cso ( p , q ) ⊕ ( R ⁿ ) ^∗ .

يُعطى مُثبِّت الشعاع الصفري الذي يشير إلى متجه الإحداثيات الأخير بواسطة الجبر الجزئي لبوريل

h = g ₀ ⊕ g ₁ .